《圆》中易错点分析

摘 要：《圆》章节是数学教学的难点，也是考试的重点，学生对这一章节的掌握难度比较大，容易出现易错点。因此，教师在教学过程中应着力学生易错点，整理学生易错习题和知识点，通过易错点的分析帮助学生建立完善的《圆》章节知识体系，加深学生对这部分内容的理解，可以有效提升学生分数，降低错题出现率。

关键词：初中数学;圆;易错点

俗话说，吃一堑，长一智。错一次不可怕。想要数学这门学科得高分，仅靠学生埋头苦战题海肯定是行不通了，所以教师需要对学生的错题做一个系统的处理和归纳，然后不断内化和总结。只有这样学数学才会越来越轻松，我们才能做到知识点之间的融会贯通，我们才能做到学以致用。

一、 忽略了点与圆的位置关系

在教学过程中，点和圆的位置关系比较容易理解，主要是以点P到圆心O的距离与圆O的半径对比，分为点在圆上、点在圆内和点在圆外。点和圆的位置关系理解起来也比较简单，但在实际解题中容易出现问题，因为教材中的点与圆的位置关系是单点和单圆，而在实际解题中容易出现多点对单圆或多圆对单点的问题，如果不能很好把握点与圆的位置关系，很容易出现解题的失误，导致丢分。

如常见的题型：平面上有⊙O及一点P，P到⊙O的上一点距离最长为6cm，最短为2cm，则⊙O的半径为    cm。学生在解题过程中容易得出一个答案，有的填4，有的填2，而实际答案是4或2cm。很多学生在教师公布答案以后容易出现短暂的盲目，不知道另外一个答案如何得来。因此，教师应帮助学生重新构建点与圆位置关系的知识点，将解题过程做好分类讨论：①当点P在圆内时，则2R=6+2=8，所以⊙O的半径为4cm;②当点P在圆外时，则2R=6-2=4，所以⊙O的半径为2cm，综上所述，⊙O的半径为4cm 或2cm。

分析：这里需要注意一点，部分学生认为自己得出一个答案是因为自己的马虎，而非知识点掌握不全，基于这一思路，教师可以在课堂末尾或下一个课时重新组织一道类似的题目让学生进行解题，对二次出现答案错误的同学进行单独沟通，以此来帮助学生加深对知识点的记忆。

二、 忽略了一弦所对的弧有两条，且两弧之和为一个圆周长

一弦所对的弧有两条，且两弧之和为一个圆周长这一知识点比较容易理解，教材教学通常是通过数形结合的方法帮助学生记忆和理解。学生在学习过程中，在单圆中掌握一弦所对的弧有两条是比较容易的，特别是目前多为多媒体教学，直观性比较强，这部分理论内容基本一笔带过即可，不需要做过多的解释。但在实际教学中，学生在解题过程中，容易受到惯性思维的影响，在求解的过程中容易侧重于一弦所对的最长的弧求解，而对另一部分的弧长自动略过，导致答案不完整，甚至在一些题目中还会影响解题过程，导致解题的失败。因此，教师在教学过程中应注意数形结合，强化两弧之和为一个圆周长这一知识点，从而帮助学生在解题过程中减少失误点，提升解题的速度。

例如：已知△ABC内接于⊙O，AB=AC，半径OB=5cm，圆心O到BC的距离为3cm，求AB的长是多少？

解：①如图3，当三角形的外心在三角形的内部时，连接AO并延长交BC于点D，∵AB=AC，O为外心，∴AD⊥BC，在Rt△BOD中，根据勾股定理，得BD=4，在Rt△ABD 中，根据勾股定理，得AB=42+82=45（cm）。

②如图4，当三角形的外心在三角形的外部时，连接AO交BC于点D，在Rt△BOD中，根据勾股定理，得BD=4，在Rt△ABD中，根据勾股定理，得AB=42+22=25（cm）。综上所述，AB的长为45cm或25cm。

分析：△ABC是⊙O内接三角形，AD是⊙O的直径，AD=6cm，∠ABC=∠CAD，求弦AC所对的弧长。简单从这一题来看，学生采用数形结合的方式在解题时，是自己作图，作图时对内容理解比较深入，容易得出所对的弧长有两部分，答案计算正确，解题快速。

三、 忽略了一弦所对的圆周角有两个，且它们有互补关系

一弦所对的圆周角有两个，且它们有互补关系也是教材中《圆》的重要理论知识点，单纯从理论教学来看，难度并不大，而且也容易理解，但一旦在与试题应用和其他知识点相联系则容易出现明显的问题，导致学生理解起来比较困难。

如常见例题，⊙O的一条弦AB将圆周长分为3∶7两部分，试求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数，并作出图。

解：根据弦AB分圆周长为3∶7两部分，所以弦所对的圆心角为108°和252°，再根据圆周角的度数等于它所对圆心角度数的一半，得弦对的圆周角分别是54°和126°。

分析：从题目来看，求解圆心角的比较简单，但很多学生在圆周角的度数解题时出现了问题。弦AB分圆周长为3∶7两部分，所以弦所对的圆心角为108°和252°，再根据圆周角的度数等于它所对圆心角度数的一半，得弦对的圆周角分别是54°和126°。解题比较简单，但如果不能将“一弦所对的圆周角有两个，且它们有互补关系”与“周角的度数等于它所对圆心角度数的一半”知识点联系起来，解题就比较困难。

四、 忽略了弦与圆心的位置关系

弦与圆心的位置关系可以分为同侧和异侧，如果没有说明应注意计算两侧，如果题目中配图则需要按图计算即可，计算难度比较低。但在具體的计算过程中，学生容易自动将弦与圆心的位置关系自动按照同侧进行计算，导致计算失误，出现丢分的现象。

如常见题型：⊙O的半径为1，过点A有两条弦AC=2，AB=3，求∠CAB的度数。这一试题中，计算时很多同学会自动按照同侧进行计算，按照数形结合的方式进行构图，在解题过程中如果是同侧得出的解题的答案是15°，如果按照异侧计算则是75°。教师在解题过程中应按照分类的原则进行计算，帮助学生掌握解决类似题目时的规律和方法，从而减少学生因思维惯性导致的错误。弦与圆心的位置关系是考核的重点，涉及的题型也比较多，有的是求角的度数，有的是求线的长度，变化也比较多，因此教师应结合不同的题型，强化知识内容，帮助学生更好地掌握这部分的内容，特别是应准备历年的中考题，从中挑选有代表性的试题进行解释和计算。

五、 总结

《圆》这一部分的章节内容涉及的知识点比较多，需要利用数形结合的思想才能解决。但是在实际解决过程中，学生容易受到思维定势的影响，产生计算错误，部分学生将这种错误归属于马虎，对待错题不认真。因此，教师在教学过程中应整理学生常见的错误题型，帮助学生认识到自己错误的原因，引导学生对错误习题进行重组，进而加深对知识点的理解和认知，提高解题速度和准确率。

参考文献：

[1]安宇杰.谈初中数学易错点的提前干预[J].才智，2018（9）：122.

[2]曾繁侨.初中“数学问题”中易错点提前干预的教学探讨[J].福建中学数学，2017（11）：25-27.

作者简介：

周吉平，浙江省诸暨市，浙江省诸暨市暨阳初级中学。