数学核心素养视域下的“空间向量的基本定理”教学*

(大厂高级中学,江苏 南京 210044)

数学定理是由受逻辑限制证明为真的陈述．数学定理是进行数学推理的重要依据，也是学生分析、解决数学问题的工具，更是培养学生进行推理论证的重要途径．在定理教学中，教师应该思考为什么要学习这个定理、定理是怎么产生的、核心内容是什么、凝聚在定理中的数学思想以及数学家的探索精神等，因为掌握运用定理解决问题的思想方法和策略是数学抽象的更高层次．定理教学的成功与否不仅直接关系到学生对定理内容的理解与掌握程度，也直接关系到学生发现、提出问题的能力培养，更关系到学生数学素养的形成与提高．前不久笔者参加了课题为“空间向量的基本定理”的教学交流活动，本文为这次活动的研究体会，探讨在定理教学中如何落实学科核心素养，供读者参考．

1 教学分析

1．1 为什么叫“基本定理”

极大线性无关组定理设向量组A：a1，a2，…，am线性无关，而向量组B：a1，a2，…，am，b线性相关，则向量b必能由向量组A线性表示，且表示式是唯一的．

高中数学学习中称之为“基本定理”的只有3个，“空间向量的基本定理”是其一，它是极大线性无关组定理的三维特例，即当m=3时的情形[1]．该定理在教材中表述为：如果3个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p=xa+yb+zc[2]．由此可知，a，b，c是三维空间向量的一个极大无关组，定理中称极大无关组为一个基底．教材中为减轻学生的学习负担，弱化了唯一性要求．

之所以称为“基本”，是基于该定理在向量理论中的重要作用：给定空间内3个不共面的向量，通过线性运算，可以构造出该空间内的所有向量，从而空间内任意向量的问题都可以转化为基底中3个向量之间的问题，化“任意”为“确定”，化未知为已知[3]．选定基底后，空间内的任意向量与有序实数对一一对应，为通过数的运算处理形的问题搭起了桥梁，实现了数与形的统一．

2．2 基本定理的教学价值

表示某一方向上的所有向量，只需选定一个非零向量a，根据共线定理，其他向量b均可用a唯一表示，即共线的所有向量运算都可以转化为向量a的运算．而表示某一平面上的所有向量，只需选定两个不共线向量a，b，根据平面向量的基本定理，其他向量c均可用a，b唯一表示，即共面的所有向量的运算都可以转化为向量a，b的运算．从一维、二维到三维，创设适当的问题情境，让学生发现问题，引导学生提出问题，用类比的方法猜想结论，探究定理的证明方法，既加深了学生对数学的理解，又提高了抽象概括的水平，同时发展了学生的数学抽象素养．

“空间向量的基本定理”是联系“几何”与“代数”的纽带．根据定理，在单位正交基底下进行的线性分解，使得空间向量的关系用坐标的运算来表示，这样，共线、垂直、夹角、距离等关系和度量都可转化为数值运算．由于向量的自由平移特性，使得用向量研究空间几何问题时更少依赖图形本身，从而成为沟通数与形的重要工具．由此可见，通过定理的学习能进一步发展学生的数学运算能力，有效借助运算方法解决空间几何体的问题，发展学生的数学运算素养．

在高中数学中，基本量方法是一种重要的方法．所谓基本量方法，其指导思想就是在解数学问题时，先确定数学对象F的基本量，然后用基本量去表示与问题有关的F的非基本量，使问题转化为仅仅涉及基本量的寻求，从而减少未知量的个数，以求获得问题的解决．空间向量的基本定理为学生展示了一个具有基本量方法的重要数学思维模型，它将空间内的所有向量的运算问题转化为基底的运算问题，这就是基本量方法，是用数学方法构建模型解决问题的素养．因此教学中要向学生揭示定理中所蕴含的这种方法，创设实际情境，让学生从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、建立模型，使之成为解决空间问题的一种基本手段和思维模型，发展学生的数学建模素养．

另外，定理的教学中需要借助于平行六面体让学生直观感知不共面和线性关系，借助于长方体让学生理解投影和正交分解，直观想象能帮助学生借助几何直观理解定理、发展空间想象能力、增强应用几何直观和空间想象思考问题的意识．

2 教学过程

2.1 创设情境，发现问题

图1

问题1如图1，在ABCD中，点E是BC的中点，如何用表示

师(追问)：1)设F为ABCD所在的平面中任意一点，那么能否用线性表示？为什么？

图2

师(追问)：2)如图2，点G是ABCD所在平面外一点，能否用线性表示为什么？

从特殊到一般再到新的特殊，通过追问教师要求学生对向量的线性表示从数学的角度进行思考，感悟其在数量或者空间方面的某些联系或矛盾，以数学的方式做出“是什么，为什么，怎么样”等方面的思考．创设恰当的问题情境，有助于培养学生“发现问题”的能力．

2.2 列表归纳，提出问题

师：也就是说，两个非零向量只能线性表示它们所在平面内的向量，不在这个平面内的向量就不能线性表示了．那么一个非零向量只能线性表示什么样的向量？

生2：与它共线的向量．

师：为什么？

生2：根据共线定理．

师：我们把共线定理、平面向量的基本定理和刚才的“不能”问题放在一张表内(如表1所示).

表1 向量与相关定理

问题2我们需要几个基向量才能线性表示某一空间内的任意向量？这些基向量满足什么要求？你认为这个依据该叫什么名字？

生3：叫作空间向量的基本定理.该定理需要3个基向量，它们必须不共面．

师：说说具体内容．

生3：如果3个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在(唯一)有序实数组{x，y，z}，使得p=xa+yb+zc．

共线定理和平面向量的基本定理是空间向量的基本定理的“先行组织者”，通过师生共同回忆，并将其内容列表，有助于学生在已经发现问题的基础上采用恰当的数学语言、符号对问题作进一步的数学抽象，并在特定的逻辑线索和数学关系空间中，将问题数学地表征出来，这就是“提出问题”的能力．尽管教材中没有“唯一性”要求，但非常可喜的是学生能感悟到三维空间中的结论“唯一性”仍然成立．

2.3 特殊、降维，尝试证明

图3

问题3如图3，已知a，b，c是不共面的3个向量， 对于空间任一向量p，求证：存在(唯一)有序实数组{x，y，z}，使得p=xa+yb+zc．

图4

生4：根据平面向量的基本定理．

师：这使我们想到了空间直角坐标系，也就是说先研究特殊情况．

图5

生6：平行四边形．

师：具体怎么用平行四边形性质？

生7：在图4中，过点P作OC的平行线，交平面AOB于点Q即可．

循此思路，全班学生顺利地证明了定理的存在性，并将表1补充完整．由于教材弱化了唯一性要求，即定理表述中没有唯一性，笔者在教学中用“类似于平面向量的基本定理，我们可以依据共面定理，用反证法证明这个唯一性．同学们课后可以尝试证明”来处理．

2.4 正交分解，坐标表示

师：在空间中，基底唯一吗？

生8：不唯一．

师：已知向量a，b，c是空间的一个基底，从a，b，c中选哪一个向量，一定可以与向量p=a+b，q=a-b构成空间的另一个基底？

生9：c．

师：为什么？

师：同学们，什么基底最特殊？

生(众)：单位正交基底．

取单位正交基底{e1，e2，e3}，并建立空间直角坐标系，定义向量p在单位正交基底{e1，e2，e3}下的坐标后，提出问题4.

问题4向量p的坐标(x，y，z)与点P在空间直角坐标系Oxyz中的坐标有何关系？

师：不仅一样，而且唯一．这样，在空间直角坐标系中，向量与坐标建立了一一对应关系．这种对应关系有什么用处？

生10：向量就是坐标，坐标就是向量．向量的运算就可以用坐标来进行了．

师：这种转化在平面向量中我们也进行过．今后，我们就可以借助于空间向量用代数的方法研究几何问题，体现了数形结合的基本思想．向量是一种兼具代数与几何特性的重要数学工具，向量方法是一种具有广泛应用的数学模型，在求角、求距离、判断线面关系中很有用处．

从正交基底到一般基底，再从一般基底到单位正交基底，是一个螺旋上升的思维过程．一方面，学生已经具备了一定的数学抽象素养，对于较为抽象、严谨的数学定理表述语言，尤其是“任意性”“唯一性”等数学逻辑用语已能够熟练使用；另一方面，还需要借助于相应的问题链，分解学生推理论证中的困难，引导学生达成对定理的深刻认识．

2.5 例题示范,练习巩固(略)

2.6 课堂总结，提炼升华

课堂上，学生能回忆出定理的提出、证明的基本过程，能理清前后的逻辑关系．当笔者问“通过3个定理(共线定理、平面向量的基本定理、空间向量的基本定理)的学习，谈谈你的感受”时，学生能说出“类比”“降维”“特殊与一般的转化”等，面对陌生的学生，一节课内将自己的教学理念渗透其中并清楚地看到学生有所收获，笔者感到非常欣喜.如果我们在平时的教学中持之以恒地这样做，何愁核心素养得不到落实呢？

3 教学反思

数学学科核心素养本质上反映的是数学的思维品质.基于核心素养的数学课堂应立足于数学思维品质的培养而成为“思维之树常青”的课堂，因此，“启发学生的数学思考”就成为高中数学教学的关键．定理教学蕴含丰富的教育价值，是培养学术学科素养的重要途径，是启发学生思考的好素材．熟练使用定理当然很重要(尤其对于考试而言)，但错过定理的探究过程，这种教育价值的损失是无法弥补的．结合本节课的教学，在定理教学中如何启发学生的数学思考、落实数学学科核心素养，笔者认为应该注意以下3个问题：

3.1 问题性是启发思考的源泉

3.2 类比不仅能发现问题也能提供方法

“类比是伟大的引路人”，数学的发展史表明，许多数学定理、公式及其证明方法都是靠类比获得的．通过列表，将学生已有认知结构中属性相似的共线定理、平面向量的基本定理的条件和结论梳理清楚，在发现空间向量基本定理的方向及其证明方法上类比，从而为新原理的发现、理解和掌握打下基础．笔者设想，如果本节课先回顾平面向量的基本定理的证明(作平行四边形)，那么或许学生更容易想到“作平行”而不是“正投影”．

3.3 开放性为思维活动提供广阔的舞台

在数学定理的教学中，不把定理以定论的方式“告诉”学生，而是采取开放式的问题形式呈现出来，学生自主探索定理产生的背景及蕴涵的思想，亲身经历定理的发生、发展过程，并深刻体验数学抽象、逻辑推理、直观感知、数学建模等思维历程，有利于建立理解定理的坚实基础．