“厉害了，我的角”课堂实录*

(余姚市第七中学,浙江 余姚 315450)

近日，笔者参加了浙江省宁波市教坛新秀评比，其中一个课题以2018年浙江省数学高考第8题等4道空间角小题为背景，对慈溪中学高二学生展开一堂空间角的复习课，上课时间不超过18分钟.这是一种全新的课堂教学评比模式，教学设计和课堂教学环节不等同于常规的课堂教学.

笔者用新课程理念，在核心素养的引领下，根据授课内容和授课学生的认知水平，通过复习空间3种角的概念构建了一个鳖臑模型，借助鳖臑，围绕空间3种角的内在联系和大小关系来构建课堂，使概念进一步内化.

1 教学内容的确定

本次课堂评比是以例1～例4为背景开展的空间角复习课.

例1(移动靶射击问题)如图1，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小.若AB= 15 m，AC=25 m,∠BCM=30°,则tanθ的最大值是______(仰角θ为直线AP与平面ABC所成的角).

(2014年浙江省数学高考理科试题第17题)

图1 图2

( )

A.γ<α<βB.α<γ<β

C.α<β<γD.β<γ<α

(2017年浙江省数学高考理科试题第9题)

图3

( )

A.F-AB-CB.B-EF-D

C.A-BF-CD.B-AF-D

(2018年4月浙江省数学学考试题第18题)

例4(3种角的大小比较)已知四棱锥S-ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点(不含端点).设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S-AB-C的平面角为θ3，则

( )

A.θ1≤θ2≤θ3B.θ3≤θ2≤θ1

C.θ1≤θ3≤θ2D.θ2≤θ3≤θ1

(2018年浙江省数学高考试题第8题)

以上4个例题可以全用，也可以部分用.教学设计可以围绕一种角或者3种角展开，教学形式可以多样化.基于这样的要求，笔者从以下4个方面进行思考：

1)对于学生而言，单纯的复习一种角或者3种角的概念和求解均无新意可言，也不可能激发学生的兴趣，只是在学生已有认知上再重复了一遍，这样的课堂枯燥无味，注定要失败.因此，本节课定位在概念复习的基础上着重凸显3种角的联系,比较3种角的大小.

2)复习课不是单纯的习题课，而应借助合适的题目作为载体强化概念，提炼方法，提升思想.由于上课时间比较短，不可能把4道题目一一讲解，笔者在确定主题之后发现例2和例3只有单纯的二面角，不适合主题.例1虽然可以转化成线面角与二面角比较，但没有线线角，也略显逊色，只有例4符合本节课的主题.

3)例4怎么用？给出题目图形来复习概念，还是复习概念构建模型从而解决题目.前者相对比较常规，3种角的概念和作法一次性呈现出来，缺少学生数学建模的过程；后者起点低，在数学建模过程中体现3种角的层层递进，使学生经历模型的形成过程，又从模型中进行数学抽象、逻辑推理出结论并应用，提升从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力，进一步提升学生的核心素养.

4)18分钟的课堂该怎么上？跟常规的课堂又有什么区别？时间虽短，但内容不减，这就要求在教学设计中要更加突出课堂的精华，教学环节更加精炼，减少课堂引入和学生独自探究的时间，但也不能满堂灌，在课堂中时刻做到跟学生的思维碰撞，这就要求问题的设计要层层递进，紧靠学生的最近发展区，使学生的思维始终处于活跃期.

基于以上考虑，本节课设计从3条异面直线出发，构建鳖臑模型，在模型的构建过程中，既兼顾了3种角的概念，又从3种角的定义出发.发现3种角的内在联系和大小关系后，抓住本质，进一步内化概念，再借助例4中3种角的联系进行应用升华.

2 课堂实践

环节1开门见山，构建模型.

师(幻灯片呈现标题“空间角复习微专题”)：空间角是刻画空间线面关系的重要元素之一，空间中的3种角都可以化归到平面角来度量.本节课我们从空间角的概念出发，探究它们之间的联系.如图4，给出空间中的3条异面直线，可以用异面直线所成角来刻画它们之间的位置关系.

图4 图5

问题1如何作出异面直线所成角？

生1:在空间中任取一点O，把直线平行移动到点O，可作出两条异面直线所成角.

师：回答得很好！经过空间一点O，分别作两条异面直线的平行线，把所作平行线所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成角.为了后续表述的方便，把3条直线分别标上字母，如图5的中∠AOD,∠AOE,∠DOE(或其补角)都为异面直线所成角.

问题2在图5中，有没有直线与平面所成角？

生(众)：有.

图6

师：我们把平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成角.如图6，以直线OA与平面DOE为例，如何作出它们的线面角？

生2：过点A作AB⊥面DOE，联结OB，∠AOB为直线OA与平面DOE所成角.

问题3这里有没有二面角？

生(众)：有.

师：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.以二面角A-OE-D为例，如何作出二面角的平面角？

生3：如图6，在平面DOE内，过点B作BC⊥OE于点C，联结AC，∠ACB为二面角A-OE-D的平面角.

设计意图对于学生而言，3种角的定义和作法掌握得都是不错的，因此，笔者从3条异面直线出发，层层递进地复习了3种角的概念和作法，不仅可以用较少的时间达到复习基本概念和基本作图方法的效果，而且3种角相继出现，显得比较流畅.更重要的一点是，整个过程构建了图6，对下一个教学环节的开展有着承上启下的作用.

环节2挖掘模型，引入主题.

师：做完这个模型，老师发现了很多厉害之处：1)构造了一个厉害的三棱锥A-OBC，它的4个面都是直角三角形；2)发现了一个厉害的角∠ACB，它集三角于一身，可以看成AC与BC的平行直线的线线角、AC与面DOE的线面角和二面角A-OE-D的平面角；3)我们把3种角都化归成平面角来度量，那么就可以用平面角来比较它们的大小；4)最厉害的还是我们的同学，能够准确无误地回顾3种角的概念和作法.既然都这么厉害，今天这节课的标题也换一个厉害点的标题“厉害了，我的角”.

设计意图该设计利用“厉害”这个词，能够最大限度地吸引学生的注意力，提高学生的兴趣，也突出了本节课要利用厉害的三棱锥和平面角来比较3种角的大小，为后续探究活动的开展埋下伏笔.

图7

师：为了方便大家的比较，作如下约定：1)如图7，分别用α,β,γ来表示其中一个线线角、线面角和二面角；2)本节课只考虑锐角情况，特殊位置(如0°,90°)和二面角为钝角的情况不作考虑.因为这两个特殊位置容易比较，而二面角为钝角时始终比线线角、线面角大，不具有比较的意义.接下来，我们从厉害的模型(4个面都是直角三角形的三棱锥)中进行以下探究活动：

探究1线线角α与线面角β的大小关系如何？

分析要比较角的大小总要借助某个三角函数，而这些角都在某个直角三角形中.因为α和β所在的直角三角形有公共边OA.

生5：也可以构造余弦.

师：不错，只要抓住两个角的公共边OA，正弦和余弦都是可以的.动态地看，α可以看成直线OA与平面DOE内的任意直线所成的线线角，β为直线OA与平面DOE的线面角，那么何时α=β？

生6：当点B与点C重合时，α=β.

师：这样我们就得到了α≥β，以上探究过程其实也论证了最小角定理.

最小角定理线面角(平面的斜线与其射影所成的角)是这条直线和这个平面内任意一条直线所成角中的最小角.

探究2线面角β与二面角γ的大小关系如何？

分析β与γ所在的直角三角形有公共边AB.

师：何时β=γ？

生7(继续)：当点O与点C重合时，β=γ.

师：这样我们就得到了β≤γ，以上探究过程其实也论证了最大角定理.

最大角定理锐二面角的平面角是二面角的一个半平面内的任一直线与另一个半平面所成角中的最大角[1].

设计意图构建3种角的大小关系比较，有两种方法：1)构造3种角的三角函数值，在抓住公共边相同的基础上，比较另一条边的长短，构建不等关系，最后用动态的观点观察取等号的位置；2)构建相等关系，引导学生利用三正弦定理和三余弦定理比较大小.

本课设计选择了方法1)，主要基于以下考虑：1)降低知识起点，在探究之前多次提到厉害的模型，就是为比较角的大小作铺垫，“要比较角的大小就要看角的三角函数值，要表示三角函数值，最好放到直角三角形中”的思维水到渠成；2)本节课重点比较3种角的大小，如果利用三正弦定理和三余弦定理来说明问题，势必要增加其他辅助角，反而对图形的直观性有所影响，适得其反；3)由于时间上的局限，不可能在课堂上解决多个问题，可在小结中画龙点睛地引导学生进一步研究这个模型，为发现三正弦和三余弦定理创造条件，从而提升逻辑推理、数学运算等核心素养.

综上所述,探究1和探究2形成了一个3种角的结构图，即α≥β，β≤γ，即

师：3种角的大小关系都清楚了吗？

生(部分)：线线角α和二面角γ的大小还是不清楚？

师：不错，以上探究无法解决这两种角的大小关系，我们一起来思考线线角α和二面角γ有什么关系？

分析按照刚才的方法，这两个角所在的直角三角形虽有公共边AC，但一个是直角边，一个是斜边，对比较大小没有帮助，无法确定某个三角函数值.从动态的角度来看，当点O趋向无穷远处时，α→0°，当点O趋向点C时，α→90°，因此线线角α和二面角γ无法比较大小.

设计意图虽然线线角和二面角的大小关系不确定，但为了比较的完整性，这个环节必须要设计：一方面培养学生严谨的思维，不能因为大小无法比较而回避；另一方面，也为后面例4中线线角和二面角能够比较大小形成强烈的对比，引起学生的认知冲突，激发学生课后进一步探究的兴趣.

环节3模型应用，牛刀小试.

例5已知四棱锥S-ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点(不含端点).设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S-AB-C的平面角为θ3，则

( )

A.θ1≤θ2≤θ3B.θ3≤θ2≤θ1

C.θ1≤θ3≤θ2D.θ2≤θ3≤θ1

(2018年浙江省数学高考试题第8题)

图8

分析如图8作出θ2,θ3,易知θ1是SE与面ABCD内BC所成的线线角,θ2是SE与面ABCD所成的线面角,θ3是面SAB与面ABCD所成的二面角.

生8：由最小角定理得θ2≤θ1，由最大角定理得θ2≤θ3.

此时部分学生惊奇地发现正确答案是D.

师：厉害吧，根据前面的探究，此题可以秒杀.其实更厉害的还在后面，既然选D，就意味着在本题中线线角θ1和二面角θ3可以比较大小，这又是怎么回事？

师生进一步分析，得到：1)根据3种角的结构图，线线角和二面角不能直接比较大小，但都可以与线面角进行比较，而二面角θ3是一个集三角于一身、厉害的角，它可以看成线面角；2)前面模型中能够比较大小的角都能够找到公共边，θ1是直线SE与BC所成的角，θ3是直线SH与OH所成的角，不难发现BC∥OH，因此可以转化成同一条.

基于以上两点，只要把θ1看成是直线OH与SE所成的角，θ3是直线OH与面SAB所成的角，利用最小角定理就可以得到θ3≤θ1[2].

设计意图本题的解答要体现快而准，这样才能让学生体会到前面建立的模型的厉害之处，同时也留下进一步思考的内容：线线角和二面角是否具有大小关系？

环节4课堂小结，总结提升.

本节课时间虽短，但内容丰富，可以用“1234”来概括，具体来说，我们提炼了1个模型(鳖臑：简单介绍鳖臑的数学文化)，利用了2个定理(最小角定理和最大角定理)，探究了空间3种角概念的内在联系和大小关系，最后用“4字成语”来概括本节课的内容那就是：构型斗角(跟“勾心斗角”声相近)，即构造模型，比较3种角的大小.

设计意图本节课鳖臑不是重点，而是通过这个模型比较3种角的关系，故不需要在前面介绍，以免主次颠倒.课堂小结也给学生指出了课后继续思考的方向以及应用：两个定理的证明、线线角和面面角的关系等等……也可利用本节课的结论巧解例1.

3 教学反思

本节课从最简单的3条异面直线出发，通过复习3种角的概念让学生亲历模型的形成过程，经历了直观感受、操作确认、思辨论证、度量计算等一系列思维过程，积累了从具体到抽象的活动经验，学会了用数学的眼光观察进而抽象出概念、定理和方法，形成数学思维.数学教学应把方法的总结提升作为探究活动的自然延续和必要发展，不少课堂都是从探究活动出发的，引导学生在操作中发现定理并加以证明或应用，本节课很好地体现了这一点.

《普通高中数学课程标准(2017年版)》提出数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析这六大数学核心素养，每位教师应把培养和发展学生的核心素养作为重要课题.教师要重视引导学生把新的知识转变成自己所熟知的知识，提升学生的核心素养，努力做到：1)重视基础，培养兴趣，这是培养核心素养的前提.这就要求我们的课堂要低起点，能够让每个学生都能参与进来，再层层递进，螺旋上升.2)重视课堂探究，关注课堂生成，这是培养核心素养的手段.本节课通过对异面直线的位置关系，通过直观想象、观察，敏锐地发现问题并挖掘其本质，并利用数学建模很好地实现.教师在教学中关注学生的思维过程，让学生在掌握基本知识技能的同时，感悟基本思想，提升思维品质，更好地形成和发展数学核心素养.