高中数学几何解题技巧之“数”“形”结合策略探究

摘 要：数学是关于结构、序和关系的科学，由计数、度量和描述物体形状等基本实践演化而来的，涉及了逻辑推理和數量计算。自17世纪以来，数学一直是物理科学和技术必不可少的助手，以至被认为是科学的基本语言。“数”“形”结合原本是一种数学解题策略，该策略分为“以行助数”和“以数助形”两个方面，其中，“以行助数”是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，“以数助形”是以“数”为手段，以“形”为目的，也就是用几何图形来解析数量关系。本文将举例浅谈高中数学几何解题技巧之“数”“形”结合策略，并提出个人见解。

关键词：高中数学；几何解题技巧；“数”“形”结合策略

高中数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学，发端于计数与度量的实际问题，该学科具有高度的抽象性、严谨的逻辑性和广泛的适用性，包括数理逻辑、数论、代数学、几何学、函数论、概率论、数理统计和计算数学等。通常在运用“数”“形”结合策略解析高中数学几何时，需要科学使用三种途径，即将形转化成数，将数转化为性，促进数与形的有机结合，从而有效解决抽象的几何问题，创新解题策略。本文将简单介绍“数”“形”结合策略的基本定义，并从优化解题途径，构建数学模型，创新解题思路等三个方面举例浅谈高中数学几何解题技巧之“数”“形”结合策略。

一、 “数”“形”结合策略的基本定义

从狭义视角来分析，“数”“形”结合策略主要是根据数量和图形之间的对应关系进行互相转化，以此解决相关问题，简而言之，“数”“形”结合策略是一种智慧性解题技巧，能够使复杂的问题简单化，抽象问题具体化，多项问题条理化。在数学界，“数”“形”结合策略具有极高的地位，华罗庚先生曾经说：“数与形本身相倚依，焉能分作两边飞，数无形时少直觉，形无数时难入微。”由此可见，“数”“形”结合策略不仅是一种思想，而且是一种极为有效的解题方法。此外，“数”“形”结合策略分为三种途径：第一种，将形转化为数，这种途径大多是指用代数方法来研究和解决几何图形问题，将抽象的图形转化为具体代数。第二种，数转化为形，这种途径是根据代数式的具体结构与特征，绘制和构造相应的几何图形，然后用几何方法解析代数问题。第三种，数形结合，这种途径是整个“数”“形”结合策略的核心方法，主要是用几何图形研究和解决代数问题，用代数式解决几何问题，使两者互相结合，从而简化问题解决思路，提高解题效率，探索更为简洁、明了的解题方法。

二、 高中数学几何解题技巧之“数”“形”结合策略

（一） 优化解题途径

在高中数学几何解题中运用“数”“形”结合策略，首先要注重优化解题途径，实现“数”与“形”的有效结合。通常，在将“数”转化为“形”的过程中，要注意准确绘制“形”，为数形结合的实现奠定基础。不可忽视的是，“数”“形”结合策略的重点是“结合”，因此不能简单地用“数”代替“形”，或者用“形”代替“数”。相比之下，“形”具有直观化和形象化的优势，却无法代替“数”的具体推理、运算与证明，在几何解题过程中，“形”大多能够充当解题模式，“数”的解析运算作用不容忽视。例如在计算向量时，就要注意优化解题途径，充分发挥“数”与“形”的优势。

（二） 构建数学模型

在高中数学几何学习中数学模型能够使抽象的几何知识直观化与清晰化，全面了解几何的空间关系、特征与数量关系，减轻了学生的学习负担与压力，增强知识领悟能力、问题解决能力和空间思维能力。在构建数学模型的过程中，应注意细化六步流程：第一，做好模型准备工作，全面了解几何习题所涉及的知识模块，分析问题的相关背景，整合所有信息，运用数学语言准确描述数学问题。第二，科学实施模型假设，即根据实际对象的特征和建模目的，简化问题，同时使用精确的语言做出合理地假设。第三，科学建立模型，运用相应的数学关系准确描述几何变量之间的数学关系，组建完善的数学结构模型。第四，做好模型求解工作，对所建模型的所有参数进行核算。第五，做好模型分析工作，即对几何模型计算结果进行数学分析。第六，全面做好数学模型检验工作，对比分析模型求解结果和实际情形，科学验证数学模型的准确与否，对计算结果的实际意义进行解释与定论。例如在分析数列模型时，应注意数列应用主要是从生活中抽象出的一个等差数列或者等比数列问题，然后，科学建模，并对模型进行假设、分析、计算和验证。

（三） 创新解题思路

运用“数”“形”结合策略解答高中数学几何问题，应充分发挥“数”与“形”的互补优势，勇于创新解题思路，在常规解题的同时探索新的解题方法。例如在解析三角函数时，准确定位函数的自变量，列举函数与自变量之间的对应法则，然后把实际抽象问题转化成数学问题，绘制几何示意图，再利用相关知识解决问题。此外，要注意三角函数的解题规则具有个性与共性，对此，在使用“数”“形”结合策略的同时运用一题多解和多题一解方法，从而有效提高问题解决能力和知识应用能力。

三、 结束语

综上所述，在高中数学几何解题中，运用“数”“形”结合策略简化解题方法，应充分发挥“数”与“形”的作用，不断优化解题技巧，科学构建数学模型，并积极创新解题思路，探索新的解题方法。

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作者简介：

刘佳寅，山西省太原市，太原市第十二中学校。