基于线性矩阵不等式的一类广义系统观测器设计

孙延修，潘 斌

(1.沈阳工学院基础课部，辽宁 抚顺 113122；2.辽宁石油化工大学理学院，辽宁 抚顺 113001)

0 引言

观测器的设计是控制理论的核心问题，在控制理论中具有广泛的应用。如系统的镇定、故障检测、最优控制等，均需要引入状态反馈得以实现。而许多控制问题由于系统状态不易测量或无法获取系统状态，需要重构系统的状态，即设计观测器。线性系统状态观测器的设计问题已经得到了很好的解决[1]。非线性系统观测器设计方法主要有：扩展的卡尔曼滤波器、扩展的Luenberger观测器[2-7]、鲁棒观测器[8]、自适应观测器、比例积分观测器[9]等。在观测器的设计方法中，扩展的Luenberger 观测器可以对非线性项满足Lipschitz 条件的非线性系统进行设计。文献[10]针对一般形式的非线性系统，基于Lyapunov稳定意义下观测器存在性的概念，讨论了降维观测器的存在性并设计了系统降维观测器。文献[11]针对满足Lipschitz条件的非线性系统的全维、降维观测器进行了设计，并以定理形式给出了观测器存在的充分条件。文献[12]针对存在未知干扰的Lipschitz非线性系统，探讨了基于滑模观测器的执行器故障检测的方法。文献[13]利用李雅普诺夫理论队观测器进行了设计，进而获得了原系统状态与虚拟执行器故障的渐近估计；通过线性矩阵不等式方法，实现了线性矩阵不等式的求解，完成了观测器设计。

目前，针对非线性广义系统的观测器研究不足，本文针对系统中含有满足Lipschitz非线性项的一类非线性广义系统，提出一种全维观测器与降维观测器的设计方法。首先，利用 Lyapunov函数，获得了观测器误差系统渐近稳定性的充分条件。其次，采用Schur补引理，给出了两种观测器存在的充分条件。最后，给出数值算例，通过线性矩阵不等式得到所设计的两种观测器的增益矩阵，验证了观测器设计方法的可行性。

1 问题描述

考虑如下非线性广义系统：

(1)

式中：E∈Rn×n为奇异矩阵且满足rank(E)=q

假设1 广义系统(1)可观测，且系统中的非线性项Φ(x,u)满足Lipschitz条件，即：

式中：LΦ为大于0的Lipschitz常数。

TE+NC=In

根据引理1，系统(1)经线性变换可转化为：

(2)

(3)

假设2 系统(1)经线性变换后得到式(3)中的非线性项Φ′(z,u)，满足Lipschitz条件，即：

式中：LΦ′为大于0的Lipschitz常数。

2 广义系统全维观测器的设计

针对系统(1)的变换式(3)，可以设计如下全维观测器：

(4)

定理1 若存在对称正定矩阵P和增益矩阵L,满足下列不等式(5)，则式(4)为系统(3)的全维观测器：

(5)

选取李雅普诺夫函数V(t)=eT(t)Pe(t)，则有：

根据假设2，可得：

eT(t)(αPTP+αI)e(t)

式中：α=LΦ′‖T‖。

3 广义系统降维观测器的设计

假设C=(Ip0),则有y(t)=Cx(t)x1(t)。由z(t)-Ny(t)=(I-NC)x(t)可知，z1(t)=(I-NC)×x1(t)=(I-NC)y(t)。

(6)

式中：L为相应的增益矩阵。

(7)

由于Φ′[z(t),u(t)]满足Lipschitz条件，可知：

故有：

4 数值算例

考虑广义系统(1)的参数如下：

由系统的可观测性,可得行满秩矩阵[TN]中的矩阵T、N，分别为：

对系统(1)进行两次线性变换，可以转化为式(3)的形式。 根据文献[11]中针对增益矩阵的求解方法，利用线性矩阵不等式，可以得出含Lipschitz非线性项广义系统观测器的增益矩阵。

全维观测器的增益矩阵为：

降维观测器的增益矩阵为：

5 结束语

观测器可以通过重构的途径,解决状态不能直接测量的问题。该方法已在控制工程的许多方面得到了实际应用。针对一类非线性广义系统，研究了系统全维及降维观测器的设计问题。基于广义系统的线性变换与正常系统状态观测器的设计方法，设计了含Lipschitz非线性项的广义系统全维观测器和降维观测器。根据Schur补引理，给出定理1和定理2。最后，通过数值算例验证了系统的两种观测器设计方法的可行性，同时为类似系统观测器的设计提供了方法。