关于数学分析课程教学的探讨

王伟芳



关于数学分析课程教学的探讨

王伟芳

（唐山师范学院 数学与信息科学系，河北 唐山 063000）

对数学分析课程教师教学方法和学生学习方法进行了探讨，重点给出了学习共同体在数学分析课程中实施方案。

学习共同体；教学方法；学习方法

1 研究现状及意义

微积分主要是为了解决曲线的切线、曲率、曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积等几何问题而产生的，这就注定了其与数学分析与解析几何两门课程的密切联系。数学分析课程的主要内容分为极限理论、微分学、积分学和级数理论四大部分；解析几何课程的主要内容是向量代数以及空间线、面等图形性质。这两门课程的内容有着紧密的联系，体现为：（1）数学分析中的许多定义定理都有几何意义；（2）几何观察有助于数学分析问题的解决；（3）数学分析尤其是多元函数积分学部分的学习离不开解析几何的知识。牢固的解析几何基础可以帮助学生准确找出积分区域在坐标系中的位置，从而把多元函数的积分逐步转化为定积分来求解。多数学校的数学分析课程多元函数积分学部分安排在第3学期，而解析几何的课程安排在第1学期。

笔者对唐山师范学院数学系大二学生进行了调查，调查显示：在学习多元函数积分学时，大多数学生解析几何的知识不足以理解数学分析的内容。如果在数学分析讲授过程中穿插几何知识，一方面受到数学分析课时的限制，另一方面也会冲淡数学分析的主线。如果不补充相关内容，学生在将多元函数积分转化为定积分时又有困难。

2 数学分析课程教法探讨

教学是教与学的有机结合，在教学过程中，教师起主导作用，而学生则处于主体地位。学习主体的主动努力程度往往决定其学习效果。因此，提高学生的参与度是提高教学效果的重要方面。传统课堂讲授中学生参与度相对较低，组建学习小组能使更多同学参与进来。

2.1 学习共同体建设

2.1.1 学习共同体

学习共同体是由学生和教师共同组成的，以完成共同的学习任务为载体，以促进成员全面成长为目的，强调在学习过程中以相互作用式的学习观作指导，通过人际沟通、交流和分享各种学习资源而相互影响、相互促进的基层学习集体。

数学分析课程多元函数积分学的学习，需要学生具体学习：

（1）曲线/曲面在空间直角坐标系下的图形与其方程的对应关系；

（2）求空间区域在某坐标面上的投影区域。

2.1.2 数学分析课程中学习共同体的探索与实施

学生总结环节：全班同学以小组为单位总结解析几何知识，重点讨论如何由曲线/曲面的方程得到其在空间直角坐标系下的图形，以及如何根据图形的特征得到其方程。

图1、图2、图3及图4是唐山师范学院数学系2016级数学与应用数学专业部分学生的作业展示。

图1 学生的作业（1）

图2 学生的作业（2）

图3 学生的作业（3）

图4 学生的作业（4）

教师提问环节：学生完成总结后，进一步提出思考题，由若干曲面围成的空间体在空间直角坐标系中的图形，并求其在平面的投影。

学生讲解环节：课上组内讨论3 min，然后推举一人上台讲解求投影区域的过程。

教师总结环节：掌握了曲线/曲面方程在空间坐标系中的图形，再由它们围成曲面/空间体是容易的。下面重点总结空间区域在坐标面上的投影问题，假设空间区域由两个曲面

与

围成。

联立两曲面方程得两曲面的相交曲线C；

过曲线向平面做柱面：从两曲面方程中消去，得到关于，的方程

即为过曲线向平面做柱面；求曲线在平面的投影曲线：

求投影区域：投影曲线

围成的区域即为由两个曲面

与

围成的空间区域在平面上的投影区域[1]。

通过教师总结环节，学生能深刻理解解题过程，并能从中学会概括总结的方法。整个过程充分调动了每个学生的积极性，又培养了学生的合作意识和团队精神。通过前期的充分准备，多数学生在解决多元函数积分学问题时能快速勾勒出大致图像，迅速得出投影区域，再结合多元函数的积分转化为定积分的方法，就能很好地解决多元函数的积分问题。

学生在中学阶段的数学学习基本都有相对固定的模式，而到了大学阶段，数学分析的内容多，课时周期长，技巧灵活，理论性强，没有一定的学习方法，学习难度很大。

2.2 几何意义法

数学分析中的许多定理都有几何意义，理解定理的几何意义有助于掌握定理的内容。如罗尔中值定理的几何意义是满足定理条件的曲线有平行于轴的切线[2,p122]；积分第一中值定理的几何意义是由=，=，=()，（()≥0）以及轴所围曲边梯形的面积等于某个长方形的面积[2,p220]等。

2.3 几何观察法

一提到几何观察法，我们可能首先想到的是在证明拉格朗日中值定理时辅助函数的构造，通过从几何直观上分析拉格朗日中值定理的条件和结论，就不难构造出满足罗尔中值定理条件的函数。事实上，很多结论的得到都依赖于几何观察，比如要证黎曼函数()在无理点处连续，对，首先找出使得

的所有有理点1，2，……，x，然后通过在数轴上标注这些有理点，就能很容易地得到的取法。此外，函数极限的保号性等结论都可以借助数轴来理解。

基于以上教学方法，结合几何学科特点，可适当运用多媒体辅助教学。一方面，可以将抽象的知识具体化，使学生对知识有直观的印象，优化教学效果；另一方面，能使学生看到图文并茂、视听一体的交互式集成信息，激发学习兴趣；此外，大大精简板书画图的过程，有效利用课程时间，优化教学设计。

3 数学分析课程学法探讨

数学分析作为数学专业学时最多的课程，其基本知识、基本理论和基本方法是学生分析和解决问题的基础。而准确理解掌握三基，单凭识记往往是不够的。初学者对知识的理解不会特别深刻，教师在讲授课程内容的同时，提示一些记忆的方法，有利于学生对知识的掌握。

3.1 联想记忆法

数学分析的内容虽多，但很多内容都是类似的。比如数学分析中多次出现收敛的概念，具体包括数列收敛、函数收敛、反常积分收敛、数项级数收敛、函数项级数的收敛与一致收敛、含参量反常积分的收敛。每种收敛的判别都有柯西收敛准则，在教学过程中让学生观察收敛的定义和柯西收敛准则的异同，以后根据收敛的定义，学生就能准确写出相应的柯西准则。

再如数学分析中四次出现阿贝尔和迪利克雷判别法，其中两个与积分有关，两个与级数有关。以积分的阿贝尔和迪利克雷判别法为例，定理的结论都是两个函数乘积的无穷积分收敛（一致收敛），条件一是关于其中一个函数的无穷积分的，条件二是关于另一个函数的，单独的函数都要求单调（因为要运用积分第二中值定理）。如果把定理的条件结论放在一起记忆，效果更佳。

3.2 思维导图

数学知识系统的训练还需要自己进行归纳总结，确保知识点的全面与完整，明确知识点之间的联系，以便保证知识点的理解和应用。以小组为单位，做章节思维导图，首先提炼章的主题，形成中心词，接下来提炼节的主题，形成关键词，然后构建中心词与关键词、关键词与关键词的联系，在此基础上，再补充细节。思维导图可以使学生明确课程内容的结构、知识点之间的联系，为分析解决问题提供理论基础。同时，在这个过程中也能充分发挥学习共同体的作用，促进学生合作学习的可持续发展。

[1] 范秋君.漫谈数学分析中的曲线与曲面[M].北京:高等教育出版社,2001:1-113.

[2] 华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2010.

On the Teaching of Mathematical Analysis Course

WANG Wei-fang

(Department of Mathematics and Information Science, Tangshan Normal University, Tangshan 063000, China)

This paper probes into the teaching methods of teachers and the learning methods of students in the course of mathematical analysis, and puts emphasis on the implementation plan of the learning community in the course of mathematical analysis.

learning community; teaching methods; learning methods

O171

A

1009-9115(2019)03-0107-04

10.3969/j.issn.1009-9115.2019.03.028

唐山师范学院教育教学改革项目（2017001009）

2018-09-03

2019-03-11

王伟芳（1984-），女，河北定州人，硕士，讲师，研究方向为小波分析。

（责任编辑、校对：赵光峰）