最速降线问题解的充分条件的证明*

邢家省，杨义川

(1.北京航空航天大学数学与系统科学学院，北京 100191；2.北京航空航天大学数学、信息与行为教育部重点实验室，北京 100191)

最速降线问题[1-6]是变分法起源的一个古典问题.在解决最速降线问题的过程中，人们只关注最速降线问题的必要条件，而没有考虑其充分条件.文献[2-4]研究了一般变分泛函临界点为泛函最小值点的充分条件，虽然给出了相当复杂的理论方法，但是都没有直接证明最速降线问题的充分条件.笔者拟在文献[7-12]的基础上，给出泛函临界点为泛函最小值点的简洁证明和泛函临界点的唯一性的证明，对最速降线问题作出完善的解答.

1 最速降线问题转化为泛函的最小值问题

最速降线问题描述如下：在一铅直平面上，给定不在同一铅直直线上的两点A,B.在重力作用下，一质点沿着过A,B两点的光滑轨道L下滑，下滑的轨道L不同，质点由A点下滑到B点所需的滑动时间T也就不同.问当L是什么曲线时，所需的滑动时间T最短？具体到坐标系中，最速降线问题的描述如下：建立xoy坐标系，ox轴正向水平向右，oy轴正向竖直向下，将o点设在A点，B点坐标为(a,b)，a,b>0.设一质点沿某曲线y=y(x)由点o(0,0)无摩擦地滑动到点(a,b)，问当y=y(x)是什么曲线时，所需的滑动时间T最短？

质点沿曲线y=y(x)由点o(0,0)无摩擦地滑动到点(a,b)，所需的时间是

2 泛函在某函数处有最小值的必要条件

从而

(1)

经过分部积分，得到

(2)

(1)式就是泛函T(u)在y处有最小值的必要条件，显然(1)式与(2)式是等价的.

(3)

(3)式可化简成y(1+(y′)2)=c2(c为常数)，由此得到

其中常数k可由另一条件“当x=a时y=b”来确定.

显然，最速降线为摆线的一部分[1-6].至此，泛函临界点的存在性得证，但这只是泛函有最小值的必要条件.

3 泛函临界点为泛函最小值点的充分条件的证明

对于y+εv∈M，有

4 泛函临界点方程解的唯一性的证明

注意到

从而

特别地，取v=y2-y1，则