数学创新题求解策略*——以概念型、定义型、开放型、建模型为例

(元济高级中学，浙江 海盐 314300)

1 考点回顾

随着国家教育部《普通高中数学课程标准(2017年版)》(下称《新课标》)的颁布，数学高考命题从“能力立意”转变到“素养导向”，既关注学生学习的结果，更重视学生学习的过程，重点考查学生对数学知识技能的掌握与数学学科核心素养的达成程度，从而考查学生的科学精神和创新意识，以符合新时代的人才要求.基于此，命题专家们也正致力于命制一系列素养导向的高考创新题，以新背景、新情境、新信息等方式，考查学生的科学探究能力和创新能力.这类创新题的特点是“新”，注定数学本质隐藏得很深，更能考查学生的主体探究能力，从而真正考查出考生的创新潜能和数学素养.它题型多样，如：概念型、定义型、开放型、建模型等题型，构成了高考试题中一道亮丽的风景线.本文通过对各种题型的特点分析和命题结构评注，让师生感悟这类题型的解题策略，从而突破表象的迷雾，抓住数学的本质，提高高三数学教学和复习迎考的针对性和有效性.

2 典例剖析

2.1 概念型：揭示数学本质的创新题型

概念型的创新题重点考查学生掌握数学概念的本质和数学概念的形成过程.这需要教师在平时的教学中重视数学核心概念的教学，重视对数学概念本质内涵的挖掘和概念的形成过程，通过设计适当的问题情境，引导学生用数学的眼光观察、发现、分析和解决问题，培育数学概念中所蕴含的数学素养.只有这样，学生在面对这类题型时才能从概念的本质着手、从概念的形成中感悟，找到破解的策略.

图1

( )

(2018年北京市数学高考文科试题第7题)

评注本题形式新颖，考查三角函数概念和概念的形成过程，重点落在理解单位圆三角函数线的概念本质，考查学生的直观想象能力和数学抽象素养.

( )

(2018年上海市数学高考试题第16题)

评注本题的关键是理解函数概念的本质，并通过对该题函数的形(几何背景)进行探析，在其几何背景下进行代数解析，并灵活运用角的定义和函数的本质就能获得正确的解答，考查了数学概念本质与数形结合的能力，考查了直观想象和数学抽象的核心素养.

( )

(2018年浙江省数学高考试题第9题)

思路1由配方法，想到结构变形.

由b2-4e·b+3=0得

b2-4e·b+4e2=1,

即

(b-2e)2=1，

从而

|b-2e|=1.

图2 图3

思路2利用向量的直径圆式.

由b2-4e·b+3=0得

b2-4e·b+3e2=0，

即

(b-e)(b-3e)=0,

如图3，终点B在以EH为直径的圆上运动，a的终点A在射线OP上，由图形可得，当点B为点F到OP的垂线与圆的交点时

思路3极化恒等式.

由b2-4e·b+3=0得

b(b-4e)=-3，

即

从而

(b-2e)2=1.

下面与思路1同.

思路4绝对值性质的应用.

由b2-4e·b+3=0得

b2-4e·b+4e2=1，

即

(b-2e)2=1，

从而

|b-2e|=1.

|a-b|= |(a-2e)-(b-2e)|≥

故

评注本题作为选择题很好地体现了题型的特点，主要考查向量的基本概念，同时考查学生对概念的文字语言、符号语言、图形语言之间的转化能力，很好地考查了直观想象和数学抽象素养.

2.2 定义型：展示数学素质的创新题型

“新定义”型的创新题是高考的一个亮点，也是一个创新点.它是指用符号、数学式子、文字叙述等定义一个“新”数学概念，要求考生在“新”的知识背景下通过阅读、体会、理解，抽象出“新定义”的实质.它的特点是试题的背景对所有的考生是“新”的、公平的，学生只有具备一定的迁移能力和较高的数学素养，才能很好地理解.它的关键是准确把握“新定义”的含义，把从定义和题目中获取的信息进行有效整合，并转化为熟悉的知识解决所给出的问题，即将“新问题”转化为“老问题”，从而考查学生的数学抽象素养.

例4在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“⊕”如下：当a≥b时，a⊕b=a；当a

( )

A．-1 B．1 C．6 D．12

分析由题意得

画图可知函数的最大值是6.故选C.

评注本题定义了一种新运算“⊕”，要求考生正确理解新运算⊕的定义与“·”和“-”通常的乘法和减法运算之间的混合运算，同时考查考生熟悉的分段函数.这类创新题考查学生的适应、迁移和应变能力.

( )

A.①② B.②③ C.③④ D.①④

分析透过新定义的表象，抓住问题的本质，即等差、等比数列的概念，进行一一检验.答案选D.

评注本题以考生熟悉的等差、等比数列的定义为命题的出发点，创造性地构造出“等差比数列”新定义，在新定义下判断命题真假.这样命题体现了试题背景的公平性，考查了考生知识的迁移能力和应变能力，从而考查了学生的数学素质.

2.3 开放型：打开数学思维的创新题型

图4

开放题型的创新题是数学高考命题的一个新方向.它的特点是：解法灵活，具有一定的开放性、探索性，有利于培养学生的发散性思维和创新能力，是一种新的教育理念的具体体现.因此，开放题的解题策略重在平时教学的渗透，将课本例习题进行适度改造，使之具有开放性和探索性，从而作为开放性的教学内容，为学生的创造性学习提供必要的素材，体现数学教学是学生创造(再创造)性的活动过程，使核心素养得到培育.它的类型有：情景设计型、规律探索型、问题探究型、数学建模型等.

例6[1]如图4，直线经过抛物线y2=2px(其中p>0)的焦点F，且与抛物线相交于点A，B，点P是线段AB的中点，试尽可能多地找出点A,B,P的6个坐标所满足的等量关系.

分析设点A,B,P的坐标分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(x0,y0)，则

评注本题作为规律探索型的创新题，通过结论的开放，探索总结出抛物线的相关结论及有关规律，然后直接利用这些结论解题，可以避免中间一系列的解题流程，找到快速解题的突破口，起到“事半功倍”的作用.

当然还可以进一步将“数”的开放转向“形”的开放:

变式1设例6中抛物线的准线为l，分别过点A,B,P作x轴的平行线，依次交l于点M,N,Q，联结FM,FN,FQ,AQ和BQ(如图5)，请找出图5中的垂直关系.

图5 图6

分析线段间有以下垂直关系：

1)FM⊥FN;2)AQ⊥BQ;3)AQ⊥FM;4)FN⊥BQ;5)FQ⊥AB.

变式2在上述问题中，如果允许添辅助线，你还能发现哪些结论？

分析如图6，可得以下相关结论：

1)以点P为圆心、AB为直径的圆与准线相切，且切点为Q；

2)以Q为圆心、MN为直径的圆切AB于点F；

3)AQ与FM的交点、BQ与FN的交点均在y轴上；

4)BM与AN的交点在坐标原点.

例7已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于点A，B．若∠AMB=90°，则k=______．

(2018年全国数学高考卷Ⅲ理科试题第16题)

思路1将∠AMB=90°转化为

联立方程，结合韦达定理，可得关于k的方程.

思路2如图7，若发现或知道DM∥x(其中D是AB的中点)，则由yA+yB=2yD=2可得关于k的方程.

图7

评注试题以抛物线焦点弦的几何性质为命题背景.思路1是常见的解析化思维，运算量很大，间接地从代数角度证明了思路2和思路3中的结论，体现了“几何多一点，代数少一点”的科学思维.

特别是思路3，直接使用了上面例6变式1的结论5)就“秒杀”了该题，规避了大量的化简和运算，提高了解题的效率，体现开放性教学的价值，凸显了直观想象素养.

2.4 建模型：传承数学文化的创新题型

建模型的创新题是数学高考命题坚持的一个命题方向.《新课标》指出，数学建模是对现实问题进行数学抽象、用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养[2].体现数学传统文化、强调数学应用，是落实新课程对核心素养考查的要求.

图8

《新课标》提倡评价融入数学文化，而数学文化最重要的是它的理性精神，表现为高度的抽象性和严密的逻辑性.浙江省数学高考重在对数学文化的考查，2018年考查了我国古代数学著作中记载的“百鸡问题”(《张邱建算经》)，与2017年考查的“刘徽圆周率问题”一脉相承，体现了新一轮数学课程改革所倡导的数学文化在课堂教学中有机渗透，彰显了数学学科的育人价值.

例8《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图8，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是

( )

A．4 B．8 C．12 D．16

(2018年上海市数学高考试题第15题)

分析以AA1为一边的矩形有4个(两个侧面和两个对角面)，每一个这样的矩形可以构造4个满足条件的阳马，共有16个.

评注本题以我国古代数学史为背景，定义了一个新的名称“阳马”，考查了立体几何与排列组合概念的有机结合，既有历史文化又有一定的思维难度，是对数学建模素养的考查.

( )

(2018年北京市数学高考理科试题第4题)

分析本题通过阅读，弄清题意，概括出等比数列模型，通过必要的运算就可以得到答案.

评注本题以我国古代文化韵律与数学相结合为背景，考查“十二平均律”、等比数列、指数运算等概念，让学生体会数学在音乐中的应用价值，感受古代中国数学的文化成就，考查了数学抽象和数学建模等核心素养.

2.5 结束语

数学创新题是高考数学命题的亮点，也是核心素养时代下数学高考创新发展的必然趋势.研究高考创新题的题型、解法和走势，从中摸索到一些规律性的东西，是高考复习的策略，但更重要的是如何更新教学观念、激发有效课堂，通过多种形式与途径培养学生的创新思维，其关键在于教师要具有创新精神和创新意识.因此，我们要努力践行新课程理念，探索《新课标》下的数学创新教学，争做一名身体力行的创新型教师.

3 精题集萃

1.若函数y=f(x)的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是

( )

A．y=sinxB．y=lnxC．y=exD．y=x3

( )

A．1 B．2 C．3 D．4

( )

4.算筹是中国古代用来记数、列式和进行各种数与式演算的一种工具．在算筹计数法中，以“立”“卧”两种排列方式来表示单位数目，表示多位数时，个位用立式，十位用卧式，百位用立式，千位用卧式，以此类推．《九章算术》的“方程”一章中介绍了一种用“算筹图”解决一次方程组的方法．如图9，前两列的符号分别代表未知数x,y的系数，因此，根据图9可以列出方程x+11y=26．请你根据图10列出方程组______，解得x=______．

图9 图10

6.《九章算术》是我国古代数学名著，其中有“竹九问题”：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．问中间一节欲容多少？”意思为：今有竹九节，下三节容量和为4升，上四节容量之和为3升，且每一节容量变化均匀(即每节容量成等差数列)．问中间一节的容量为______．

7.设抛物线C:y2=4x的焦点为F，过点F且斜率为k(其中k>0)的直线l与C交于点A,B，|AB|=8．

1)求l的方程；

2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程．

(2018年全国数学高考卷Ⅱ文科试题第20题)

8.记f′(x),g′(x)分别为函数f(x),g(x)的导函数．若存在x0∈R，满足f(x0)=g(x0)且f′(x0)=g′(x0)，则称x0为函数f(x)与g(x)的一个“S点”．

1)证明：函数f(x)=x与g(x)=x2+2x-2不存在“S点”；

2)若函数f(x)=ax2-1与g(x)=lnx存在“S点”，求实数a的值；

(2018年江苏省数学高考试题第19题)

参 考 答 案

1.A 2.B 3.A

7.1)y=x-1;2)(x-3)2+(y-2)2=16.