小学数学课堂学程单的应用

张福升

[摘   要] 朱熹说：“学起于思而贵有疑。”传统的课堂是以教材内容编排或者教师教学活动为核心展开，这样的教学方式并不利于呈现学生的思维，引发学生的疑问。学程式课堂就是希望以学程单为媒介，突出学生学的经历，淡化教师教的过程，让提问、质疑、反思促进学生学习自主。具体做法有：倡导多元思考，呈现真实的数学课堂;鼓励体系建构，厘清知识的来龙去脉;善于自我反思，探索未知的知识领域。

[关键词] 学程单;提问;探索;交流

当今的时代信息高度发达，信息摄取方式极其多样化。教学方式也应当是随着孩子的发展而与时俱进。孩子的知识来源多而庞杂，不能按照教学进度亦步亦趋、层层推进，所以有的孩子对课堂知识有更深一步的思考，有更进一步的追问，有更深入的学习需求。老师应该顺势而为，把提问的权力、质疑的权力、反思的权力还给学生——前提是提出的问题有价值，质疑的对象有意义，反思能够引发新的问题。借助学程式课堂改革和学程单的应用，学生在学习中有疑惑，有思考，有真学习。

一、倡导多元思考

在五年级“真分数和假分数”一课的学习中，认识多个分数以后，要给黑板上的分数进行分类并下定义。教师在孩子的学程单上呈现出所有的分数：[1/4、2/4、3/4、4/4、5/4、6/4、7/4、8/4、10/4、20/4。]

师：仔细观察这些分数，你能不能按照一定的标准给这些分数分分类？（同桌2人讨论一下分类方法。）

师：谁来说一说你们按什么标准怎么分类的？

生1：分子大于分母的一类，分子等于分母的一类，分子小于分母的一类。

（师随机贴出黑板条，追问：他是按照什么分类的？）

生2：分子和分母的大小关系。（板书：分子与分母的大小关系。）

师：这里的每一类都有哪些分数？

生3说后老师出示板书。

师：还有不同的分类方法吗？

生4：把用1个圆表示的放在一类，2个圆的一类，3个圆的一类，5个圆的一类。

生5：那如果有7个圆、8个圆、10个圆的，岂不是我们要分好多类啊？

生4：……

生5：可不可以这样，只用1个圆解决的放在一起，多于一个的分成另一类，分两类。

师：如果按照数字来看，生5实际上是以哪个数字为标准给这些分数进行分类呢？

生4：噢，我知道了，他是在用分数和1的大小比较来分类的。（板书：和1的大小关系）

生6：还可以把分子是分母的倍数关系的放在一类，其他的分成另一类。（板书：是否存在倍数关系）

师：分类是一种重要的数学思想方法，它给我们提供了进一步深入研究学习的机会。三位同学的分类都非常好：可以按照分子分母的大小关系分;可以以1为标准按大小分;也可以按照分子分母是否有倍数关系分。大家在以后的学习中都能找到这三种思考方法的影子。今天这节课，我们就重点研究按照分子与分母的大小关系进行的分类。这里每一个类别你还能举例说出一些分数来吗？（学生说，老师丰富板书。）

师：其实这些分数在数学上都有各自的名字，你们想知道吗？请同学们把书翻到第38页，自学第38页最后2行的内容。

师：从书上你都了解到什么？

生：我了解到分子比分母小的分数叫真分数;分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫假分数。（师和生一起归类板书。）

师：这就是今天这节课所要学习的内容“真分数和假分数”。（师板书课题。）

刚才在分类的时候，有同学提到了“与1的大小关系”。现在你们能结合图再来看一看，这些真分数、假分数与1相比各有怎样的关系吗？

（在生的回答中完成板书：真分数<1，假分数≥1。）

师：是否存在这样的关系，我们还将继续学习！

在充分放手、班级交流研讨的宽松氛围下，孩子们变得敢想、敢说，课堂参与度明显提高了，思考也变得更真切了。通过对过程性细节的质疑与讨论，不知不觉中，从模糊变得清晰。在这一段讨论中，不同的孩子从不同的角度思考与解释——可以按照分子分母的大小关系分，可以以1为标准按大小分，也可以按照分子分母是否有倍数关系来分类。借助实物分类、建立表象思考、最终分类抽象，这其实是代表了完整的一个数学概念的建构过程，通过班级讨论与交流，把它们全部呈现出来，有助于不同认知水平的学生从自己的角度去理解进而解决这个问题，并最终构建适合于自己的知识结构体系。

二、鼓励体系建构

苏教版小学数学六年级总复习——“平面图形的面积整理与复习”，通过整理希望让学生进一步弄清长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形和圆形面积公式的关联，构建知识网络，形成系统，进一步体会公式与公式之间的联系。通过复习，学生能根据长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形和圆的面积公式解决一些简单的实际问题，进一步体会数学与生活的联系，感受数学的价值，增强学习数学的兴趣。

师：我们学过的平面图形有哪些？（长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形、圆形）

师：你能把它们的面积公式之间的关系用画图的方式表示出来吗？

（学生借助学程单分组研究，讨论反馈。）

小组A反馈知识结构图（学生看图口述）：

（1）以三年级学习的长方形面积计算方法S=ab为起点，首先推导出正方形面积计算公式S=a2 ;

（2）五年级利用切割和平移以及长方形面积计算方法推导出平行四边形面积计算方法S=ah;利用切割以及无限细分的策略，推導出圆的面积计算方法S=πr2，渗透极限的思想;

（3）利用旋转、拼接的方法以及平行四边形面积计算方法推导出梯形和三角形的面积计算方法S=ah÷2;S=（a+b）h÷2。

小组B反馈知识结构图（学生看图口述）：

（1）以平行四边形为中心，通过切分可以推导出三角形、梯形的面积计算方法;

（2）以平行四边形为中心，通过切割、平移可以推算出长方形、正方形的面积计算方法;

（3）如果圆形在均分时份数较少，圆形转化后更接近一个不规则的平行四边形，所以圆的面积计算方法在细分份数较少、较多时分别接近平行四边形和长方形，细分份数越多越接近长方形，直到份数无穷大等于长方形面积为止。

A小组的平面图形面积计算公式的联系结构图比较常见。在整个小学阶段，按照教材的编排体系，按照知识习得的先后顺序，把它们整理出一个具有内在联系的完整结构。虽然和教材上呈现的方式稍有区别，但是从本质上来说，是完全一致的，属于“中规中矩”的知识结构体系。

B小组的整理结构图体现出了比较差异化的思维方式，一般孩子都是以长方形面积计算公式为平面图形面积认识的起点，但是这个小组却以平行四边形为中心点，往外辐射出其他所有小学阶段的平面图形面积计算方法，而且全部都能够“言之有理”，在他们的结构图中，运用了平移、切割、转化、拼接等各种数学策略。

综合来看，借助学程单为媒介，结合教师给的开放性的大问题，利用指定的素材、自由的讨论，两组学生都形成了属于自己的、完整合理的知识结构体系，A小组更加线性化，以知识习得的时间线为轴;B小组更加结构化，以知识间的内在联系为轴。无论如何建构，开放的学程单都给与了孩子足够的思考时间、思考空间，也有了整理思路使之显性化的媒介，充分体现了以学生的学为中心，以学生的素材为教学资源，变“教程”为“学程”的核心思想。

三、善于自我反思

苏教版六年级下册第四单元是“比例”。在学生认识了比例的意义后，进行概念的强化练习。学程单：判断下面每组的四个数是否可以组成比例，完成后再看看你还有什么发现？

（1）5、7、15和21 （2）2、4、6和8

（3）4、3、[13]和[14] （4）[35、15、9]和3

学生完成练习后，汇报反馈。

师：对于这四道题目，你还有什么想说的吗？

生1：老师，我有一个问题，以第二题为例，是不是只要四个数是等差数列，这四个数就不能组成比例呢？

生2：一个例子恐怕不能说明问题，我们可以再举几个例子验证一下。

师：同意，谁来为大家举几个例子？

生3：1、2、3、4。

师：口算一下，可以组成比例吗？

生齐：不可以（1×4<2×3）。

生4：0.8、1.6、2.4、3.2。

生5：不可以，观察一下0.8乘3.2和1.6乘2.4的尾数就知道结果不可能相同，他们不可以组成比例。

生6：[74、54、34、14]

生7：不可以，从数值大小观察，两个中间数和首尾数的乘积不相等。

师：通过大家刚才的验证，我们发现，无论是四个整数、小数还是分数组成的等差数列，都不能组成比例。可是，我们不可能把所有的例子全部举完啊！到底该怎么证明四个数如果构成等差数列，那么，它们就一定不能组成比例这个结论呢？

生齐：用字母来表示！

师：你们分小组合作，试试看能不能解决这个问题。

A小组：我们组举的例子是x，x+a，x+2a，x+3a。

证明过程： x×（x+3a）            （x+2a）×（x+a）

=x2+3ax               =x2+ax+2ax+2a2

=x2+3ax+2a2

利用乘法分配律算出结果，把两个式子的答案对比一下：x2+3ax和x2+3ax+2a2。假设这四个数能够组成比例，那么x2+3ax = x2+3ax+2a2，也就是说2a2=0，即a2=0。而平方以后还等于0的数，只有0，所以结论是a=0。

通过以上的推理，我们可以得出结论，除了公差为0的四个数组成的等差数列（也就是四个一样的数），其他所有组成等差数列的四个数，都不能够组成比例。

学生个体所具有的反思角度、思考深度，引发出这个极具价值的数学问题。虽然在讨论交流中牵涉到了一些目前他们还不够熟悉的方法，但是教师适当指导，引领他们探索未知的数学领域，还是一件极具价值的课堂体验。数学课程课标提倡把提问的主动权交给学生，鼓励学生自由思考，自主发现，著力培养学生提问的习惯、批评争论的习惯、合作探究的习惯，为学生的自主学习、终身学习奠定坚实的基础。

“学起于思而贵有疑”，既然鼓励孩子主动发现问题，提出问题，那么我们就应该给他们时间进行反思并解决问题。在适当的时候，可以让学生主导的“学程”来替代教师既定的“教程”。作为老师，我们是否能够说到做到，下放权力——真的在课堂上让孩子有提问的权力、质疑的权力、反思的权力？借助学程式课堂变革，借助学程单这个媒介，学生脑海中的疑变得显性化，变得可讨论、可解决，课堂从“教程”走向“学程”，真正让孩子们做课堂的主角、学习的主人！

参考文献

[1]刘兼，孙晓天.数学课程标准解读[M].北京师范大学出版社，2010.

[2][美]大卫·库珀.体验学习[M].王灿明，朱永萍译.华东师范大学出版社，2008.

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[5]贲友林.学为中心数学课堂的思考与实践[J].教育视界，2018，（2）.