基于Taguchi-BBD方法的PMSM齿槽转矩抑制

贾 佳

(广东海洋大学 寸金学院，湛江 524000)

0 引 言

永磁同步电机(PMSM)具有结构较为简单、功率密度与转矩密度较高、效率较高，便于控制等优点，故其被广泛运用于交通运输、医疗设备、家用电器等方面[1]。然而，对于有槽电枢铁心来说，其与转子磁钢会产生相互作用，引起电机内部磁共能改变，从而产生齿槽转矩，影响了电机的运行性能与控制性能，并产生振动与噪声[2-4]。因此，国内外专家学者对永磁电机的齿槽转矩问题提出了各种抑制措施，包括斜槽、斜极、改变定子槽口宽度、磁钢偏移、改变极弧系数以及偏心距、定子齿部开槽等措施[5-7]。

文献[8]解析了气隙磁导的平方值与槽口宽度之间的关系，提出利用解析法推导计算抑制齿槽转矩的槽口宽度的方法，并进行了仿真分析与实验验证。文献[9]推导分析了齿槽转矩的解析表达式，提出一种基于能量法的根据不同槽极配合选择极弧系数的方法，最后采用有限元方法验证了解析法的有效性。文献[10]采用了以有限元电磁场计算为基础的优化设计方法，通过对磁钢分段位移位置以及磁钢厚度两个参数进行优化，以抑制齿槽转矩。文献[11]分析了平行充磁方式以及径向充磁方式对于空载损耗以及齿槽转矩的影响，结果表明，平行充磁性能优于径向充磁。

为了抑制齿槽转矩以及提高方法效率，本文以一款48槽8极PMSM为例，采用Taguchi与BBD方法相结合的方式，以齿槽转矩幅值为目标变量，采用Taguchi方法安排正交试验对槽口宽度、极弧系数、磁钢厚度、偏心距、磁钢充磁方式五个初选优化变量进行筛选并进行最优目标变量的局部搜索，其次，利用以上过程得到的复选优化变量，采用BBD对复选优化变量进行响应面设计分析，利用最小二乘法对响应面函数进行拟合，并通过方差分析检验拟合模型有效性，最终进行全局搜索，得到全局最优目标变量。研究结果表明，采用Taguchi-BBD方法具有较高的可靠性，能有效抑制PMSM齿槽转矩。

1 PMSM齿槽转矩产生机理分析

永磁同步电机的齿槽转矩表现为不通电时磁钢与电枢齿部相互作用产生的输出转矩。当定转子相对运动时，磁钢两侧对应的一小段气隙的区域内，磁导变化较大，引起磁场储能变化，从而产生齿槽转矩[12]。故齿槽转矩表达式为

(1)

式中，W为不通电时磁场储能；α为某一指定齿与指定磁钢的中心线夹角。

假设定转子铁心磁导率无穷大，磁钢磁导率与空气磁导率相同，铁心叠压系数为1，则磁场储能为

(2)

式中，μ0为真空磁导率；Br(θ)为磁钢剩磁密度；δ(θ,α)为有效气隙长度；hm(θ)为磁钢充磁方向长度沿圆周方向的分布。

由式(1)与式(2)可得

(3)

式中，La为定子铁心轴向长度；R1与R2分别为定子内半径与转子外半径；n为使nz/2p为整数的整数。

2 有限元模型建立与Taguchi方法分析

2.1 PMSM有限元模型建立

本文以一款48槽8极电机为例，该款电机相关主要参数如表1所示，采用Ansys Maxwell 2D有限元软件建立电机模型。

表1 PMSM初始相关参数

为了仿真分析得到精度较高的齿槽转矩幅值并降低仿真计算时间，采取将电枢绕组删除，并加密气隙圆周、磁钢以及定子齿部三个部分的剖分进行仿真分析[13]。得到PMSM齿槽转矩波形图如图1所示，可以看出，该波形幅值为26.5534 N·m，齿槽转矩幅值较大，接下来本文将采用Taguchi-BBD方法对电机齿槽转矩进行抑制。

图1 PMSM初始有限元模型齿槽转矩

2.2 Taguchi方法分析与正交试验设计

本文采用PMSM齿槽转矩相关的参数，即槽口宽度、极弧系数、磁钢厚度、偏心距、磁钢充磁方作为初选优化变量进行试验，且前4个变量都包含4个水平，最后一个变量包含2个水平。传统上，对于多变量非线性最值的问题可以采用全因子试验，对不同变量不同水平进行完全且不重复的搭配组合，即考虑全部可能的实验组合[14]。则对于本文所选的变量共计需要44×2次，即512次试验，试验成本较大，故本文采用Taguchi方法进行试验。

考虑到电机的实际工艺设计情况，选择各个初选优化变量取值范围为：槽口宽度为2 mm～5 mm；极弧系数为0.6～0.9；磁钢厚度为5.4 mm～6 mm；偏心距为10 mm、至25 mm；充磁方式为平行充磁或径向充磁，采用数字1、2分别代表两种不同充磁方式。采用X1、X2、X3、X4、X5依次表示以上变量，则变量水平表如表2所示。

表2 初选优化变量水平表

由表2可知，变量水平数并非完全相同，故采用混合型正交表L16(44×23)安排正交试验，由于变量仅有5个，故删去第六列与第七列。采用有限元软件对正交试验安排的组合进行仿真分析，得到的结果如表3所示，其中，以T表示齿槽转矩幅值。

表3 正交设计表

由表3所就算得出的数据，可以计算每一个变量在不同的水平下对应的齿槽转矩幅值的均值，计算公式为

(4)

式中，mXij为初选优化变量Xi的第j个水平对应的齿槽转矩幅值的均值；TXij(1)为初选优化变量Xi的第j个水所对应的第一次试验得到的齿槽转矩幅值，则TXij(2)至TXij(4)依次递推。

由表中计算出的结果，可以进行局部搜索，得到抑制齿槽转矩幅值的初步最优变量，可知当变量取值情况为X1取1，X2取4，X3取1、X4取3、X5取1时，齿槽转矩幅值为最小。然而，由于正交试验时变量取值不连续，仅取不同水平下进行试验，故接下来需要采用响应面法进行全局搜索。为了分析得到对齿槽转矩幅值影响较大的变量，采用式(5)与式(6)计算每个变量的比重并将其折算为百分数，由表4可知，对齿槽转矩幅值影响最大的为X2，比重百分数为56.34%，而X3与X5比重百分数相比于其他变量明显要小，仅为8.44%与2.71%，故将不对两个变量进行响应面设计分析。

(5)

(6)

式中，m为所有正交试验得到的齿槽转矩幅值的均值；SXi为Xi的比重；SXi%为Xi的比重百分数。

表4 各水平均值及变量比重

3 BBD响应面设计分析及全局寻优检索

3.1 BBD响应面设计分析

BBD是响应面设计分析方法的一种，其主要特点在试验过程中各店取值不会超过水平的上下限且相对于CCD中心组合设计响应面法试验次数较少，由于电机设计过程中某些变量不宜取过小或者过大的值，故本文采用该方法进行全局搜索最优目标变量。对于三因素的DDB响应面试验，试验点主要分成两类，一类是坐标为(0,0,0) 的中心点；另外一类是位置位于立方体棱的中心上的点，即(±1,±1,0)、(±1, 0,±1)、(0,±1,±1)[15-16]。

对于5个变量的优化问题，若是直接采用响应面法中的BBD模型进行分析，则需要进行46次试验，本文利用Taguchi方法对各个初选优化变量进行筛选，剔除了对齿槽转矩幅值影响较小的变量，同时根据正交试验的结果对各变量的取值进行进一步缩小，得到的复选变量水平表如表5所示。为了与正交试验进行区别，采用Y1、Y2、Y3依次表示槽口宽度、极弧系数、偏心距3个复选优化变量。

表5 复选优化变量水平表

依BBD试验设计方法，安排响应面试验如表6所示，并采用Ansys Maxwell 2D有限元仿真软件分析不同搭配组合情况下的永磁同步电动机齿槽转矩的幅值，并以仍采用T表示齿槽转矩幅值。对照表5与表6，可知，变量水平可以采用两种方式来表示，即实际值或者编码值，编码值的取值范围为-1至1之间，两种表示方法之间的互换公式为

(7)

表6 BBD响应面设计表

(8)

表7 BBD响应面模型方差分析表

根据Design-Expert软件分析得到最优的变量取值:Y1为-0.85，Y2为1，Y3为-0.26，为了得到实际值，采用式(7)进行转换，得到实际值分别为2.15 mm、0.9、18.7 mm，对应的最优目标变量值，即齿槽槽转矩幅值为0.9702 N·m。

3.2 有限元仿真分析

为了分析得到的最优的齿槽转矩的值的准确性，采用有限元软件Ansys Maxwell 2D进行仿真分析，参数设置情况：定子槽口宽度为2.15 mm；磁钢极弧系数为0.9；磁钢偏心距为18.7 mm。仿真分析得到的齿槽转矩波形图如图2所示。由图可知，优化后齿槽转矩幅值为0.9950 N·m，与通过BBD响应面法预测的数据相差2.56%，预测情况较为准确。与优化前相比，齿槽转矩幅值下降了96.25%，证明Taguchi-BBD方法的有效性。

图2 PMSM优化后有限元模型齿槽转矩

4 结 语

针对于PMSM的齿槽转矩问题，提出Taguchi-BBD方法以初步确定的最优变量的取值范围；进一步采用BBD响应面设计方法，根据3个复选优化变量对优化目标变量进行全局检索，得到各个电机参数变量的最优的取值，并抑制齿槽转矩，先是利用Taguchi方法对初始优化变量进行筛选和进行最优变量局部搜索，得到对齿槽转矩影响较大的3个变量以及通过有限元仿真分析验证了该方法的有效性。该方法针对于Taguchi正交试验变量取值不连续的特点以及BBD响应面法试验次数较多的特点，结合了两个方法的优点，提高了计算方法效率，并具有较高的准确性。