创设大情境，促进概念的深度理解*——以“对数与对数的运算”为例

(淳安中学,浙江 淳安 311700)

1 问题提出

1.1 概念教学的现状

2018年11月初浙江省杭州市(含周边)的重点中学进行了高一数学期中考试，其中试卷第2题的答题情况大大出乎教师们的意料，题目如下：

题目下列从集合M到集合N的对应关系中，y是x的函数的是

( )

B.M={x|x>0,x∈R}，N={y|y∈R},对应关系f:x→y,其中y=±2x

C.M={x|x∈R}，N={y|y∈R},对应关系f:x→y,其中y=x2

本题的正确答案为C，考查了对函数概念的理解.这是非常重要的一个知识点，难度不大，安排在第2题的顺序，预计绝大部分学生都能做对.实际情况是：笔者所在的学校只有65%的学生做对，远远低于预期，可见概念教学任重道远.

学生学习数学是从学习“数学概念”开始的，“数学概念”是学生认识数学、了解数学、掌握和应用数学的前提.对于高中数学教学来说，概念是重要的教学内容之一.概念是思维的源泉，只有全面了解数学概念，才能在做题的过程中灵活运用各种数学思维.对数学概念的理解与掌握既是正确思维的前提，也是提高数学解题能力的必要条件[1].从目前的现状来看，部分高中数学教师不够重视概念教学，往往一笔带过，或者在概念的产生、发展、应用以及前后知识联系等环节认识不深、视野不开阔，导致学生对概念知识的理解仅仅停留在表层，也割裂了章节知识点之间的联系，这也是所谓的传统的数学概念教学.基于此，在进行概念教学时，一定要突破原有的思维教学模式，与时俱进，站在概念形成的“制高点”审视整个教学.

1.2 “核心素养”下的概念教学

数学核心素养是学生学习数学应具备的思维品质，也是学生发展的关键能力，包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等.在数学核心素养培养的大背景下，数学概念教学需要与时俱进，改变教学方法，以核心素养的培养为目标并熟练运用这六大素养的培养方法.因此，高中数学教师在数学概念教学中要注重数学抽象、逻辑推理的数学概念教学，运用数学建模、数学运算进行数学概念教学，培养学生直观想象、数据分析能力的数学概念教学[2].另一方面，概念教学所遵循的模式、思想方法等又是学生建构数学认知体系、完善数学知识框架、提升数学核心素养的起点，两者相辅相成，相互促进.核心素养的渗透是为了更好地进行概念教学，而概念教学是学生核心素养达成的途径之一.在现实的概念教学中，由于数学核心素养涉及的面比较广，很难有一个好的操作性流程，因此我们必须找准落脚点.

1.3 概念的理解必须要有深度

概念教学最重要的任务就是对所学概念的理解，而且必须是深度的理解.这里所说的深度理解，是指对概念要有“持续不断”的认识，不仅要知其然，更要知其所以然，并能应用概念的行为达到概括的、简化的和下意识的智力过程.

由于概念的存在和应用，人们可以对复杂事物作简化、概括或分类的反映；由于概念是在揭示了经验的内在联系、获得了事物的关键特征以后形成的，因此概念增加了经验的意义.概念将事物依其共同属性而分类，依其属性的差异而区别，因此概念的获得可以帮助学生了解事物间从属与相对的关系.概念也可以使人们在没有直接经验的条件下获得抽象观念，而这些观念可以用于新的情境分类，也可以用作同化或发展新知识的固定点，同时概念之间也可以组成具有潜在意义的命题[3].以上这些只有在深度理解概念的基础上才能实现，由此可见概念的深度理解尤为重要.

1.4 创设大情境可以促进概念深度理解

数学大情境是在一般情境基础上突出一个“大”字，将知识置身于我们祖先所经历的历程，在大的历史背景或数学事实情境中寻求概念之源，并在此基础上提出核心问题，促进概念的生成，并能进行合理地迁移，进而真正理解概念.大情境是结合章节教学将具有逻辑联系的知识点进行整体设计的一个教学环节，是单个课堂情境的整合，强调对知识的整体把控，有一定的持续性.

章建跃先生曾说过：概念形成和概念同化是两种基本的概念获得方式，这两种方式的核心都是概括，将凝结在数学概念中的数学家的思维活动打开，以若干典型具体事例为载体，引导学生展开分析各事例的属性、抽象概括其共同本质属性、归纳得出数学概念等思维活动而获得概念.创设大情境能很好地帮助学生经历概念的概括过程，如这个数学概念是怎么来的，历史上的人们面对这个问题是怎么想的，在历史的进程中又是怎么演变的……这样的情境引入不仅能激发学生的学习兴趣和探索欲望，让学生更积极主动地关注学习内容，给学生提供广泛的数学活动机会，还可以起承上启下、牵引全局的作用.本文结合“对数与对数运算”教学实例，谈谈如何在大情境中促进数学概念的深度理解.

2 大情境应用于数学概念深度理解的方法

2.1 在大情境中寻求概念的发生

19世纪德国生物学家海克尔曾提出著名的生物发生学定律“个体发育史重现种族发展史”，根据这个定律，法国著名数学家庞加莱认为数学课程的内容应完全按照数学史上的发展顺序来展现.他说：“动物学家坚持认为，在一个短时期内，动物胚胎的发育重蹈所有地质年代其祖先们的发展历史.人的思维发展似乎也是如此.教育工作者的任务就是让儿童的思维经历其祖先之所经历，迅速通过某些阶段而不跳过任何阶段.”在“对数与对数的运算”第一课时中，部分教师是这样引入的：

情境1师：1)已知2x=8，则x=?

生(众)：3.

师：2)已知2x=7，则x=?

学生一片沉默……

师：这就需要通过新的符号去刻画它，我们称之为对数.

由此按教材给出其定义……

点评1这种情境引入直截了当，虽在学生的最近发展区设问，但给学生的感觉——数学是冰冷的，甚至就是为了解题，有种强加于人的味道.这种引入自然难以激发学生学习的欲望，学生还是以“被动接受知识”为主，灌输式的意味较为明显，学生不明白为什么要学对数，难道仅仅是为了解决这类解方程问题？也许有些教师会类比根式的引入讲到数的发展，这确实比原先的引入有了一定的深度，但是总感觉这样的情境引入太过孤傲，缺少鲜活的血液流淌.

夸美纽斯在《大数学论》中谈到：一个人的学习欲望决定学习效果，故应该用一切可能的方式把孩子的求知欲望激发出来.强迫孩子去学习好比一个人没有食欲，却又被迫吃食物，结果只能是疾病与呕吐，至少也是不消化，不痛快.反之，一个人饿了，他就急于要吃食物，立刻就能把食物加以消化，容易把它变成血肉.由此可见学习动机、学习欲望的重要性.通过生活中的实例引入，确实能给知识本身注入“活力”，因此在“对数与对数的运算”第一课时中，有部分教师通过生活情境引入：

情境2光在某种介质中传播，每经过1 cm，其强度就减弱为原来的一半，假设最初的强度是1，写出光的强度y关于介质厚度x的函数关系式.

1)经过2 cm后，光的强度是多少？

点评2这种通过生活化的情境引入确实能在一定程度上吸引学生的眼球，这也是新课改所大力倡导的.相比前面的通过解方程引入，情境2多了数学中的“生活味”，让学生认识到数学是来源于生活并服务于生活的.但细细品味，笔者认为这种情境引入属于“为情境而情境”，脱去“生活化”的外套，这其实与前一个引入在本质上是一致的，最终都转化到方程的求解问题上.

总之，两种情境引入都没有将概念的发生背景呈现，更没有将概念的发展历史梳理，使学生丧失了对数学概念在“大情境”中的认识.一个数学概念如何诞生,又如何演进？每个数学概念都有其源头，若能从概念的源头创设情境，则更能激发学生的学习动机.人教A版教材直接利用指数式来定义对数：若ax=N(其中a>0,a≠1)，则称x为以a为底的N的对数.这个定义没有体现“对数”这个术语之原意.通过寻求对数概念之源，重新创设情境如下：

情境3师：16世纪末，哥白尼“太阳中心说”有力地打破了长期以来居于统治地位的“地心说”，实现了天文学的变革.其中哥白尼用以支持他学说的论据主要属于数学性质，其中涉及大量繁杂的数学计算.比如：天文学的基本单位是光年，如何计算1光年呢？

生：S=V·T,又V=299 792.468 km/s，T=365×24×60×60 s,299 792.468×31 536 000=…

师：这个天文学的基本单位涉及的运算都如此复杂，要探索整个宇宙，计算何其艰巨！古人没有计算器，常常陷于繁难的大数计算而深感苦恼，他们为了计算出一个行星的位置，往往要耗费很长的时间.庞大的天文数字计算严重地束缚着人类探索宇宙的进程.与此同时，数学家也感叹：“没有什么比大数的乘、除、开平方或开立方运算更让人头痛，更阻碍计算速度.”[4]

师：怎样才能改进大数计算呢？这引起一些数学家不断钻研，比如德国数学家施蒂费尔在更早的法国数学家许凯的《算学三部》中给出的双数列研究中有一定进展(如表1)，我们来体验下.

表1 双数列研究

师：你怎么算16×256,256×4 096?256÷16呢？

生：16对应的幂指数是4，256对应的幂指数是8，其和为12，只需找到12对应的数即可，即16×256=4 096，同理256×4 096=1 048 576.

生：256对应的幂指数是8,16对应的幂指数是4，而8-4=4，只需找到4对应的数即可，从而256÷16=16.

师：这正是施蒂费尔的发现，体现了对应思想，将乘除运算化为加减运算.

点评3这样一种情境创设激发了学生的学习动力，感觉到知识的得来是自然的.正如章建跃在高中数学教材的“主编寄语”中所说:数学是自然的，是在人类长期的实践中经过千锤百炼的精华和基础，其中的数学概念、数学方法与数学思想的起源和发展都是自然的.数学史与高中数学概念教学息息相关，因此要真正实现数学概念教学的目标，就必须在课堂教学中运用数学史的相关知识.

2.2 在大情境中促进概念的生成

找到了概念之源，要达成概念的生成，在大情境中提出好问题是一个重要的途径.什么是好的问题？好的问题是那些引起思维困惑的、颠覆显而易见或权威“真理”的、或是引起不一致观点的问题；好的问题能够引出有趣的和可选择的其他观点，要求我们在发现和维护答案的过程中聚焦于推理过程，而不是只关注答案的“对”与“错”；好的问题将激发已学知识、生活体验与当前学习内容之间的意义关联；好的问题使我们重新思考已经理解了的事物，并能举一反三.

美国的威金斯和麦克泰格在《追求理解的教学设计》中指出：最好的问题是指向和突出大概念的，他们像一条过道，通过它们，学习者可以探索或许仍未被理解的关键概念、主题、问题，在借助启发性问题主动探索内容的过程中加深自己的理解[5].

上述情境中，除了前面教师问“你怎么算……”,还可以继续追问.

追问1：还能由表1算出下列问题吗？你的理由是什么？

1)897×104 878；

2)299 792.468×31 536 000.

学生发现不能，表1中第1行的数不是连续的数，且间距很大.

追问2：不能的话，可以做哪些方面的努力？

学生回答后，引出纳皮尔经过20年的研究改进后的数表(如表2)，他在《奇妙的对数定律说明书》中创用了“logarithm”一词，其原意为“比数”.

表2 纳皮尔研究改进后的数表

纳皮尔的数表在一定范围内将数的间隔变小了，但还是不能穷尽所有大数的计算，经过笛卡尔、欧拉等数学家的不断努力，数学家们意识到需要用一个新的符号来表示形如ax=N中的x，由此得到对数的定义.

点评“你是怎么算的”“你的理由是什么”“还可以做哪些方面的努力”……这些问题都是开放式的，它没有单一或最终的答案，需要合理的解释.在教师的不断追问中，学生经历了对数的发生、发展过程，使对数概念的生成符合学生的认知规律，并激发学生的思考和进一步探索.

2.3 在大情境中进行概念的迁移

“可迁移性”是区别理解与知道的一个重要标准.杜威在《我们如何思考》一文中说：“我们在教育中怎样强调概念理解的重要性都不过分.也就是说，概念的含义具有通用价值，因为尽管有所不同，但它们的含义在各种不同情境下都是可以应用的……当我们陷于懵懂未知之境时，它们是我们可以参考的已知……”因此，教学“对数与对数运算”第二课时仍可采用第一课时的大情境，并在大情境中进行概念的迁移.

师(让学生小组讨论)：前面我们已经学习了对数的定义，对数作为一种运算，又有怎样的运算性质呢？再看表1，你有什么发现？

生：根据情境3中计算16×256的过程，16对应4,256对应8，而4+8=12，12对应的数中为4 096，从而16×256=4 096，即log2(16×256)=log216+log2256.

生：类似地，算256×4 096=1 048 576时，256对应8，4 096对应12，而8+12=20，20对应的数为1 048 576，从而256×4 096=1 048 576，即log2(256×4 096)=log2256+log24 096.

师：你能将以上发现一般化吗？

生：loga(M×N)=logaM+logaN(其中a>0,且a≠1；M>0,N>0).

师：还有同学补充吗？

生：由log2256=log2162=log2(16×16)=log216+log216=2log216及log264=log282=log2(8×2)=log28+log28=2log28，猜想logaMn=nlogaM(其中a>0,且a≠1;M>0).

点评对数的运算属于对数定义的下位内容，学生在大情境中经历了对数概念的生成，很自然联想到在前面对数产生的情境中去发现并提出猜想.这样的教学引入是上一节对数概念的迁移，做到了一脉相承，将问题置身于历史上的人们研究数学的“大情境”中，给学生呈现清晰的历史，将概念的来龙去脉真实还原.在这个过程中，学生获得概念的理解是自然的、深刻的.

3 若干反思

数学概念的发生、发展过程是对数学概念本身最完美的阐述，教科书所介绍的很多数学概念虽简洁、准确，却缺乏对数学概念多角度的展现.数学概念教学是数学教学中的第一道工序，学生对概念的理解是否把握准确将直接影响后续数学学习的效果.因此，在数学概念的系统学习中，教师要让学生从不同的角度认识概念、理解概念的内涵和外延，使概念的确切含义具有活力，并用科学、精炼、历史发展的语言反映概念的本质，在概念教学中揭示其来源，对其进行科学性阐述、解析，这样有利于学生正确理解并接受概念.

数学的推理、判断都是以概念为基础的，概念又是数学知识体系的基础，学不好概念就无法学习其他的数学知识.因此，在教学中必须注重数学概念教学，结合数学史上概念发展的历程，强化概念间的横向、纵向联系与区别，以形成概念体系，促进学生对数学概念的理解、掌握和应用，有效帮助学生逐步建立完整的认知结构.

在数学概念教学中，碎片化现象较为严重，而现实又需要对概念有“宏观”认识.因此作为数学教师，必须进行一般观念的引领，注重对学生思维的引导，有逻辑的思考，通过创设“大情境”助力概念的发生、发展过程，形成完整的认知，能够让学生更全面地建构数学概念，促进概念的深度理解.