一阶、二阶导数在含参数的函数问题中的应用

贵州省六盘水市第十中学 马群长

纵观近几年的高考真题，极值问题是必考的一个知识点。如已知某一点是函数的极大（极小）值点，求参数的取值或者参数的取值范围等。通常情况下，学生会通过利用函数来求解极值点，再由极值点求参数值。对于高中生来说这是一个难点问题。为了帮助学生解决这一难点，本文将从函数的一阶导数和二阶导数出发，浅谈函数极值问题的求解。

一、极值的基本定理

定理1：设f(x)为一阶、二阶可导，且f'(x0)=0，那么：

（1）若且f'(x0)＜0，则x0为极大值点；

（2）若f''(x0)＞0，则x0为极小值点。

定理2： 设f(x)为一阶、二阶可导，且f'(x0)=0，那么：

（1）若x0为极大值点，则f''(x0)≤0；

（2）若x0为极小值点，则f''(x0)≥0。

同理，当x0为极小值点时，f''(x0)≥0。

二、典例分析

（1）略。（2）若f(x)在x=2 处取得极小值，求a 的取值范围。

解法1（利用定理2）：（2）易求，f''(x)=[ax2-(2a+1)x+2]ex=(ax-1)(x-2)ex。

∴f(x)在x=2处取得极小值。若a≤0.5，则当x∈(0，2)时，x-2＜0，ax-1 ≤0.5x-1＜0，∴f '(x)＞0。∴2 不是f(x)＞0 的极小值点。

（1）略。（2）若x=0 是f(x)的极大值点，求a。

解法1（利用定理2）：（2）若a ≥0，易知当x ＞0 时，

又h(0)=f(0)=0，故x=0 是f(x)的极大值点，当且仅当x=0 是h(x)的极大值点。

又∵f(x)在x=0 处取得极小值，

在x=0 的领域内，当x ＞0 时，h(x)＞0，当x ＜0 时，h(x)＜0。

本文从极值的判定定理出发，得到了关于求解极值的不同解法。在课堂上，学生也能想到利用二阶导数，以简化运算量。这也充分体现和培养了学生分析问题的能力、逻辑思维能力以及抽象能力等核心素养。