凸显概念本质 完善意义建构

于玮

摘  要：文章跳出“强化方程的形式化特征，淡化方程概念的内在本质”的传统设计。针对五年级学生思维认知水平，设计“天平中的故事”和“故事中的天平”两个教学板块，引导学生尝试建立未知数与已知数之间的等量关系，体会方程的概念本质，促使学生从多年运算思维定式中走出来，在形成方程模型的過程中，更加直观、真切地感悟到方程思想与解决问题之间密不可分的相融关系。

关键词：方程;概念本质;等量关系;未知数

一、课前思考

“方程”是小学阶段重要的数学概念。在传统教学中，大多数教师往往围绕“含有未知数的等式是方程”这一定义展开，着力凸显“有未知数”“是等式”这两个限制性的因素，以实现“能够辨认出一个式子是不是方程”这一教学目标。这样的设计强化了方程的形式化特征，却淡化了方程概念的内在本质，学生常会列出诸如“x=4”“14-4=x”“x+11+6=x+17”等脱离方程现实意义和应用价值的式子。

特级教师吴正宪认为：学习方程仅仅知道这个概念的躯壳是没有多大意义的。方程的价值应与解决问题有机融合起来。努力培养学生代数方面的思维能力，而这一切的前提就是对方程思想有深度的感知。

张奠宙教授指明了渗透方程思想的关键是在已知数和未知数之间建立一种等式关系 [1]。这种关系的建立利于学生感悟未知数和已知数之间可以自如、均等的切换，未知数和已知数除了形式上的差异外，运算地位上是平等的。方程本身并没有经过任何运算，只是单纯地讲述两个经过任何加工的故事。

诚然，五年级的学生深度感悟方程思想这一抽象化概念具有一定的难度。如何打破学生几年来的算术思维解决问题这一惯性思维，如何让学生感受到用方程解决顺向思维问题的便捷，并喜欢、主动地列方程解决问题，是教学中教师面临的困扰之二。不过，回望、反思、比较后可以发现，方程和方程思想在之前的数学活动中一直有所体现，需要我们去挖掘、提炼和充分利用。充分尊重学生已有的知识经验，紧扣数学知识内在的一致性，将方程融入学生已有的认知结构中，充分发挥多种感官的能动性，帮助学生经历完整的探究过程，形成整体性、逻辑性的知识结构，有助于学生更好地理解方程意义和方程思想。

二、课堂剪影

片段一：天平中的故事

师：今天我们一起来认识方程（板书）。要学习方程，需要借助一些工具（白板出示）。老师今天带来了一个天平，同学们仔细观察我接下来的操作，待会请大家来说一说老师是怎么做的哦。

生：先放一个50克砝码在天平的左边，再放一个100克的砝码在天平的左边，然后把200克砝码放在天平的右边，天平不平衡。

师：说得真好，像是在讲述一个关于天平不平衡的故事，关键还指出了天平的左边和右边。

师：同学们，要使天平左右两边平衡，可以怎么调整呢？

生：左边放两个100克砝码，右边放一个200克砝码。

（师操作白板）

师：嗯，这位同学讲述了一个关于天平平衡的故事。

（板书：不平衡、平衡）

师：看看这个天平，你能写出一个式子来吗？

生：x+100>200。（板书：x+100>200）

师：天平不平衡是因为什么呢？

生：水果的重量加上100克砝码的重量和天平右边的200克砝码的重量不相等。

师：是呀，说得真棒，因为左边的式子和右边的数字不相等，所以不平衡。

（小组合作，展示活动要求）

师：一个人说天平的故事，另一个人写出关于天平的式子。

（师巡视，学生操作交流）

师：接下来要请几个同学说一说截屏下来的天平的故事。

生1：橘子和50克砝码在左边，200克砝码在右边，写出的是天平不平衡的式子：x+50<200。

生2：100克砝码、橘子、20克砝码在左边，10克砝码和200克砝码在右边，写出的是天平平衡的式子：20+x+100=10+200。

生3：橘子、10克砝码、50克砝码在左边，10克砝码和200克砝码在右边，写出的是天平平衡的式子：x+10+50=210。

……

板书：

不平衡（不等式）    平衡（等式）

x+100>200         100+100=200

x+50<200    20+x+100=10+200

x+10+50=210

师：同学们，仔细观察，对比一下，左右两边有什么不同的地方？平衡和不平衡之间有什么不一样呢？

生：不平衡用大于号和小于号，平衡用等号。

师：是啊，数学没有那么复杂，用等号连接起来的，讲述天平平衡故事的这些式子，叫作等式;相反，讲述天平不平衡故事的这些式子叫作不等式。

师：同学们，再观察这些等式，它们又有什么不同呢？

生1：有的是两个数相加，有的是三个数相加。

生2：第一个等式里没有未知数，其他的等式里有未知数，有未知数的叫方程。

师：（板书：等式与方程的关系）建立起未知数和已知数之间等量关系，就能求出未知数;相反，求不出未知数的式子，都是因为没有建立等量关系。

师：我们生活中有许多这样的例子。如a÷2=6;73-y<20;3+（  ）=10。

师：未知数既可以用字母表示，也可以用括号表示。

片段二：故事中的天平

师：刚才通过讲天平中的故事，我们一起认识了方程，下面我们也来讲一讲故事中的天平。

师：这样一幅图，如果建立成天平的话，天平的左边是什么，右边又是什么呢？

生：天平的左边是4件衣服的价钱，右边是240元。

师：是啊，寻找到了未知数和已知数之间的等量关系，我们就能列出什么样的方程？

生：x×4=240。

师：同学们想一想，两个不同的故事怎么都可以用同一个方程来表示呢？

师：把两个不一样的故事用天平表示，左边都是4个未知数，右边都是240。

（引导学生再举例）

师：生活中有很多的故事，只要他们的等量关系是一样的，都可以用相同的方程来表示。

师：你能从这个线段图中找出等量关系吗？

生1：x+y=z。

生2：男生人数+女生人数=全班人数。

生：x+21=45。

师：跟之前的等量关系一样吗？还能列出不一样的方程吗？

生1：45-21=x或者45-x=21。

生2：一个故事可以列出三个方程，举一反三。

师：顺着想：x-5+8=38;倒着想：38-8+5=x。比较这两个式子，哪个思考起来更方便？

生1：倒着想，可以直接算出来，未知数没有存在的必要。

生2：倒着想的那个式子不是真正意义上的方程，因为x没有了价值。

生3：用列方程解决问题的时候，可以顺着想，这是列方程解决问题的优势。

师：同学们概括出了方程的真实意义，太了不起了。我们这节课讲述了天平的故事，天平平衡了就是出现了等式，在等式里含有未知数的就是方程，没有建立等量关系就不知道未知数是多少。

三、教学解读

本节课可以从三个阶段来解读：

1. 借助有形天平，建立等量关系

立足于方程的概念本质，从天平不平衡到平衡的探索中，以“找水果质量”问题为载体，启发学生感知未知数和已知数间的关联，在学生经历多次尝试天平才平衡后，未知数和已知数之间的等量关系逐渐浮出了水面，从而凸显出方程是为了求未知数而存在的。这一设计较“静态观察天平两边物品质量的大小关系”，更加强化了方程在解决问题过程中的价值，也就是方程概念的本质不能停留在“有未知数、有等号的式子”这一表象的界定，方程的意义与解决现实问题是相依相存的。

立足于等量关系来认识方程，对于打破学生用惯性的算术思维、推理思维求未知量能起到显著的效果。在这样的教学活动过程中，淡化的是数与数之间的运算，凸显的是数与数之间的等量关系，有助于学生进一步感悟方程本身，不是任何形式的运算，而是一种单纯地阐述两个事实之间关系的数学模型。

之所以采用虚拟天平的操作，而不用实物天平，主要考虑到了两个方面：其一，实物天平容易产生误差，不容易很明显地看出平衡与不平衡的状态，极易让非数学本质的因素干扰学生认知;其二，便于利用网络交互平台适时、高效地呈现每一位学生操作天平的过程与结果。既高效，又凸显出每一位学生学习的个性。有效地弥补了传统课堂教学手段的不足，发挥了传统教学手段所不可替代的作用。

2. 丰富概念意义，深入知识本质

学生对方程形成初步感知后，脱离天平，通过“一式多境”环节的精心设计，将无形、抽象的等量关系寓于“故事中的天平”中，让学生在逐步抽象的过程中，体会到不同的问题情境可以用同一个方程来概括，进一步表明方程具有揭示现实世界数量关系的价值，是具體事实的抽象概括，是有效的数学模型。在深层次交流中，学生更加透彻地感悟到“去情境化”的过程、形成方程模型过程中的数学思想方法。

接下来的“一境多式”教学环节的重点（男生x人，女生21人，全班45人），是为了加深学生对模型多角度的认识，让学生感受同样的问题情境可以写出不同的方程，从不同角度寻找等量关系，体会数量间相等的关系是方程的根。

3. 回顾连接反思，体会模型思想

在理解方程的本质后，从判断、辨析中总结出，含有未知数的等式是方程的外显特征，既深刻理解知识的本质，又不失外显特征的发现;同时，3+（  ）=10在丰厚方程的特征时，又回顾反思起已有的知识中其实已经蕴含着方程的雏形。在对比中探究每一种方程所表达的等量关系，引导学生进行辨析、甄别与调整，帮助学生认识到，怎样的方程是“跟题目的意思一样”，怎样的方程是“跟以前解决问题的方法相似”，从而在对比中初步体验。一个问题情境可以列出不同的方程，感悟方程的模型思想，对比代数思维与算术思维的不同，初步体验方程的价值。

《认识方程》一课的研磨过程，是概念教学探海起航的号角。概念教学不是从概念表象看概念，而要深度开掘到概念内在的逻辑性、思想性、系统性以及数学知识存在的价值和作用，这样的教学更助于学生对概念深度和广度的体悟与掌握。

参考文献：

[1]  成尚荣. 学会数学地思维[M]. 南京：江苏教育出版社，2003.