层层递进探究，孕育核心素养

聂生庚

《普通高中数学课程标准（2017版）》指出：高中数学教学以发展学生数学学科核心素养为导向，创设合适的教学情境，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质。注重信息技术与数学课程的深度融合，提高教学的实效性。本文笔者就如何培养学生探究能力，孕育数学核心素养，谈谈自己的教学设计。

【问题的提出】

高一上学期，学习北师大版普通高中课程标准实验教材必修2第一章第4节《空间图形的基本关系与公理》后有这样一道习题。

如图，（略）M是正方体[ABCD—A'B'C'D']的棱[CC']的中点，探究：过M点有多少条直线与直线[A'D']，AB都相交？

从作业的批改、学生掌握情况调查来看，学生对该题存在较大的困惑。故本人专门设计了一节习题课，指导学生真正掌握好解题方法，培养探究能力，孕育学科核心素养。

【教学设计及效果分析】

一、构建模型，显直观

师：如图，（图略）过点M引一条直线l与直线[A'D']、AB同时相交并没有那么容易，但简单点，我们可以先怎么处理呢？

生（大部分能马上回答）：不妨先与其中的一条相交，看与另一条的位置情况。

师：很好，如图，（图略）不妨假设过点M的直线l与直线[A'D']相交于点S（教师调出课前利用《玲珑画板》软件设计好的模型），拖动交点S变化，则代表过点M的直线l在变化，此时同学们观察直线l与直线AB的位置关系情况。（教师操作软件，拖动点S到不同的位置，并且利用软件的功能展示不同方位观察角度的3D效果，如下面的图1、2、3、4为代表）。（图略）你发现与直线[A'D']、AB同时相交的直线有几条了吗？

生：（都能立刻回答）有唯一的一条。

由于模型的直观性，学生通过模型的帮助较轻松的找到了问题的答案，同时在这个过程中有利于培养和提高学生的空间想象能力。

二、动中有定，现逻辑

当学生通过第一个教学环节，对问题的答案有了认识之后，本人开始引导学生逻辑推理探究问题中直线l的唯一性。

师：我们知道一条直线和直线外一点能确定唯一一个平面，假设直线[A'D']与点M确定平面[α]，那么当点S在直线[A'D']上运动时，观察直线l与平面[α]的关系是什么？

生：（教师拖动点S，并用阴影区域标注平面[α]，学生在观察后大部分能回答）直线l在平面[α]内。

师：如果直线l同时与直线AB相交，那么交点P与直线AB、平面[α]的关系又是怎样的？

生：（片刻思考后）点P是直线l、AB与平面[α]三者的交点。

师：好了，而直线AB与平面[α]有多少个交点呢？

生：（立刻回答）直线AB与平面[α]相交，有且只有一个交点。

师：既然只有一个交点，那相关的与直线[A'D']、AB都相交的直线l是不是唯一的？

生：（欢快的立刻回答）是。

通过本环节的逻辑分析、推理，学生能明白这唯一一条满足题意的直线l与直线AB的交点P是怎样的一个点，为下一步的探究做好了铺垫，同时发展学生的逻辑思维，提升思维的严谨性。

三、追问作图，探本源

师：接下来，我们把点P的位置确定下来。依据前面的分析，即做出平面[α]与直线AB的交点。请大家动动手，试试如何作出点P的位置。自主作图完成后，同学们相互之间讨论交流一下各自的方法。

生：（学生在草稿纸上自主作图）有半数的学生能够顺利的完成作图，讨论交流环节也比较积极。接下来是学生代表发言、老师点评如何作图，即作图思路。

师：如图，（图略）设点N为[BB']的中点，则易知直线MN平行于[A'D']，连结[A'N]并延长交直线AB于点P，显然[A'N]在平面[α]内，故[A'N]与AB的交点即为直线AB与平面[α]的交点，也即满足题意的唯一直线l就是直线SMP，其3D效果展示图如下。

本环节通过学生自主作图、老师讲评，可以培养学生科学、严谨的学习品质;通过信息技术的辅助，激发了学生作图的兴趣;通过作图更好的理解题意，再次展现和加深了对解题思维的全过程的认识，激发学生对问题的积极思考;最终孕育数学核心素养。

四、变式探究，话一般

师：变式：将本题中的条件“点M为[CC']的中点”，改为“点M为空间任意一点”，那么这样的直线有多少条？大家花点时间思考并讨论一下会有哪些情况。

生（自主思考，教师在班上进行走动观察，当学生有了一定的讨论成果后，教师开始进行成果点评）

师：下面同学们谁来说说会有哪些情况出现？

生1举手回答：情况1，当点M在直线[A'D']或AB上时，有无数条这样的直线（如图1）;情况2，当点M在过直线[A'D']且与直线AB平行的平面内时，不存在这样的直线（如图1）;其它情况为一般情况，这样的直线有且只有一条。

师：很好，分析的非常全面。（全体学生自主的为其鼓掌，学习的氛围达到了高潮）。

师：（教师进一步追问）如果把正方体这个背景去除掉，该问题更一般的表述可以是怎样的呢？哪位同学能说说？

生2：（片刻思考）空间有一对异面直线[l1]、[l2]，和任意一点M，过点M引一条直线与直线[l1]、[l2]都相交，问这样的直线有多少条？

师：概括的非常好，那答案有无变化呢？

生：（非常整齐的回答）没有！

本环节通过变式探究，即“将M点更改为空间任意一点时，情况又会出现怎样的变化？”进一步的，“抛开本题中正方體的背景，该问题更一般的表述又是如何的呢？”学生带着问题轻松步入课堂，通过这样的变式教学抽象概括出更为一般的数学规律。

通过以上四个教学环节，教师引导学生对问题进行完整、严密、有层次的分析，让学生自主探究，合作讨论，自主概括等方式，逐步培养学生抽象概括的能力，避免了思维定式，增强了学生思维的深刻性。同时，引导了学生用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界;促进了学生思维能力，实践探究能力和创新意识的发展，最终孕育了学生的数学学科素养。