由一道方程应用题的解法带来的启示

摘 要：由于数学学科的高度抽象性和严密逻辑性，使得学生在解决数学题目时，不会去分析思考题目中的已知条件，寻找已知条件之间、已知条件与所求结论之间存在的关系，致使解题时困难重重。

关键词：方程;应用题;解法;启示

由于数学学科的高度抽象性和严密逻辑性，使得学生在解决数学问题，不会去分析思考，解题时往往困难重重，特别是将所学的知识割裂开来，不能很好地将数学知识联系起来进行综合应用，下面通过一道方程应用问题的解法，引导学生通过思考分析，解决这些应用问题，进而通过联系学过的相关知识，找到简捷的解题途径。

在复习初中数学八年级方程与方程组、不等式与不等式组的应用等相关知识时，可选择下面的一道应用问题。

英才实验中学为了改善学校办学条件，更新教育装备和教学设施，计划购进一批乒乓球台和电子白板触摸一体机，经过市场咨询知道，购买三个乒乓球台和两台电子白板触摸一体机需要4.8万元，购买两个乒乓球台和一台电子白板触摸一体机需要3万元。

（1）求每个乒乓球台和每台电子白板各多少元。

（2）根据学校实际，需购进乒乓球台和白板共40个（台），总费用不超过70万元，但不低于60万元，请你通过计算求出有几种购买方案，哪种费用最低。

解：（1）设每台乒乓球台x万元，每台电子白板y万元，则：

3x+2y=5.6

2x+y=3 解得：x=0.4

y=2.2

所以，每个乒乓球台0.4万元，每台电子白板2.2万元。

（2）方法一：

设购进乒乓球台a个，电子白板（40-a）台，则：

0.4a+2.2（40-a）≥60

0.4a+2.2（40-a）≤70

解得：10≤a≤15.6

因为a为正整数，所以a=10，11，12，13，14，15，由此可知共有六种购买方案：

方案一：购进乒乓球台10个，电子白板30台。

总费用为：0.4×10+2.2（40-10）=70万元

方案二：购进乒乓球台11个，电子白板29台。

总费用为：0.4×11+2.2（40-11）=68.2萬元

方案三：购进乒乓球台12个，电子白板28台。

总费用为：0.4×12+2.2（40-12）=66.4万元

方案四：购进乒乓球台13个，电子白板27台。

总费用为：0.4×13+2.2（40-13）=64.6万元

方案五：购进乒乓球台14个，电子白板26台。

总费用为：0.4×14+2.2（40-14）=62.8万元

方案六：购进乒乓球台15个，电子白板25台。

总费用为：0.4×15+2.2（40-15）=61万元

所以，选择方案六总费用最低，且最低费用为61万元。

方法二：

设购进乒乓球台a个，电子白板（40-a）台，总费用为W万元，则：

W=0.4a+2.2（40-a）=-1.8a+88

即：W=-1.8a+88

根据题意得：60≤-1.8a+88≤70

解得：10≤a≤15.6

因为a为正整数，所以a=10，11，12，13，14，15

故共有六种购买方案

又因为W=-1.8a+88是一次函数，W随a的增大而减小，

所以当a=15时，W最小，且W的最小值=-27+88=61万元。

因此，购进乒乓球台15个，电子白板25台时总费用最低，且最低费用为61万元。

这个题目在整个解题过程中，先根据题目里给出的已知条件，将实际应用问题转化为数学问题，将题目中各个量之间的数量关系利用方程或不等式表示出来;方法一则是利用不等式组解得的需要购买的乒乓球台和电子白板的数量，逐一代入计算，得到需要的答案;方法二则有了难度，使很多学生难以想到此解法，然而这个解法运用数学中方程函数的思想方法，将总费用巧妙地用一次函数表示出来，利用一次函数中自变量与函数值之间存在的变化关系，直接回答了需要解决的问题，这个方法的运用，不仅减少了运算的麻烦，还降低了出错率，且巧妙地将方程、不等式、一次函数等知识综合联系起来，不仅解决了需要解决的问题，还启发学生积极思考，拓宽了解题思路，激发学生学习数学的极大兴趣、热情和积极性，开发了学生智力，启发了学生的抽象思维能力，为学生以后进一步学习数学知识打下了坚实良好的基础。

作者简介：

程红梅，甘肃省白银市，会宁县桃林中学。