全相位FFT频率测量在调频激光测距技术中的应用

郭天茂 刘 柯 缪寅宵 宋金城 郭力振 王晓光

(北京航天计量测试技术研究所,北京 100076)

1 引 言

调频连续波(Frequency Modulated Continuous Wave,FMCW)激光测距技术是一种近距离高精度绝对测距技术，具有非合作、非接触等优点，在火箭装配误差测量[1]、风电叶片面型测量等高精度大尺寸三维形貌测量领域的应用具有重要意义。在FMCW激光测距中，调制信号源通过产生三角波信号对可调谐激光器进行调制，使出射激光的光频周期性线性变化，激光发射信号与经目标反射返回的回波信号混频后得到中频信号，测量中频信号的频率即可反推出被测目标到探测器之间的距离信息。因此，在FMCW激光测距技术中，对于距离信息的解算实质上就是对中频信号频率的解算。

传统上，对数字信号进行快速傅里叶变换(FFT)是我们获取其频率的主要方法，但是传统的FFT频率分辨率较低，因此我们需要在传统FFT的基础上对信号进行频谱细化，提高频率分辨率。目前常用的频谱细化方法主要有直接抽取法、级联FFT法、频域增采样法、时域补零法、Chirp-Z变换法和ZFFT变换法等[4]。但是这些方法都是在传统FFT的基础上进行的，实质细化精度并没有突破传统FFT的限制。并且传统FFT运算过程中需要对信号进行截断，由此会引发频谱泄露。针对上述问题，文献[3]提出了全相位FFT(all-phase FFT, ap-FFT)算法，这种算法能够有效抑制频谱泄露，并且具有相位不变性。相位不变的特性对于基于时移相位差的频率计算是非常有利的，利用相位与频率之间的关系，我们就可以研究两个存在时移关系的序列，利用两个序列频域上主谱线的相位差校正出准确频率。本文利用基于全相位FFT谱分析的时移相位差频谱校正法实现调频激光测距中的中频信号的频率估计。

2 调频连续波激光测距技术简介

图1 调频连续波激光测距原理示意图Fig.1 Schematic diagram of FMCW laser ranging

图2 线性调频连续波信号处理原理Fig.2 Schematic diagram of FMCW Signal Process

(1)

(2)

式中：c——光速;R——测距系统与目标之间的距离值，根据公式(1)和公式(2)可得

(3)

由上式可知，通过测量包含目标距离信息的中频信号的频率，即可准确提取出目标的距离信息。

3 基于全相位FFT谱分析的时移相位差频谱校正法

在全相位FFT算法中，首先需要对输入序列进行全相位预处理，之后再对处理之后的序列进行传统FFT运算。全相位FFT与传统FFT存在许多相似的性质，如齐次性、叠加性、时不变性、频移性等，因此可采用与传统FFT相同的方法对全相位FFT生成的频谱进行处理。全相位FFT的预处理与运算过程如图3所示。

图3 全相位FFT频谱分析流程(N=4)Fig.3 Flow diagram of ap-FFT Spectrum analysis(N=4)

序列ωc是两个长度为N的数字序列的卷积，两个序列分别称为前窗f与后窗b，则有公式(4)

wc(n)=f(n)×b(-n)-N+1≤n≤N-1

(4)

当f和b均为矩形窗时，则称为无窗全相位预处理；当f和b其中之一为矩形窗时，则称为单窗全相位预处理；当f和b均不是矩形窗时，则称为双窗全相位预处理[6]。其中，双窗全相位预处理抑制频谱泄露的性能最好。因此，对信号进行双窗全相位预处理。

下面介绍在全相位FFT的基础上实现时移相位差频谱校正的算法。

假设单频信号的复指数序列为

{x(n)=ej(ω*n+θ0)|n∈[-N+1-L,N-1-L]}

(5)

延时n0个点之后的序列为

{x(n)=ej(ω*(n-n0)+θ0)|n∈[-N+1-L,N-1-L]}

(6)

序列(5)的双窗全相位FFT谱分析的表达式为

(7)

根据全相位FFT的相位不变性，其主谱线k*上的相位谱为

φ1(k*)=θ0

(8)

根据全相位FFT的线性性质，延时后的序列(6)的频谱表达式为

(9)

则其主谱线k*上的相位谱表达式为

φ2(k*)=θ0-ω*n0

(10)

取式(8)和(10)之间的差值，有

Δφ=φ1(k*)-φ2(k*)=ω*n0

(11)

由公式(11)可以看出，具有时移关系的两序列的主谱线的相位差Δφ与延时大小n0成正比，当n0变大时，Δφ也跟着变大。但是受观测范围的限制，主谱线的相位φ1(k*)与相位φ2(k*)的范围均为(-π, π)，则Δφ的取值范围为

-2π≤Δφ≤2π

(12)

此时测得的相位值与实际相位值是不同的，这种现象称作“相位模糊”。需要对相位差进行补偿以消除“相位模糊”。相位补偿值的计算方法为：主谱线k*对应的数字角频率为2k*π/N，经过n0延时后，会引起2k*πn0/N的附加相移。所以，2k*πn0/N就是相位补偿值。从而有

Δφ=φ1(k*)-φ2(k*)+2k*πn0/N=ω*n0

(13)

则补偿后的频率估计为

ω*=[φ1(k*)-φ2(k*)]/n0+2k*π/N

(14)

全相位时移相位差法的频率校正流程图如图4所示[3]

图4 全相位时移相位差法频谱校正流程Fig.4 Spectrum correction process flow diagram of all-phase time-shift phase difference method

可见，前后两段序列的初始相位差值除以延时点数n0就可以得到频偏值，相位补偿值与n0的比值为主谱线的频率，二者相加即可得到输入信号的频率估计值。由以上分析可知，在单频信号频率的测量过程中，相位补偿值是确定的，并且由于全相位FFT的相位不变性，相位差的估计也是准确的，因而由公式(14)得到的频率估计值也是准确的。

4 试验验证

4.1 测距试验

项目中搭建了调频激光测距系统，利用长导轨进行试验，对由近及远的标准位移进行测量，采集数据，在MATLAB环境下进行频率解算获得距离值，对全相位时移相位差法在调频激光测距中的应用效果进行验证，同时与传统FFT时移相位差法进行对比。

试验参数如下：

采样频率：100MHz；

FFT点数：4096；

时移点数：4096；

采样位宽：14位；

apFFT预处理：采用双窗预处理。

表1为部分测量数据。

表1 试验测量结果Tab.1 Result of the measurement

由于测距系统未放置于导轨的初始零点处，因此试验过程中测得的距离值与标准值总是存在一个固定的差值。由表1可以看出，测距系统的测量误差随着距离的增大而增大，这是由于随着距离变远和电路噪声的引入等导致回波信号的信噪比变差，相位提取不准确导致的。利用此方法对回波信号进行处理，在超过50m距离处测量误差不超过0.3mm。可见基于全相位时移相位差频谱校正法的频率估算方法在调频连续波激光测距中具有良好的应用效果。

通过对比可以看出，基于传统FFT的时移相位差法的测量误差明显大于apFFT法，但是在某些距离上二者的误差相差不大，这是由时移相位差法本身的原理决定的，由第3章的原理介绍可知，在时移相位差法中，相位差的组成包括两部分：频谱上直接提取的相位差和补偿的相位差。在调频连续波激光测距系统中，采样频率为100MHz，FFT计算点数相对于采样频率来说并不算大，因此栅栏效应明显，不管是apFFT还是传统FFT，二者提取到的主谱线的位置几乎相同，因此二者的相位补偿值相同。但是apFFT对相位的提取比传统FFT准确，因此由基于apFFT的时移相位差法提取到的频率值比基于传统FFT的时移相位差法要准确，进而前者的测量误差也要明显小于后者。

4.2 全相位FFT方法中计算参数对频率测量的影响

我们利用在距离值约为5m、10m和20m时分别采集的1000组测量数据，改变计算过程中FFT的运算点数和时移点数，探究二者对频率测量的影响。

4.2.1 FFT运算点数对频率测量的影响

将时移点数固定为4096，改变FFT的运算点数，频率测量值如表2所示。

表2 试验测量结果Tab.2 Result of the measurement

由表2数据可以看出：①在同一距离值处，当FFT点数增加时，计算结果的标准差和极差值趋于减小，稳定性增加，计算偏差减小；② 当运算点数固定时，随着距离值的增加，计算结果的标准差和极差值都趋于增大，稳定性降低，计算偏差增大，这也与4.1条测距试验中距离测量结果的误差变化趋势相吻合。

分别对相同运算点数下不同距离的频率测量平均值做差，得到表3中的数据。

根据表3中的数据，运算点数为1024和2048时，5m～10m之间的频率差相差约4.8kHz，10m～20m之间的频率差相差约2.4kHz；运算点数为2048和4096时，5m～10m之间的频率差相差30Hz，10m～20m之间的频率差相差10Hz。随着点数的增加，对应固定距离的测量，频率差逐渐趋于稳定。

表3 不同距离之间的频率差Tab.3 Frequency difference between different distances

4.2.2 时移点数对频率测量的影响

将FFT的运算点数固定为4096，改变时移点数时，频率测量结果如表4所示。

表4 试验测量结果Tab.4 Result of the measurement

由表4数据可以看出：①在同一距离值处，当时移点数增加时，计算结果的标准差和极差值趋于减小，稳定性增加，计算偏差减小；②当时移点数固定时，随着距离值的增加，计算结果的标准差和极差值都趋于增大，稳定性降低，计算误差增大。

如4.2.1条，分别对相同时移点数下不同距离的频率测量平均值做差，得到表5中的数据。

表5 不同距离之间的频率差Tab.5 Frequency difference between different distances

时移点数为1024和2048时，5m～10m之间的频率差相差约48kHz，10m～20m之间的频率差相差7Hz；运算点数为2048和4096时，5m～10m之间的频率差相差12Hz，10m～20m之间的频率差相差6Hz。随着时移点数的增加，不同距离间的频率差逐渐趋于稳定。

4.2.3 结论

根据以上的试验数据可知，增加FFT运算点数和时移点数有助于提高频率测量结果的准确性和稳定性，但是FFT运算点数提高到一定范围之后对测量结果的影响会逐渐减小。增加FFT运算点数会导致硬件开销大大增加，运算效率降低。因此在实际应用过程中，应根据试验和仿真情况酌情选择合适的FFT运算点数和实际情况允许下最大的时移点数。

5 结束语

调频连续波激光测距技术具有测量距离远、测量精度高和不需要合作目标等优点，与其他常见的非合作激光测距体制相比具有最高的测量精度。将全相位时移相位差法应用于调频连续波激光测距技术，达到了较高的距离测量精度。探讨了在全相位时移相差法中计算参数对测量结果的影响，提高FFT运算点数和时移点数都能够提高测量的准确性和稳定性，然而为了兼顾计算效率，不应该一味提高运算点数。事实上，只有将数字信号处理技术与FPGA相结合才能达到实际应用的要求，这也是本文后续的研究目标。