基于线性规划的企业生产计划编制问题*

杨伍梅，刘淘文

(1.益阳职业技术学院基础课部，湖南 益阳 413049;2.湖南大学数学与计量经济学院，湖南 长沙 410012)

在生产过程中，企业希望在现有条件的基础上制定较合理的生产计划，以达到总盈利最大的目的.编制生产计划是企业生产经营管理中的重要环节，需同时考虑生产能力、生产工时和市场需求等因素，因此非常复杂，特别是多品种与小批量型企业生产计划的编制更为复杂[1].目前，许多学者[2-6]对编制企业生产计划展开了研究，但对于多品种与小批量型企业生产计划编制的研究却不多.为此，笔者采用较直观、简便的线性规划法来研究这类问题.

1 线性规划法与模型描述

自1947年乔治·丹齐格提出求解线性规划的单纯形方法以来，其理论日益成熟.线性规划法具备如下优点：

(1)能简单、准确地描述各领域中的很多实际问题，易建立数学模型；

(2)有较实用、有效的方法对模型进行求解；

(3)利用灵敏度分析，较容易处理实际问题中不断变化的数据[7].

能用线性规划法来求解的问题往往具备如下特点：

(1)可以用一组设计变量xi(i=1,2,…,n)来表示一种实施方案；

(2)每个问题都有一定的约束条件，且可以用线性等式gj(x)=0(j=1,2,…,p)或线性不等式hk(x)≤0(k=1,2,…,l)来描述；

(3)有一个用来衡量方案优劣的目标函数f(x)，且可以表示为设计变量xi(i=1,2,…,n)的一个线性函数.

由于研究的目的是使目标函数取得最小值或最大值[8]，因此线性规划的数学模型的一般形式为

minf(x)=c1x1+c2x2+…+cnxn

s.t.gj(x)=0j=1,2,…,p,

hk(x)≤0k=1,2,…,l.

多品种与小批量型企业生产计划的编制完全符合线性规划问题的特点，可以运用此方法来分析.

2 生产计划的编制

2.1 问题描述

已知某工厂需要生产A1,A2,…,Am等m种产品以满足市场的需求，这m种产品的生产均需要经过n道工艺流程.每生产1 kg的产品Ai(1=1,2,…,m)，在第j(j=1,2,…,n)道工艺流程耗时aij小时，由于生产计划的要求，可供用的第j道工艺流程的工时为bj小时.在化学品生产的过程中一般会伴随着副产品的生产，该工厂在生产产品Ai的同时，会产出副产品C.每生产1 kg的产品Ai会产生ci千克的副产品C，且不需增加任何费用.副产品的利用率使得C中有一部分可盈利，其他部分只能报废.

根据核算，出售1 kg的产品Ai可以盈利li元，出售1 kg的副产品C可以盈利p元，而报废1 kg的副产品C会亏损q元.经市场预测，在计划期内，副产品C最大销售量为w千克.那么，应如何安排这m种产品的生产，使该工厂的预计总盈利达到最大?

2.2 模型构建

因为副产品C的出现及其限制销售量使得问题变得复杂，所以解决该问题的重点是设计变量的选取.用xi作为设计变量，则副产品C的产量为c1x1+c2x2+…+cmxm，且当c1x1+c2x2+…+cmxm>w时，其中小于w的部分会产生盈利，超出w的部分会产生亏损，即副产品C的单位利润会在p和-q之间变化.在这个前提下，总利润与产量之间就产生了非线性关系，导致确定目标函数和约束条件时比较困难.于是，从副产品C的约束条件出发，因为副产品C可能产生盈利，也可能产生亏损，所以可设置相应的设计变量来表示其产生盈利的部分和产生亏损的部分，即可设副产品C的销售量为xm+1，报废量为xm+2，从而副产品C的产量为销售量与报废量之和，即xm+1+xm+2.又因为副产品C是伴随产品Ai出现的，所以其数量关系满足c1x1+c2x2+…+cmxm=xm+1+xm+2.

用预计总盈利作为该问题的目标函数f(x)，则f(x)=l1x1+l2x2+…+lmxm+pxm+1-qxm+2.因产品C的最大销量为w千克,故有约束条件xm+1≤w.再考虑生产过程中的耗时，得到约束条件a1jx1+a2jx2+…+amjxm≤bj.综上可知，该问题的线性规划模型为

maxf(x)=l1x1+l2x2+…+lmxm+pxm+1-qxm+2

s.t.c1x1+c2x2+…+cmxm-xm+1-xm+2=0,

xm+1≤w,

a11x1+a21x2+…+am1xm≤b1,

a12x1+a22x2+…+am2xm≤b2,

⋮

a1nx1+a2nx2+…+amnxm≤bn,

x1,x2,…,xm,xm+1,xm+2≥0.

(1)

2.3 模型求解

2.3.1 线性规划问题的MATLAB标准模型 因为多品种与小批量型企业生产计划的编制所牵涉的数据较多，计算较复杂，所以利用MATLAB软件进行处理.由文献[9]可知，线性规划问题的 MATLAB标准模型为

minf(x)=cTx

s.t.Ax≤b,

Aeqx=beq,

bl≤x≤bu.

其中：x为n维设计变量；c为n维列向量；bl和bu分别为由设计变量xi的取值下限和上限构成的n维列向量；b为m1维列向量；beq为不等式约束条件的常数项所构成的m2维列向量；A为不等式约束条件的m1×n系数矩阵；Aeq为等式约束条件的m2×n系数矩阵.

对比分析发现，将模型(1)转化为线性规划问题的MATLAB标准模型，只需将极大化目标函数转化为极小化目标函数，即添加负号使目标函数转化为

f(x)=-l1x1-l2x2-…-lmxm-pxm+1+qxm+2.

2.3.2 MATLAB函数调用 MATLAB工具箱中关于求解线性规划问题的命令为linprog.函数调用方式有很多种[10]，笔者选用其中最常见的命令[x,fval]进行计算，

[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,bl,bu)，

其中fval是最优解向量x处的目标函数值.

2.3.3 数据选取 选取一组具体的数据(表1)进行演算，以说明线性规划法的实效性.

表1 每千克产品的各工序耗时、副产品产量及利润情况Table 1 Time-Consuming in Each Process,By-Product Output,ProfitPer Unit of Product

此外，副产品C的最大销量w为180 kg，每销售1 kg的C的盈利p为100元，每报废1 kg的C的亏损q为60元.将这些数据代入模型(1)，得到

maxf(x)=600x1+1 000x2+800x3+100x4-60x5

s. t. 3x1+2x2+2.5x3-x4-x5=0,

x4≤180,

4x1+6x2+4x3≤400,

6x1+8x2+4x3≤500,

3x1+5x2+4x3≤300,

4x1+8x2+5x3≤500,

x1,x2,x3,x4,x5≥0.

(2)

2.3.4 计算结果 利用MATLAB软件对模型(2)进行求解,得到

x1=16.691 0,x2=23.357 7,x3=33.284 7,x4=180.000 0,x5=0.000 0,

且目标函数fval=-7.800 0×104.由运行结果可知，当产品A1的产量为16.691 0 kg，产品A2的产量为23.357 7 kg，产品A3的产量为33.284 7 kg时，该工厂预计总盈利的最大值为780 000元，且副产品C的产量恰好为可销售的最大值180 kg.

为了验证线性规划法的可行性和有效性，将其与整数规划法进行对比.采用整数规划法来计算工厂的总盈利，得到

x1=29,x2=32,x3=11,x4=179,x5=0,

总盈利的最大值为76 100元.从这2种方法所得的结果可以发现，采用线性规划法求得的总盈利的最大值比采用整数规划法求得的多1 900元.由此可知，在编制多品种与小批量型企业生产计划时，采用线性规划法有一定的优越性.

3 结语

采用线性规划法对多品种与小批量型企业生产计划的编制问题建立了数学模型，并利用MATLAB软件就一组具体数据进行求解，得到精确的最优解.再采用WPS中的规划求解工具进行计算，将这2种方法的计算结果进行对比发现，基于线性规划法的生产计划编制更具可行性和有效性，为企业生产过程中的计划编制提供了科学依据.