3.8是3.80的近似数吗

章勤琼

【摘   要】与准确数表示一个确切的数不同，近似数可以表示一个区间范围内的所有数。与精算需要得到确切的结果不同，估算包括对结果进行估值与区间估计，更加关注范围的确定，范围的确定则需要考虑具体情境。近似和估算教学的关键有两点，首先是从确切的数扩充到表示范围的区间，其次是根据实际情况确定范围。在教学中，需要创设合适的情境让学生体会到把握范围的重要性;对估算的教学，既要培养估算的意识，也要教学估算的方法。

【关键词】近似;估算;范围;区间

有这样一个笑话，某个恐龙博物馆的解说员指着恐龙化石告诉参观者说，这头恐龙生活的年代距今已经2亿零15年了。参观者问为什么是2亿零15年，解说员很有把握地说：“我来这里工作的时候，被告知这头恐龙生活在2亿年前，我在这里已经工作15年了！”这里的2亿明显是个概数，解说员将其当成精确数和15相加，令人啼笑皆非。很多人在小学就学习了如何将一个数进行不同数位的四舍五入，但对于四舍五入的意义是什么，为什么要四舍五入却并不清楚。所以对估计没有什么概念。[1]事实上，有些类似的问题，数学老师也不是那么容易解答。比如，“四舍五入到3.8的所有两位小数有几个？”这个问题看起来很简单，但却让人很纠结，答案到底是10个还是9个？3.75、3.76、3.77、3.78、3.79、3.81、3.82、3.83、3.84这9个数当然都没有问题，问题在于3.80，有不同观点争执不下。一种观点认为，四舍五入就是约等于，3.80等于3.8，当然不能算，精确值不是近似值;另一种观点认为，虽然3.80和3.8在数值上是相等的，但它们的计数单位是不同的，所以并不是同一个数，应该要算。

那么，这里能四舍五入到3.8的两位小数到底是10个还是9个？3.8算不算是3.80的近似数？我们应该对与此相关的数学概念进行梳理，进而对教学进行进一步的思考。

一、“准确数”与“近似数”

在计数和计算过程中，有时能得到与实际完全相符的数，这些数叫准确数，如某校的数学教师有15人、6×1.2=7.2等等，但在生产、生活和计算中得到的某些数，往往只是接近于准确数，这种数叫近似数。如“某市人口有850万”，850万就是一个近似数。因为在统计一个城市的人口时，由于居民的迁入和迁出、出生和死亡，人口的数目随时都在变化，很难得出准确的人口数。另外还有一种情况是无法得到准确的值，比如圆周率π，由于這是个无理数，没有办法知道精确数是多少，所以通常采用近似数3.14。可见，准确数与近似数的主要区别在于是否与实际情况完全相符。[2]小于准确数的近似数叫不足近似数，大于准确数的近似数叫过剩近似数。

在选择近似数的时候，有以下三种不同的方法：（1）去尾法，这种方法得到的是不足近似数。（2）进一法，这种方法得到的是过剩近似数。（3）四舍五入法，可能得到不足近似数，也可能得到过剩近似数。在截取近似数的具体问题中，除了某些时候需要根据具体情况运用去尾法或进一法之外，一般用四舍五入法，因为用四舍五入法取得的近似数与准确数的误差会更小。[3]四舍五入的定义是“将一个自然数n四舍五入到十位就是说将n替换为10的所有倍数中离n最近的那个倍数。如果10的离n最近的倍数有两个，我们约定选取其中较大的一个”。[4]对小数四舍五入，可以有类似的定义。

从在数轴上表示数这个角度来看，精确数表示的是一个精确的点，而近似数表示的是一个区间的范围。如果将3.8看成是一个准确数，那么它就表示3.8这一个确定的点（如图1）;如果将3.8看成是一个近似数，那么它就表示以3.8为中心的一个范围（如图2），这是一个从3.75到3.85的左闭右开的区间，即[3.75，3.85）。如果限定了是两位小数，也就是在这个区间内的所有两位小数，那么3.80当然是在这个范围以内。

3.80≈3.8这种表示方法还是很难让人接受。事实上，关于3.80≈3.8，不应该简单地判断正误，而是要看在哪个层面上讨论。如果是从精确数的角度来看，学生当然要理解并掌握3.80=3.8，因为这是小数的意义和性质。但从另一个角度来看，当3.8作为近似数时，它所表示的是一个范围，这个范围里一定是包含了3.80这个数的。

再来看另一个例子，有人认为，因为200000=20万，所以20万不是200000的近似数，200000≈20万当然也是错的。让我们想象这样一个情境，假如小明去买车，他的心理价位是20万元，这里的心理价位当然不是准确数，而是一个近似数，也就是说，小明其实是想买一辆价格约等于20万元的车。那么，假如现在有一辆标价刚好是200000元的车，请问，这辆车是否在小明的心理价位之内？如果按照200000不能约等于20万的说法，这辆定价200000元的车是不是不在20万元的心理价位以内？这显然不合理。

当然，相比让学生判断3.80≈3.8或者200000≈20万是否正确，让他们体会近似的思想更加重要，这跟人们的生活密切相关。在现实生活中的连续量，虽然以精确数的形式表示，其实表达的都是一定程度可接受范围以内的近似数。比如同样是计时，如果是预约专车，能约的时间通常都是每10分钟或者每5分钟。因为在这个情境中，这样一个范围的精确程度已经完全够了;如果是预约起床的闹钟，通常是预约到每1分钟，没有必要再精确到多少秒;如果是长跑比赛，计时一般需要精确到秒;如果是短跑比赛，则需要精确到百分之一甚至千分之一秒。这些计时，虽然都以准确数的形式表示，但事实上表达的都是某一个精确范围以内的近似数。

再比如在人工智能时代，机器识别是一个重要的研究领域。如果要想让机器能跟人一样进行识别，近似的思维以及范围的确定非常关键。比如人脸或者指纹识别，需要确定一个合适的范围，如果范围太小，机器过于灵敏，有可能本人的脸部或者指纹有细微的一点变化，机器就无法识别。而如果范围太大，当然就是机器过于迟钝，可能无法对本人和其他人作出区分。

二、“精算”和“估算”

在讨论了精确和近似这两个概念后，再来看精算和估算，两者都是运算能力的重要内容，“精算有利于培养学生的抽象能力，估算有利于培养学生的直观能力。显然，抽象能力与直观能力是人们日常生活和生产实践中必不可少的两种能力，这两种能力都是数学素养的根本，所以，小学数学的教学内容不仅要有精算也要有估算。”[5]需要指出的是，估算并不是精算以后的四舍五入。小学数学教材对估算没有明确的含义，主要是在一些实际问题的解决中，要求结合具体情境并选择适当的单位，对数据进行适当的近似处理，即放大或缩小，得到计算结果的近似值的方法。估算是人们在日常生活、工作和生产中，对一些无法或没有必要进行精确测量和计算的数量所进行的近似或粗略估计的一种方法。[6]

如果说对精确数和近似数的认识是从一个精确的数扩充到一个区间的范围，那么从精算到估算则更加关注范围如何确定，范围的确定则需要考虑具体情境。因此，估算往往要涉及在哪个数位上进行计算，需要在估算之前针对实际背景选择合理的量纲。比如在考虑距离的度量时，如果要度量北京到纽约的距离，那么用万公里比较合适;如果要度量杭州到北京的距离，那么用百公里比较合适;如果要度量教室的大小，那么用米比较合适;如果要度量书桌的大小，那么用厘米比较合适。[7]

估算的第一个内容是对计算结果进行估值，对计算进行估值没有绝对的正确与错误之分，只是由于估算方法的不同，误差大小会有所区别。而学生估值的方法是多种多样的。如估算243+379，学生就给出了至少六种不同的方法：（1）200+300=500，43+79>100，因此比600大一点;（2）200+400=600，所以大约是600;（3）243+379相当于两个300的和，所以大约是600;（4）243<250，379<400，所以比650小;（5）243+379的和比200+300的和500大，比300+400的和700小;（6）24个10加38个10等于62个10，所以大约是620。[8]

除了估值以外，估算还有区间估计，区间估计包括估上限和估下限两种情况。估上限是指估算的结果小于或者等于给定的数值;估下限是指估算的结果大于或者等于给定的数值。[9]如《义务教育数学课程标准（2011年版）》中有这样一个问题：“李阿姨去商店购物，带了100元，她买了两袋面，每袋30.4元，又买了一块牛肉，用了19.4元，她还想买一条鱼，大一些的每条25.2元，小一些的每条15.8元。请帮助李阿姨估算一下，她带的钱够不够买小鱼？能不能买大鱼？”[10]在这个情境中，有购买小鱼和大鱼两种情况，都需要用估算的方法，但估算的方法并不相同。第一个买小鱼的问题是估计剩余金额的下限，需要对购物金额的数量适当放大，而第二个买大鱼的问题是估计剩余金额的上限，需要对购物金额的数量适当缩小。数值区间的估计难点在于在估算之前，学生并不知道是应该估上限还是估下限。因此，在估算的时候需要学生进行不断的尝试，积累经验。

三、两点教学建议

第一，在近似与估算的教学中，需要创设合适的现实情境。近似思想的要点是从精确的点扩展到表示范围的区间。因此，首先需要创设合适的情境，让学生体会到在有些场景下，无法或者没有必要知道准确的数值，而且有时对范围的大致把握要比确定准确的数更加重要，比如拟定旅游出行计划的预算等。其次，要通过不同的情境让学生感受到范围大小的确定需要考虑实际情况，比如对距离的预估等。此外，相比直接给出200000≈20万是否正确这样的判断题，更可取的做法是给出实际背景，然后指出心理价位是20万元，给出允许接受的范围是多少，再问哪些数字是在心理价位以内的，这样的教学更有意义。

在对估算的要求上也与精算不同，并没有简单的对错之分，估算的结果也是开放的，并不唯一。对估算好坏的判断，必须结合现实情境。如果脱离了具体情境，一些估算的问题很难进行讨论，比如应该如何估算287×305？是应该计算300×300吗？如果计算290×310或者290×300可不可以？似乎找不到一个统一的答案。

第二，教学中对估算的重视，既要培养估算的意识，也要教学估算的方法。[11]如今，复杂的计算都可以由计算机或计算器来完成，与此同时，日常生活和工作中估算的作用已经越来越突出。估算能力是现代化社会生活的需要，是衡量人们计算能力的一个重要标准。重视、加强估算已成为一个世界性的潮流。[12]

《义务教育数学课程标准（2011年版）》中也明确提出要培养估算能力，在第一学段中强调“能结合具体情境进行估算，并解释估算的过程”。在第二学段中强调“在解决具体问题的过程中能选择合适的估算方法，养成估算的习惯”。由此可以看出，在估算的教学中，首先需要培养估算的意识，可以通过不同的情境让学生进行充分的交流，让学生比较估算与精算的区别，体会什么时候需要估算，而什么时候需要精确计算;其次还需要掌握估算的方法，在教学中，要充分尊重学生的生活经验与数学经验，让学生在解决问题的过程中，不断调整估算的方法，慢慢体会什么时候需要往大估，什么时候需要往小估，逐步掌握估算方法。

参考文献：

[1] [4] 伍鸿熙，著;赵洁，林开亮，译. 数学家讲解小学数学[M]. 北京： 北京大学出版社，2016：115-116.

[2] [3] 金成梁. 小学数学疑难问题研究[M]. 南京： 江苏教育出版社，2010：12-14.

[5] [7] 史宁中. 基本概念与运算法则——小学数学教学中的核心问题[M]. 北京：高等教育出版社， 2013： 32-33.

[6] [9] 吴正宪， 刘劲苓， 刘克臣. 小学数学教学基本概念解读[M]. 北京; 教育科学出版社， 2014： 207-208.

[8] 贲友林. 对估算教学的关注与思考[J]. 江苏教育（小学版），2002，（8）：25-26.

[10] [13] 教育部.全日制义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2011：87 – 88;10-11.

[11] 姜立身. 估算教学应关注什么——听吴正宪老师“估算”一课的思考[J]. 小学教学（数学版）， 2007，（12）： 22-24.

[12] 徐斌. 把握基本矛盾，走向有效教學——“数的运算”备课解读与难点透析[J]. 人民教育， 2006，（13-14）：27-33.

（温州大学   325035）