基于体验与感悟的高中数学教学设计的思考

陈传熙

(浙江省玉环中学 317600)

培养学生的数学素养，必须要让学生对数学概念、问题、方法、思想的整体认识、系统思维、过程体验与心灵感悟真正地落到实处，这取决于学生的自主学习能力的水平，也取决于数学教学设计的到位与助力程度．好的数学教学设计应有利于思考，也有助于探究，并能促进学生的学习体验与思想感悟.

1 高中数学教学设计的操作流程

为了促进学生的体验与感悟，高中数学教学设计应有三重预设.

(1)基础预设．要注意对数学内容、学情的总体把握，既要关注相应教学内容的整体要求，又要注意数学核心概念与思想方法的理解；既要关注相应教学目标的准确把握，更要注意学情的调查与学生能力的准确定位；

(2)中级预设．要关注数学核心知识、方法的预设处理，既要重视核心概念的背景挖掘，又要注重典型问题的精心选择与合理组织；既要注意相关知识的数学化预设，又要考虑相关数学方法的一般化预演；

(3)高级预设．要关注学生的过程体验与思想感悟，既要注重数学概念的精致与学生的理解，又要注意相关问题的分析与学生的探究过程；既要关注相应知识与方法的练习预设，更要强调知识系统的重构与思想感悟的心路历程.

具体操作流程的设计如图1所示.

图1 高中数学教学设计的操作流程

2 基于体验与感悟的高中数学教学设计

基于上述操作流程，通过合理的教学设计，充分挖掘数学知识的背景素材，引发学生的兴趣和参与意识，引导学生积极主动地学习，激发其内心的真实体验与心灵感悟，进而对数学产生较为全面的认识，提高相应的数学素养，形成积极的情感态度，为未来的发展和进一步学习打下良好基础.

现以“直线与平面所成的角[1](以下简称‘线面角’)”的教学设计为例说明如下.

2.1 分支章节的整体把握

每一节数学课的教学内容都是相应数学分支中的一个点，只有站在整个分支的高度来设计教学才能从整体上把握所授内容的地位与作用、能力与要求、系统与建构，才能利于学生真正理解和掌握相应的数学知识内涵、方法运用、思想本质.

几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科．立体几何的学习可培养和发展学生的几何直观、运用图形语言进行交流和空间想象的能力，进而形成一般的推理论证能力[2]，高中学习立体几何主要通过直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法去认识与探索几何图形及其性质．立体几何的学习一共安排了三章内容，主要涉及立体几何的整体认识、位置关系与运算求解，其中“点、线、面的位置关系”承载着培养立体几何基础能力的核心任务，而“线面角”就落在这个核心章节之中.

空间角的知识系统包括两条异面直线所成的角(线线角)、直线与平面所成的角(线面角)、两个平面所成的角(二面角的平面角)这三类，其中线线角容易理解和把握，后两类角具有更强的空间意义，能进一步提高学生对空间位置关系的认识．线面角上承线线角，下启二面角，具有一定的基础性与学习的示范性，是建构整个空间角系统的核心．同时，立体几何运算的两大对象就是角和距离，线面角与距离也密不可分，在空间想象、推理、计算等层面上均有重要作用.

2.2 课时分解与目标定位

面对不同的地域、学校与学生，相关的教学要求与学习定位应有所差异．故对于教参中的课时分解、目标分析等建议，不能简单地照抄照搬，应在反复研读的基础上，结合学生的实际情况，形成较为合理的认识、见解与定位.

一般地，数学知识的学习时间应基于知识的广度与学习的难度，及其在相关知识系统中的地位和重要性．对于线面角，教材安排了简单的概念学习和1个例题(角的寻找与运算)．按照教参的1个课时建议，可能出现概念学习时间的压缩和运算的提前进入，这会导致概念的产生因简单而粗糙，学生的理解因被动而生硬，削弱寻找线面角的想象与体验过程，进而难以感悟到其中隐含的思想方法．因此，用2个课时更为合理. 其中，第1课时主要着眼于线面角的产生、发展与联系，第2课时则专注于线面角的寻找、求解、运用与延伸．基于上述分析，确定了如下的学习目标与重、难点.

学习目标：了解“最小角定理”，理解线面角的概念，体会线面角的唯一性与最优化过程．能在不同图形中准确寻找、证明与求解线面角，培养几何直观、空间想象和推理论证能力；

重点：线面角概念的形成与理解、寻找与求解；

难点：线面角的唯一性理解，如何寻找和确定线面角.

通过学习，学生在线面角的产生过程中感受探索的乐趣和数学美的熏陶，在寻找过程中逐步加深概念理解、促进思维发展，在深切的体验与感悟中，体会数学思想的力度，提高思维的水平.

2.3 核心概念与思想方法理解

每一节课都有其核心概念与思想方法，它们可能是分支或章节的核心或关键点，也可能是上述核心的分解与关节点．对此，教师必须要理解到位，力求达到概念与思想的本质，这样才能引导学生理解本质，体悟思想方法.

线面角属于空间角的范畴，当然也属于角的知识系统．学生以往所学的平面角有描述性与发生式两种概念．直观上，角是由有公共端点的两条射线所组成的图形．运动上，角是由一条射线绕其端点旋转后所产生的直观图形．因此，作为空间范畴的线面角，它既有属于空间层面的立体感(直线与平面之间的相对位置)，也有属于平面层面的直观性(直线与平面内某条直线之间的夹角)．因此，解决线面角问题的基本思想方法就是如何将其转化与化归为平面角，其关键在于确定平面内的哪条直线，这就需要选择与比较，其间自然蕴含了运动变化的观点．基于不同角之间的运动变化，在直观感知、观察实验、说理计算、操作确认、思辨论证等思维过程中，实现线面角的概念形成与位置确定.

2.4 学情与知识能力的定位

作为学习的主体，学生的知识、能力基础必然是教学设计的出发点．教师需要调查、了解学生的真实学习现状，针对其数学知识与能力水平、思维习惯与方式进行定位与布局，力求契合实际、适时调整、渐进引导，逐步提升学生的数学素养.

随着初中平面几何学习难度与要求的明显降低，学生的几何推理论证能力也明显下降．随着空间向量进入高中数学，以及高中数学必修模块的课时制约，也间接导致了立体几何的课时被压缩、要求被削弱、进度被加快．为了提高学生的成绩，题海战术大行其道，在一定程度上减少了体验与领悟的时间与空间，使得学生的语言表达能力、理性思维水平、基本数学素养的培养与提升均受到了一定的制约．尽管本校学生的基础相对较好，但他们在几何方面的思维水平仍然不高．上述学情也是建议用2课时来学习的重要依据.

2.5 核心概念的背景挖掘

数学各个分支的核心概念必然有其自然发生与发展的历史背景．每节课的核心概念既可能与其相关，也可能与科学、社会经济、日常生活相关，这些背景的挖掘有助于知识、方法、思想的前后联系、系统建构与延伸发展.

线面角是线面位置关系在数量上的一种反映．求解的关键在于寻找已知直线在平面上的射影，故线面垂直是解决线面角的知识基础和核心背景．当然，线线角、二面角等也是其基础与延伸的背景．那么，线面角的现实背景呢？事实上，生活中常见移栽树木与电线杆的固定，遮荫蓬的搭建与支撑，还有比萨斜塔的直观性，这些都构成了线面角的实际背景与现实参照，也是设计教学情境的现实背景与出发点.

2.6 典型问题的选择与组织

问题是数学知识的理想载体，典型问题更是承载整个章、节的核心概念、方法与思想的学习推进剂，相关问题的选择与组织对数学学习有着无比重要的作用．数学情境的载体往往是一个典型问题的前身，它能将学生的思维逐步推向纵深．为了理解、掌握知识，还需要对问题进行变式应用.

基于空间层面，寻找典型问题的实质也可以说就是寻找一个典型的图形.

就线面角而言，平面的一条斜线、一条垂线及斜线在平面上的射影构成了一个基本图形，线面角的所有问题均由其生成．在此基础上，通过图形变式，即可将本节课的核心知识组织起来，将相应的典型问题串联起来.

图2

问题1如图2，OB⊥α，OA,OD分别与平面α交于点A,D，试比较∠OAB,∠OAD的大小，并探讨两者之间的数量关系.

注问题1的目的是推导“最小角定理”，顺便也可推导cos∠OAD=cos∠OAB·cos∠BAD这个副产品，从而使其中的关系更加清晰化.

图3

问题2如图3，AB与平面α交于点B，AO⊥α于O点，BC⊂α. 若∠ABC=60°，∠OBC=45°，求AB和α的夹角.

注问题2是“最小角定理”的基本应用，既能深刻理解概念，还可进行相应变式.

图4

问题3如图4，OB⊥α于B，A,D∈α，若OA=OD，你能得到什么结论？若已知AB=BD呢？若∠OAB=∠ODB呢？

注问题3是教材练习的基础，能将问题2的思维引向纵深，并进一步联系、类比、延伸到三角形的“心”等相关知识，进行相应变式.

2.7 相关知识的数学化预设

数学知识自有其抽象性与形象化的特征．基于认知的一般规律，学习数学知识，需要合情、形象的处理，然后逐步符号化、形式化，进而达到知识的数学化理解．数学化也是学生与数学知识渐行渐近、理解融合、达到本质表达的过程.

数学化从某种意义上来说就是相关知识的符号化与形式化．基于线面垂直，求解线面角的规范模式为：如图2，因为OB⊥α，则AB就是OA在平面α上的射影，故∠OAB就是OA与α所成的线面角.

当然，教学中不能只限于形式化的表达，还要强调对数学本质的认识．比如，线面角概念的本质就是“最小角”，若只是体会角的最小性，通过动手操作学生应该也能想象得出．但是，若辅之以形式化的推理与运算，如图2，结合“三垂线定理”，可推导出cos∠OAD=cos∠OAB·cos∠BAD(或相应的正弦形式，进而可得cosθ=cosθ1cosθ2)，自然就有结论∠OAB<∠OAD．这样处理更加具体也更令人信服，学生理解也会更深刻.

2.8 相关方法的一般化预设

在数学概念引入、发生、形成与发展过程中，在问题分析、探究、求解过程中，往往蕴含着概念探索、问题求解的一般性思维方法．通过合理的预设与安排，这些方法的体会、学习与感悟将有利于学生数学能力的养成.

首先是概念形成．通过观察、思想实验与空间想象感知角的变化与存在，进行直观猜测．通过大小比较与运算探究确定数量关系，类比归纳“最小角定理”，进而抽象、概括出线面角的概念，从中体会、感悟对象的唯一性与思维的最优化.

其次是角的寻找．线面角的前提是线面垂直，故寻找或作平面的高才是关键，有了高就有了射影，也就找到了线面角，这也是一个证明的过程.

在上述过程中，学生将逐次经历观察、实验、想象、联想、猜测、比较、类比、归纳等合情与演绎推理，逐步养成求实、说理、批判、质疑的理性思维，能从中获得成功的快乐和美的享受．其间，体现了从特殊到一般的认识规律、从空间到平面的降维转化、运动变化与普遍联系的哲学观点.

2.9 概念的精致与学生理解

学习概念应关注其来龙去脉，揭示其生成与发展的过程．为此，可基于生活实际或数学的内在发展需求来创设适当情境．通过问题情境逐步引发兴趣，展开思考与探索，发现知识本质和解决途径，在知识发生的模拟实验中达成知识的再创造．在此过程中，既要体现数学概念的合理性、确定性、简明性和严谨性，也要逐步揭示隐藏在概念背后的数学思想方法和认识规律，让学生从中有所感知、领悟，获得较为深切的思想体验.

图5

概念铺垫如图5，旗杆OB高40米，顶端O处挂有一条50米长的绳子．现拉紧绳子并将其下端放在地面α上的A,D两点(A,B,D不共线)，且AB=BD=30米，此时OB与α成什么样的位置关系？

注线面角的背景是线面相交，线线角是学生认知的“已知区”．从线面垂直入手，符合从特殊到一般的认知规律，也为学习提供了一个“最近发展区”.

直观感知假设绳子可自由伸缩，现固定O点，让A点在α内自由移动，当A逐渐靠近或远离B时，你能感觉到什么？设想能端起上述图形直到平面成为眼中的一条直线时，你能感知到什么？

注在空间想象的数学实验中，自然感知到AO与α间存在着夹角.

操作确认角总是通过两条直线来体现的，如何表示线面的夹角？为此，需要在α内找到一条直线，使它与AO的夹角能代表AO与α的夹角？如图2，用∠OAB很有道理，但∠OAD就不行吗？为此，要考察∠OAB与∠OAD的大小或数量关系.

注寻找平面内的直线合乎自然，猜想∠OAB合乎直觉．教师的反问在不经意间将思维引向深处，在反思与转化中营造了良好的主动探索氛围.

图6

思辨论证联想“三垂线定理”，如图6，过O作OC⊥AD于C，则BC⊥AD．在自主探索、合作交流与适时引导下，可获得如下思路.

思路1由OAsin∠OAB=OB

也可利用sin∠OAB=sin∠OACsin∠OCB得出.

思路2由OAcos∠OAB=AB>AC=OAcos∠OAC，

得cos∠OAB>cos∠OAC，从而有∠OAB<∠OAC．

也可利用cos∠OAC=cos∠OABcos∠BAC得出.

合情定义从而证明了：“平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任意直线所成角中的最小角”即“最小角定理”.

回想初中，考虑到两点之间的路程无数却难以确定，而连结两点的线段长度却是最短的，也是唯一的，将其定义为“两点间的距离”合乎心理预期，也是最合理的．类比地，既然AO和它在α内的射影AB所成的∠OAB是AO和α内任意直线所成角中的最小角，它是唯一的，将其定义为“线面角”，也是最合理的.

注数学讲逻辑也讲道理．逻辑性体现了定义的合理性，唯一性体现了数学的简单美．在返璞归真中揭示了概念的发生过程和数学美的本质.

完整建构易知斜线与平面所成角的变化范围为(0°,90°)，考虑直线与平面垂直、平行(在平面内)的特殊情形，故线面角的取值范围应为[0°,90°]，从而使得线面角与线面的位置关系形成一一对应，完成线面角知识系统的完整建构.

2.10 问题的分析与学生探究

通过相关问题沟通概念与各知识点的联系，运用类比、联想、迁移等多种方式，从中体会知识、方法、思想间的有机联系，感受数学的整体性，进一步理解概念本质，提高解决问题的能力.

对于问题2，如图3，利用cos∠ABC=cos∠ABOcos∠OBC即可求解，之后进行相应变式.

(1)在α内旋转BC到BD，使∠OBD=45°，求∠ABD；

(2)若BD在α内，且∠ABD=∠ABC，可得什么结论？

(3)若BD在α内，且∠OBD=30°，求∠ABD；

(4)若BC在α内任意转动，求直线AB,BC夹角的取值范围.

其中，(1)为转换视角，(2)在问题的再解决中发现角平分线的空间推广，(3)为逆向运用cosθ=cosθ1cosθ2，(4)为强化本质认识．通过不同角度的重新审视、探究运用，学生的知识网络将逐步完善，思想方法将常用常新.

对于问题3，如图4，可得斜线段及其射影与线面角三者间的对应关系，这实际上就是初中“三线合一”的空间推广．进而，对于OB⊥α，A,D,E∈α，有如下变式.

(1)若OA=OD=OE，可得什么结论？

(2)若O到△ADE三边的距离相等，又能得什么结论？

(3)若B是△ADE的垂心，又应满足什么条件？

上述分别是三角形外心、内心、垂心的空间推广，体现了空间问题平面化与类比推理的思想.

第1课时在问题中开始，在探究与求解中获得知识、学习方法、提高能力，在反思中加深理解，在图形的变式中形成思维回路，前后呼应，纵横联系，浑然一体，循环上升.

2.11 知识与方法的练习预设

为了理解知识、掌握方法、感悟思想，需精选适量的练习．通过基本问题的研究，形成必要的思维定式，熟练基本套路，在灵活变式、问题探究中进行知识、方法、思想的综合应用与自然融合.

在第2课时，学生需要体会掌握线面角求解的一般方法与基本套路.

首先，研究线面角的两个性质(教材练习)：①两条平行线和同一平面所成的角相等；②一条直线和两个平行平面所成的角相等．从中关注线面垂直及线面角的解题模式.

其次，通过如下两个基本问题来实现正确寻找、画出和求解线面角的目标，而问题的设计将遵循从易到难、灵活变式、适当渗透向量、向后续内容延伸的原则.

图7

中心问题如图7，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是棱AB,A1D1的中点．试求：

(1)BD1与底面ABCD所成的角；

(2)EF与平面ADD1A1,BCC1B1所成的角；

(3)EF与正方体其余各面所成的角；

(4)EF与正方体各对角面所成的角.

注正方体、长方体是立几学习的好载体．其中(1)与(2)是线面角的基本模式及渐进变式，(3)是位置变式，(4)融合了多种变式．这些问题的层次与梯度，能有效激发探究欲望，有利于学生掌握知识并提高分析和解决问题的能力.

图8

辅助问题如图8，已知PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AB，PC与平面ABC成30°角．试求：

(1)PC与平面PAB所成的角；

(2)PB与平面PAC所成的角；

(3)PA与平面PBC所成的角.

注利用常见的基本图形或融合长方体，在逐步递进中提供了求解线面角的重要模式，在知识的自然联系中获得有机统一.

数学中有很多重要的模式或模型，运用这些载体可引导思维、沟通联系、探索迁移、灵活发散、引发思想，使学生感受数学的整体性，进一步理解数学的本质，提高问题解决的能力.

2.12 知识的重构与思想感悟

在学习过程中，应适时探讨交流、 回顾反思、体会方法、感悟思想，营造一个思维内化与思想方法领悟的时间与空间．在课时小结时，可交流学习过程中知识、方法、思想层面的体验与感悟，以加深理解、提升思维、加强体悟.

在知识理解上，在最小角、三垂线定理的基础上得出线面角概念及其范围，确定其关键是平面的垂线，突出其基本图形．注意线面角与平面几何相关知识的联系与推广.

在方法体验上，运用了观察实验、想象联想、比较类比、归纳概括等一般性的探究思维与学习方法．掌握线面角求解的基本模式，运用cosθ=cosθ1cosθ2可求解空间角．通过变式、类比、联系、推广，在多重探究中体会几何研究的一般规律.

在思想感悟上，以线面垂直为基础来认知与求解线面角，体现了从特殊到一般的认知规律．线面角取值范围的确定，体现了其与线面位置关系的一一对应与知识系统的完整性．线面角概念的形成过程蕴含了运动变化观点，体现了从直观操作到空间想象的抽象思维．基于研究对象的唯一性与最简性来下定义，在类比中体现了数学的简洁美与求简思维．从平面角到空间角、再化空间角为平面角，体现了化空间为平面的立体几何的基本思想．

在思维延伸上，如何从线面角中孕育出二面角？首先，“最小角定理”的推导蕴含了二面角的基本图形，为二面角的认知张开了思维的触角．其次，可类比进行相应的演示与思想实验，让学生去想象和发现二面角.