构造函数在导数中的应用

胡贵平

(甘肃省白银市第一中学 730900)

构造函数是解导数问题的基本方法，怎样根据初等函数的导数公式和导数的基本运算法则，合理地构造出辅助函数，借助函数的性质，解决抽象函数的导数问题，下面举例说明.

一、f(x)+xf ′(x)构造函数F(x)=xf(x)

A.a>c>bB.c>a>b

C.c>b>aD.b>a>c

变式nf(x)+xf′(x)，构造函数F(x)=xnf(x).

F(x)=xnf(x)，F′(x)=nxn-1f(x)+xnf′(x)=xn-1[nf(x)+xf′(x)].

例2(2009天津文12) 设函数f(x)在R上的导函数为f′(x),且2f(x)+xf′(x)>x2,下面的不等式在R内恒成立的是( ).

A.f(x)>0 B.f(x)<0

C.f(x)>xD.f(x)

解由已知，首先令x=0得f(0)>0，排除B，D．

令g(x)=x2f(x)，则g′(x)=x[2f(x)+xf′(x)].

二、xf ′(x)-f(x)构造函数

例3(2015全国新课标Ⅱ卷理12) 设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(-1)=0,当x>0时，xf′(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( ).

A．(-∞,-1)∪(0,1) B．(-1,0)∪(1,+∞)

C.(-∞,-1)∪(-1,0) D.(0,1)∪(1,+∞)

例4(2017·安徽蚌埠二中等四校联考)定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足:2f(x)

三、f ′(x)+f(x)构造函数F(x)=f(x)ex

变式f′(x)+nf(x)构造函数F(x)=enxf(x).

F(x)=enxf(x)，F′(x)=f′(x)enx+nenxf(x)=enx[f′(x)+nf(x)].

例6已知函数f(x)满足：f(x)+2f′(x)>0，那么下列不等式成立的是( ).

四、f ′(x)-f(x)构造函数

A. (-∞,e) B．(1,+∞) C. (1,e) D. (e,+∞)

例8若定义在R上的函数f(x)满足f′(x)-2f(x)>0，f(0)=1，则不等式f(x)>e2x的解集为.

五、f ′(x)sinx+f(x)cosx构造函数F(x)=f(x)sinx

故选B．

六、 f ′(x)sinx-f(x)cosx构造函数

七、 f ′(x)cosx-f(x)sinx构造函数F(x)=f(x)cosx

例11设函数f′(x)是定义在(0,2π)上的函数f(x)的导函数，f(x)=f(2π-x).

A.a

C.c

八、f ′(x)cosx+f(x)sinx构造函数