例谈旋转法在几何中的应用

湖北省武汉市第二初级中学 寇 峰

【旋转法的概念】在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度成为与原来相等的图形，这样的图形运动叫作图形的旋转。

【旋转法的性质】对应线段、对应角的大小不变，对应线段的夹角等于旋转角。特别是要注意旋转过程中三角形与整个图形的特殊位置。

【旋转法的要点】旋转时要注意旋转中心、旋转方向、旋转角度的大小，即三要素：中心，方向，大小。

【旋转法的应用】揭示几何图形的性质或几何量之间的内在联系，把分散的元素通过旋转集中起来，从而为证题创造必要的条件。旋转方法常用于等腰直角三角形、等边三角形及正方形等图形中(这三种图形在旋转过程中分别旋转90°、60°和90°)，多与三角形全等、相似、勾股定理、特殊三角形和四边形的性质与判定等相结合。

一、正三角形

思想：在正三角形ABC 中，P 为△ABC 内一点，将△ACP 绕A点按逆时针方向旋转60°，使得AC 与AB 重合。经过这样旋转变化，将图1 中的PA、PB、PC 三条线段集中于图2 中的一个△P'BP 中，此时△P'AP 也为正三角形。

图1

图2

例1 如图1：设P 是等边三角形ABC 内的一点，PA=3，PB=4，PC=5，则∠APB 的度数是________。

简解：将△ACP 绕A 点按逆时针方向旋转60°，使得AC 与AB重合。经过这样旋转变化，将图1 中的PA、PB、PC 三条线段集中于图2 中的一个△P'CP 中，此时△P'AP 也为正三角形。所以有∠APP'=60°，而∠P'PB=90°，从而有∠APB=60°+90°=150°。

二、正方形

思想：在正方形ABCD 中，P 为正方形ABCD 内一点，将△PAB绕A 点按逆时针方向旋转90°，使得AB 与AD 重合。经过旋转变化，将图3 中的PA、PB、PC 三条线段关系集中于图4 中的△DEP 中，此时△AEP 为等腰直角三角形。

例2 如图3：P 是正方形ABCD 内一点，点P 到正方形的三个顶点A、B、C 的距离分别为PA=1，PB=2，PC=3。求此正方形ABCD 的面积。

图3

图4

简解：将△ABP 绕A 点按逆时针方向旋转90°，使得AB 与AD重合。经过旋转变化，得△APE 为等腰直角三角形；又将△CBP 绕C 点按顺时针方向旋转90°，使得CD 与CB 重合。经过旋转变化，得△CPF 为等腰直角三角形(如图4）。

由勾股定理的逆定理得，三角形EPF 为直角三角形，且∠FEP=90°。

三、等腰直角三角形

思想：在等腰直角三角形△ABC 中，∠ACB=90°，若P 为△ABC内一点（如图5），将△APC 绕C 点按逆时针方向旋转90°，使得AC 与BC 重合。经过这样旋转变化，在图6 中的一个△P'CP 为等腰直角三角形。

例3 如图5，在△ABC 中，∠ACB=90°，BC=AC，P 为△ABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2。求∠ BPC 的度数。

图5

图6

简解：将△APC 绕C 点按逆时针方向旋转90°，使得AC 与BC 重合。经过这样旋转变化，得△P'CP 为等腰直角三角形，于是有，且°，所以∠BPC=90°+45°=135°。

四、求组合三角形面积类型

例4 （2011 全国初中数学竞赛题）如图7，正方形ABCD 的边长为1，点P、Q 分别是其内两点，且∠PAQ=∠PCQ=45°，求S△ABP+S△PCQ+S△QAD的值。

图7

解：将△ADQ 绕点A 按顺时针旋转90°到△ABE 的位置，将△CDQ 绕点C 按逆时针旋转90°到△BCF 的位置，连接EQ、FQ。

∴AE=AQ，CF=CQ，∠FBC=∠CDQ，∠ABE=∠ADQ。

∵四边形ABCD 是正方形，

∴∠FBC+∠ABE=∠CDQ+∠ADQ=90°，

∵∠ABC=90°，∴∠FBC+∠ABE+∠ABC=180°，∴B，E，F 三点共线，∴BE=DQ=BF。

又连接EP，FP，∴S△PBF=S△PBE。

∵∠PAQ=∠PCQ=45°，∠1=∠3，∠4=∠6，

∴∠2+∠3=∠5+∠6=45°，

可证：△CFP ≌△CPQ，△AEP ≌△APQ，

∴S△AEP=S△APQ，S△CFP=S△CPQ，

S正方形ABCD=S五边形AEFCQ，

因 为S△ABP+S△PCQ+S△QAD=×2(S△AEP+S△EBP+ S△CFP)=×2×=，所以S△ABP+S△PCQ+S△QAD=。