高中数学“隐形圆”问题探究

陆晓鸣

摘 要：数学问题变化无穷，教师要善于引导学生总结归纳问题的规律。就有关圆的数学问题而言，有些数学问题看似无关乎圆，但深入分析其几何意义，就可以利用圆的知识解决。文章探讨高中数学中“隐形圆”问题，旨在提高学生解决数学问题的能力，发展学生数学思维。

关键词：高中数学;隐形圆;数学教学;数学思维

中图分类号：G633.6文献标志码：A文章编号：1008-3561（2019）10-0057-01

作为高中数学知识体系中的重要知识点，圆的相关知识和问题是历年高考数学的重点。近几年“隐形圆”问题出现的频率很高，该类问题不但考查学生对圆的相关知识的理解和掌握程度，还综合考查学生运用圆的知识解决数学问题的能力。解决此类问题的诀窍在于准确把握圆的知识与其他数学知识之间的联系，准确找出“隐形圆”。因此，教师可以结合具体数学题目解析探讨“隐形圆”问题，帮助学生更好地解答“隐形圆”问题，提高其解题能力。

一、根据圆的定义发现隐形圆

例1：已知向量■=（4，0），■=（0，4），■=（■cos？兹，■sin？兹），则■和■之间的夹角范围是多少？解析：点P的轨迹是以点N（0，4）为圆心，■为半径的圆，经过点O（0，0）作圆的切线，得到切点A、B，则∠NOA=∠NOB=■，可知∠AOM=■，∠BOM=■，可得向量■与向量之间的夹角■范围为[■，■]。评注：该题目的解题诀窍在于根据已知条件得出|■|=■，可知点P到点N的距离与定值相等，依照圆的定义，找到隐形圆——点P的轨迹以N（0，4））为圆心，■为半径的圆，再根据这个隐形圆确定向量■与向量■夹角的临界位置，从而确定夹角范围。

二、利用对角互补的四边形的四个顶点共圆找到隐形圆

例2：假设向量■、■、■满足 ■，■■■■■，且■-■和■-■之间的夹角为■，则 ■的最大值是多少？解析：设？兹为■、■的夹角，由■，■■■■■，得到？兹=■，向量■、■、■的起点平移至相同起点O，终点分别为D、E、F，则■-■=■，■-■=■，且∠DFE=■，因此，D、O、E、F四点在同一个圆上，即点F在△DOE的外接圆上。当OF为直径时，■取最大值，根据余弦定理可知DE=■，再根据正弦定理可知△DOE的外接圆直径为■。评注：根据平面四边形DEFG的对角和等于？仔，则D、E、F、G四点在同一个圆上，再根据圆的所有弦中直径最长来处理，可以大大简化计算步骤，而且也更容易理解。

三、根据直径所对圆周角等于90°发现隐形圆

例3：假設实数d、e、f成等差数列，点A（1，0）在动直线dx+ex+f=0上的射影为P，点N（2，1），则线段AN长度的取值范围是多少？解析：由于实数d、e、f成等差数列关系，可知2e=d+f，即d-2e+f=0，和方程dx+ex+f=0对比可知，动直线永远经过定点Q（1，-2），由点A（-1，0）在动直线dx+ex+f=0上的射影为P，可知∠APQ=■，因此点P在以AQ为直径的圆上，圆心坐标为（0，-1），半径为■，点N与圆心的距离为2■。因此，线段AN的长度取值范围为[■，3■]。评注：该题目中，由∠APQ=■、AP⊥QP可以推出点P在以AQ为直径的圆上，从而找到隐形圆，将问题转换成求圆上点到定点距离取值范围的问题。

四、构建坐标系求动点轨迹方程发现隐形圆

例4：已知△DEF中，DE=2，DF=■EF，请问△DEF面积最大值是多少？解析：可以构建坐标系，以DE边所在直线为横轴，DE中垂线为纵轴建立平面直角坐标系，则D点坐标为（-1，0），E（1，0）。假设点F（m，n），由DF=■EF，可得■=■■，经过化简整理可得（m-3）2+n2=8，即点F在圆（m-3）2+ n2=8上运动，可知S△DEF=■DE·|n|=|n|≤2■。因此，△DEF面积最大值为2■。评注：由于DE的值是固定的，可知△DEF面积的大小由点F的位置决定，因此，通过构建平面直角坐标系，得到动点F的轨迹方程，就可以求解出面积最大值。

五、通过三角代换构造隐形圆

例5：假设实数■、■、■满足d 2+e2=f 2，f≠0，则■的取值范围是多少？解析：根据已知条件d2+e2=f2，f≠0，可知（■）2+（■）2=1，假设■=cosθ，■=sinθ，θ∈[0，2？仔），因此可以设k=■=■=■，表示点M（2，0）和圆x2+y2=1上的点连线的直线斜率。假设直线l：y=k（x-2），则■≤1，解得-■≤k≤■。因此，■∈[-■，■]。评注：该题目将齐次式d 2+e2=f 2，f≠0，同除e2得（■）2+（■）2=1，利用sin2θ+cos2θ=1，构造x2+y2=1单位圆加以处理。

综上所述，教师应引导学生重视解题过程的分析，不断提高直观化思维水平及数学感知能力，善于通过问题的表象快速找到解决问题的突破口和问题的本质，从而提高数学解题能力。

参考文献：

[1]刘长伟.例析数学问题中的隐形圆[J].高中数学教与学，2017（03）.

[2]章文昊，殷伟康.例析“隐形圆”问题的解题策略[J].中学数学，2018（11）.