浅谈中心极限定理及其应用

金峥嵘

摘要：中心极限定理是概率论中最基本的定理之一，它是在客观实际的背景下产生的，具有较为深刻的实际意义。本文围绕两种常用定理：林德伯格-莱维中心极限定理和棣莫夫-拉普拉斯中心极限定理，通过证明定理，讨论定理的适用性，举例生活中的初步运用，揭示中心极限定理的内涵。

关键词：实际应用;林德伯格-莱维中心极限定理;棣莫夫-拉普拉斯

当在分析大量随机因素（不为主要因素）叠加的影响时，我们常常用到中心极限定理。定理表明在样本容量充分大的情况下，随机变量序列部分和的极限分布为正态分布。其阐明了影响较小的多个随机因素之和與正态分布之间的联系，也系统的解释了正态分布在自然界大量存在的原因。在解决一些问题时，我们常把符合中心极限定理条件的随机变量和的分布转化为正态分布，进而研究和讨论。因为正态分布具有鲜明的特征及较为完善的结论，所以其探讨过程更为直观形象。因此中心极限定理为解决大量复杂多样的实际问题提供了便利。

1 林德伯格一莱维中心极限定理

设{X_n}为独立同分布的随机变量序列，且E（X_i）=μ，Var（X_i）=σ²>0存在，若记任意实数y有

证：令φ（t）为X_i-μ的特征函数（记为X_i-μ～φ（t）），则。已知E（X_i）=μ， Var（X_i）=σ²。则E（X_i-μ）=0，Var（X_i-μ）=σ²。φ'（0）=iE（X'-μ）=0，φ"（0）=i²E（（X_i-μ）²）=-σ²。将特征函数φ（t）在t=0时展开即：又因为。可知{Q_n*}的特征函数数列极限为服从N（0，1）的特征函数。所以可得

林德伯格-莱维中心极限定理适用于相互独立，服从同一分布，有期望，有方差的随机序列。定理实质为～N（0，1）（n充分大时）（1），即在样本容量充分大的情况下，随机变量总和近似服从正态分布。通过（1）式可推出随机序列均值的近似分布特点：。我们常用中心极限定理求随机变量和在给定区间内的概率或者在概率给定的情况下，求随机变量和的值。

2 棣莫夫一拉普拉斯中心极限定理

设n重伯努利试验中，事件A在每次试验中出现的概率为P（0n