多线性极大算子在Orlicz空间的弱有界性估计

张友朋，陶祥兴

(浙江科技学院 理学院，杭州 310023)

1 预备知识

1.1 定 义

1)φ(0)=0；

2)存在0

4)φ是凸函数。

这样定义的函数φ有以下一些简单结论：

1)允许φ取到+∞；

2)不要求φ是严格凸函数或是严格单调递增函数；但是，当φ在有限点x0处取到+∞时，φ(x)必须在x充分大时严格单调递增；

3)φ(∞)=∞；

4)要么φ在[0,+∞)是连续的，要么存在0

容易看出，当φ(x)=xp(1≤p<∞)时，Lφ=Lp。

Orlicz范数有以下一些简单特征和结论。

1)Orlicz范数是一个范数。它满足正齐次性，‖αf‖φ=|α|‖f‖φ；满足正定性，‖f‖φ=0当且仅当f=0；满足次可加性，若‖f1‖φ=λ1，‖f2‖φ=λ2，则有‖f1+f2‖φ≤λ1+λ2。

2)若φ1和φ2是两个Young函数，且φ1≤φ2，则有‖f‖φ1≤‖f‖φ2。因此，若存在正常数a，b使得φ1(ax)≤φ2(x)≤φ1(bx)对所有的x成立，则Lφ1=Lφ2。

3)若φ1和φ2是两个Young函数，则φ≡φ1+φ2是一个Young函数，且Lφ=Lφ1∩Lφ2。

令(X1,v1)和(X2,v2)为正可测空间，算子T定义在X1上的v1可测函数集的一些线性子空间，值域包含在X2上的v2可测函数集里，若存在常数c≥1使得

|T(f+g)(x)|≤c(|Tf(x)|+|Tg(x)|)且|T(λf)(x)|=|λ||Tf(x)|

对所有算子T定义域里的f和g，对所有的λ∈R成立，则称算子T是线性算子[13]。

令A和B为Young函数，T为定义在LA(X1,v1)上的单线性算子，则

1)若存在正常数k使得

‖Tf‖LB(X2,v2)≤k‖f‖LA(X1,v1)

对所有的f∈LA(X1,v1)成立，则算子T称为强(A,B)型的；

2)若存在正常数k使得

对所有的t>0和所有的f∈LA(X1,v1)成立，则算子T称为弱(A,B)型的。

我们可以将其推广到双线性算子，甚至是多线性算子。

令A1，A2和B为Young函数，T为定义在LA1(X1,v1)×LA2(X1,v1)上的双线性算子，则

1)若存在正常数k使得

‖T(f1,f2)‖LB(X2,v2)≤k‖f1‖LA1(X1,v1)‖f2‖LA2(X1,v1)

对所有的f1∈LA1(X1,v1)，f2∈LA2(X1,v1)成立，则称算子T为强(A1;A2,B)型的；

2)若存在正常数k使得

对所有的t>0和f1∈LA1(X1,v1)，f2∈LA2(X1,v1)成立，则称算子T为弱(A1;A2,B)型的。

1.2 引 理

文献[13]分别给出了分数次极大算子Mα以及分数次积分算子Iα在Orlicz空间里的弱有界性估计和强有界性估计。这里引用了其中的分数次极大算子Mα的弱有界性估计。

引理1[13]令n≥1，且0≤α

成立，当且仅当存在常数c满足

引理2若算子Gi为(pi,qi)型，即

‖Gif‖Lqi,∞≤c‖f‖Lpi，

则

证明：不妨证i=2的情况。∀β>0，有

故

引理2证毕。

这是当算子Gi为(pi,qi)型时成立，则当算子Gi为弱(pi,qi)型时也成立，故引出了下面的命题1以及定理1。

2 主要结论

命题1设

对任意的r>0成立。

由于

定理1设Ai(i=1,…,m)，B是Young函数，0≤α

成立，当且仅当存在常数c2满足

命题1的证明：

另一方面，

故

从而

命题1得证。

定理1的证明：充分性的证明同命题1的证明。下证必要性。

即

定理1证毕。

3 结 语

本文给出了多线性分数次极大算子在Orlicz空间的弱有界性，在今后的研究中可探究多线性分数次极大算子在Orlicz空间的强有界性以及其他多线性算子的有界性。