中考微专题复习课:值得重视的一类课型
——以“特殊直角三角形再认识”复习课为例

2019-05-22 07:40江苏省江阴初级中学
中学数学杂志 2019年6期
关键词:平分线课型直角三角形

☉江苏省江阴初级中学 陆 兵

进入中考复习阶段,涉及几何图形的习题往往与特殊直角三角形有关,而一类边长为“3,4,5”的特殊三角形更是经常见到.为了帮助学生深入理解这种三角形的相关性质,我们预设一节“特殊直角三角形的再认识”中考微专题复习课.本文梳理该课的教学流程,并跟进教学思考,供研讨.

一、“特殊直角三角形再认识”微专题复习课教学流程

活动1:从边长为“3,4,5”的三角形出发

问题:如图1,大家都很熟悉边长为“3,4,5”的三角形,你们想一想,这种形状的三角形有哪些特殊的性质?组内先交流一下,然后全班汇报.

预设:学生很快能确认这是一个直角三角形,如何证明?要引导学生概述一下勾股定理逆定理的证明思路.当然,如果学生的思路比较开阔,可能还会提及这种三角形的两个锐角的三角函数值可以求解出来,还有这种直角三角形斜边上的高为等等.在这个教学环节,重要的是引导学生全员思考,把目光聚焦到这种特殊三角形上来,为后续解题与研究起到“热身”作用.

活动2:例题求解与反思深入

例1如图2,有一张直角三角形纸片,两直角边BC=6,AC=8,点D在AC边上,现将△ABC沿直线BD折叠,使点C落在斜边AB上的点E处,求BD的长.

图1

图2

教学预设:先安排学生独立探究,然后小组交流、全班展示、教师评析.学生根据翻折性质,想到设CD=DE=x,则AD=8-x.由BE=BC=6,可得AE=10-6=4,于是把目光投向直角三角形ADE,可利用勾股定理得关于x的方程:x2+42=(8-x)2,解得x=3,于是在直角三角形BCD中,求出BD=3

解后反思:为了避免“入宝山而空返”,让我们深入思考,进一步想清这个问题的结构,对于边长为“3,4,5”的直角三角形,边长4所对锐角的角平分线BD将对边分成两部分之比恰为3∶5,也就是图3中进一步还可得到特别是后者可以“一般化”,成为三角形角平分线的一个重要性质.再从锐角三角函数的角度看,图3中体现着一个重要性质:若tan2α=则tanα=反之也成立.

图3

成果扩大:研究了“3,4,5”直角三角形中一个较大锐角角平分线的性质,那么较小锐角角平分线有怎样类似的性质?

(安排学生独立探究3~5分钟)

变式思考:如图4,直角三角形ABC中,BC=3,AC=4,AE平分∠BAC,求证:AC=3CE.

学生可以模仿例1的思路,过点E作EF⊥AB于F,利用勾股定理构造方程求出CE的长,从而获得证明.

图4

在此基础上,引导学生“走向一般”,小结提炼出锐角三角函数的性质:若,则反之也成立.限于课堂时间,可安排学生课后进行演算证明.

多题归一:如图5,Rt△ABC中,BC=3,AC=4,角平分线AE、BD交于点G,求∠AGD的度数.

图5

图6

思路预设:可以先利用图6来想清三角函数又一性质“当时,有tan(α+β)=1,即α+β=45°”,于是∠AGD为45°.

活动3:挑战高中“自招”考题

例2如图7,点E是正方形ABCD的边BC的延长线上一点,连接AE交CD于F,作∠AEG=∠AEB,EG交CD的延长线于点G,连接AG,当CE=BC=4时,作FH⊥AG于点G,连接DH,则DH的长为______.

图7

思路预设:由上文例1深入反思后的一些经验积累,可得△CEG是“3,4,5”的直角三角形.可求得,相应的DG为于是可在Rt△ADG中求出;进一步识别出A、F、D、H四点共圆后可证△GDH △GAF.从而根据相似比易求得,所以

回顾反思:引导学生梳理概述本题的解题思路,并跟进追问哪几步是关键步骤,关键步骤是如何贯通思路的,以便强化学生对性质“若”的理解与运用.

例3 如图9,在平行四边形ABCD中,∠BAD=60°,点F是CD边上一点,将△ADF沿AF翻折,点D恰落在边BC上.当∠DAF=时的值为______.

思路预设:由例1反思得到的另一性质“若则可得到于是构造直角三角形AGE,确认该直角三角形是“3,4,5”直角三角形,于是再结合特殊直角三角形ABG(易求∠ABG=60°),可沟通AG、AB的关系为于是,即

图9

图10

活动4:课堂小结,布置作业

本课是对“3,4,5”直角三角形的再认识,特别是深化了这种三角形两条锐角角平分线带来的特殊性质,并从锐角三角函数的角度深刻理解它们.学生在小组内再互相交流一下学习心得,建议通过画出图形互相讲解一下对本课所学性质的理解.小组长可抽查组员对本课例题是否掌握,让组员讲解思路.

最后布置一道拓展题,供课后继续思考挑战.

拓展题:如图11,△ABC是⊙O(的内接三角形,AB=AC,点P是的中点,连接PA、PB、PC.若,求tan∠PAB的值.(提示:作BC边上的高AD,将问题转化为求tan∠DCQ的值)

图11

二、教学思考

1.值得重视的微专题复习课型

当前初中一些刊物上出现一类新的教研视角,即倡导开展中考微专题的复习课型研究,并且出现了一些精彩的微专题课例,这些课例选定一个聚焦主题,选题围绕这个主题由浅及深,对一个图形或某个性质或某种解题策略进行了较有深度的研究,使得学生对这个专题达到了深刻理解的层次,是值得我们重视的.本文中的课例以特殊直角三角形为研究主题,重点关注的是边长为“3,4,5”的特殊直角三角形,也可看成一次微专题复习课型的实践研究.

2.较难题讲评要重视铺垫设问

中考复习期间,会有大量的较难试题,这类较难题如果就题讲题,核对答案,有时具有相同结构的较难题会过一段时间又出现一次,但是“零散”出现,学生容易遗忘,常常是题海中出现过的试题过一段时间又不会求解了.这时需要我们研发同一主题的微专题复习课,并对这些较难题预设铺垫式问题.事实上,本文课例的研究缘起主要是讲评例2、例3后发现效果不好,才想起可以借助微专题课型的启发,先预设一些铺垫式问题,像本文中的例1求解后深入思考,提炼、总结一些性质,并利用这些性质快速突破较难的例2、例3.在这个意义上说,教学即研究,解题教学即研究.

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