基于高斯曲率相关系数的斜交梁桥支座损伤识别方法

梁 栋，康 健，陈 磊

(河北工业大学 土木与交通学院，天津 300401)

支座作为桥梁结构中的重要组成部分，其质量直接影响桥梁的使用寿命和结构安全。在公路桥梁中广泛使用板式橡胶支座，但由于布置方式不当、施工不正确、养护不到位等原因，对支座造成了一定程度的损伤，支座脱空较为常见。支座脱空会引起其他支座的超压或偏压，改变结构整体的受力状态，降低桥梁的使用寿命。因此，及时发现支座是否脱空，对保证桥梁结构稳定及交通的正常运行具有重要的理论意义和社会经济效益。

近年来，相关学者提出了解决支座损伤的识别方法。徐忠阳等[1]提出了利用压力传感器识别支座损伤的直接检查法，但需要在施工时安装传感器，对于已建成桥梁需要顶升安装，费用较高且存在风险。李云峰等[2]采用支座检查镜和检查仪对支座脱空情况进行识别，克服了支座空间狭小不易检查等困难，但只能定性判断支座受损情况，精确性有待提高。周正茂等[3]提出了基于位移的桥梁支座脱空测试技术，虽然提高了识别精度，但测试时间长、需要人员较多，且影响正常的交通。乔振[4]采用动力测试方法识别支座病害，以桥梁的固有频率变化率作为支座的损伤评估指标，但对小损伤不敏感，且无法准确进行支座损伤定位。战家旺等[5]提出基于冲击荷载作用下桥梁的时域动力响应判断支座病害的方法，但其准确度依赖于冲击点的布置，因此在实际应用中存在一定的局限性。

现有的损伤识别方法都是基于桥梁沿纵轴振动的一维模态进行分析，随着交通量的增大，斜梁桥路幅宽度增大，对于宽跨比接近1.0的新建公路桥梁，大量低阶二维模态出现。为充分考虑桥梁横桥向模态，梁栋等[6]提出了基于高斯曲率模态相关系数判断简支T梁桥支座损伤的方法，该方法能很好地识别出宽跨比较大的桥梁支座损伤位置，但针对支座损伤程度的识别需进一步提高。本文在此基础上，将斜交宽梁桥简化为平行四边形板，根据直角坐标系与斜坐标系的转换关系得到平行四边形板的振动微分方程，并引入哈密顿辛对偶求解体系[7]，从板的频率、振型等振动特性出发[8-9]，通过处理桥梁振动响应信号得到高斯曲率模态识别方法。综合考虑前3阶的振型曲率，采用邓氏相关系数对支座的损伤定位进行分析。通过津港高速公路Y线斜交梁桥现场试验获得各振型控制点的高斯曲率模态相关系数，与有限元获得到的相关系数进行对比，从而验证该方法的准确性。

1 理论分析

1.1 平行四边形板的振动

图1 平行四边形薄板

假设一平行四边形薄板(见图 1)的厚度与其他尺寸相比可以忽略，用直角坐标系xoy和斜坐标系ξoη表示平行四边形薄板的坐标[10-11]，其转换关系为

ζ=x-y/tanα,η=y/sinα

(1)

取ξ-η平面为板的中间平面，对于同一点的挠曲位移w，并不会因坐标标架的不同而变化，即w(ξ,η)=w(x,y)。对满足Kirchhoff假定的薄板小挠度弯曲问题，由复合求导法则可知，板的应变分量分别为

(2)

对于各向同性的平行四边形板，由于弹性参数为常数，不随坐标轴的改变而变化，则薄板的弯曲刚度D=Eδ3/[12(1-ν2)]，其中E,δ,ν分别为板的弹性模量、厚度和泊松比。因此，斜坐标系中拉普拉斯算子为

(3)

由板的振动方程可知，平行四边形薄板的自由振动微分方程为

(4)

根据坐标变换，η方向的弯矩可以表示为

(5)

引入约束条件，由板的Hellinger-Reissner变分原理δ∏H-R=0推导得到斜形板的Hamilton算子矩阵，即

(6)

平行四边形薄板自由振动在Hamilton体系中的对偶方程为

(7)

按照辛几何方法，利用分离变量法求解方程(7)，可得

υ=exp(μξ)ψ(η)

(8)

式中：μ为辛本征值；ψ为本征向量。

平行四边形板在ξ边简支的边界条件为

Mη=0ω=0η=0,b

(9)

求出所有的本征值和本征向量以后，应用辛本征展开定理得到通解

(10)

式中：υ*是在满足ξ=0,a边界条件时的特解；cn为待定常数。

位移模态函数表达式为

(11)

1.2 基于高斯曲率模态相关系数的支座损伤定位

在计算板的曲率模态时，会综合考虑ξ,η两个方向的曲率模态值，为此引入微分几何理论中的高斯曲率K[12]。设k1,k2为曲面上一点的2个主曲率，则它们的乘积称为曲面在这一点的高斯曲率，即

(12)

其中，

(13)

在曲线为r={ξ,η,w(ξ,η)}的情况下，将式(13)代入式(12)可得：

(14)

其中，

(15)

式中：wi,j为节点的位移模态；Δh为相邻节点的间距。

将式(11)得到的位移代入式(15)可求得相关参数，再根据式(14)即可获得高斯曲率模态。

(16)

目前损伤识别中大都采用某一阶曲率模态或某一阶相关系数进行损伤定位，可能使损伤处的损伤指标不敏感或是对未损伤位置造成误判。本文提出综合考虑前3阶高斯曲率模态相关系数，对支座损伤定位进行判断的方法。

设某一振型控制点处第i阶的高斯曲率模态相关系数为ξi，定义由结构前3阶振型构成的高斯曲率模态相关系数为

(17)

在结构的振动中，低阶模态起主导作用且测试精度容易保证，文中取a1=0.4,a2=0.35,a3=0.25。利用式(17)可获得结构的高斯曲率模态相关系数，从而判断结构是否损伤并定位。具体方法为：结构未发生损伤时，其上节点处的高斯曲率模态相关系数应等于1；结构发生损伤时，未发生损伤处节点的相关系数应等于或接近1，而发生损伤处节点的相关系数小于其他未发生损伤节点的相关系数。

2 工程实例

2.1 桥梁概况

本文以天津滨海新区津港高速公路工程(西外环—临港)Y线斜交梁桥为研究对象进行有限元模拟及试验测定。桥梁的上部结构为3×30 m预应力简支变截面连续预制小箱梁，下部结构采用肋式桥台、柱式桥墩。墩台均采用钻孔灌注桩基础。主梁为变宽斜截面，由多片小箱梁组成，横断面形式为0.5 m(防撞护栏)+12.25～14.37 m(车行道)+0.5 m(防撞护栏)。斜交角度为30°，截面尺寸如图2所示。

图2 横截面尺寸示意(单位：cm)

全桥共布置16个支座，其平面约束及振型控制点分布情况如图3所示。图中箭头方向表示支座可活动方向，支座均约束竖直方向。斜交梁桥材料采用C50混凝土，弹性模量为34.5 GPa。

图3 平面约束及振型控制点分布情况(单位：cm)

2.2 支座损伤模拟工况振型

根据斜交梁桥的特性及支座的布置情况，通过选取不同位置的支座进行刚度折减来模拟支座脱空程度。其中，λ表示支座竖向刚度损伤程度。初步将支座损伤划分为3个等级，对应的数值分别为0.3，0.6，1.0。λ=0.3表示支座的刚度为原来支座刚度的0.3倍；λ=1.0 表示支座全部受损，失去刚度效应。本文设计了14种单支座与多支座的损伤工况，使用基于高斯曲率模态相关系数的识别方法对损伤指标进行验证，具体工况见表1。

表1 支座损伤模拟工况

2.3 斜交梁桥有限元模型

为了充分考虑桥梁横桥向模态，本文使用MIDAS FEA建立桥梁实体有限元模型进行分析。采用实体单元模拟主梁，用8节点单元进行网格划分。通过支座位置处约束缺失来模拟支座损伤。每个支座处均为振型控制点，共计16个。

3 基于高斯曲率模态相关系数的支座损伤分析

3.1 单支座损伤分析

为了分析单支座损伤时损伤指标的敏感性，对不同约束条件下支座的损伤情况进行模拟，将工况1～9模拟得到的振型模态按式(14)计算得到高斯曲率模态，并根据式(17)计算得到考虑前3阶振型的高斯曲率模态相关系数。将各支座控制点相关系数绘制成曲线，见图4。

图4 单支座受损高斯曲率模态相关系数

由图4(a)可知：①当单支座发生损伤时，损伤支座处的高斯曲率模态相关系数会发生明显的突变，而其他振型控制点的相关系数基本不变，均接近1，可准确判断出受损支座的位置。在λ仅为0.3的情况下，损伤支座处的相关系数就下降到了0.6～0.7，体现了损伤指标对支座损伤的敏感性。②无论支座的约束形式为固定铰支座还是单向或双向活动铰支座，以及是否约束ξ,η方向的活动，损伤指标均能有效地识别出支座损伤的位置，且不会影响其他控制点处的相关系数大小，不会造成误判，说明受损支座的识别定位与支座的约束形式无关。③无论支座在斜交角的锐角处、钝角处还是中间位置，可以看出受损支座与其他振型控制点处相关系数存在明显差异，说明损伤指标不受支座位置的影响。

由图4(b)、图4(c)可知，随着支座损伤程度的增加，高斯曲率模态相关系数会逐渐变小，单向活动支座处的刚度折减度对相关系数的敏感性大于双向活动支座，其他支座处的相关系数均没有降低。因此，该方法能有效地识别出支座损伤的位置，并且大体能估计出支座损伤的程度。

3.2 多支座损伤分析

对于多支座损伤，选取工况10～14进行分析，将各支座控制点的相关系数绘制成曲线，见图5。

图5 多支座受损高斯曲率模态相关系数

由图5(a)、图5(b)可知：多支座发生损伤时，不论是双支座损伤，还是三支座或四支座损伤，损伤支座的高斯曲率模态相关系数明显降低，其他振型控制点处相关系数基本没有波动，能有效识别多支座的损伤位置。由图5(c)可知：高斯曲率模态相关系数不仅对于单支座损伤程度识别适用，同样可以对多支座损伤程度进行预估。随着支座损伤程度的增加，其相应位置的相关系数随之降低。

4 实桥验证

根据桥梁结构特点，按照环境激励法的试验要求，传感器的动态范围应具有良好的低频响应特性，抗干扰能力强，故本次试验采用INV9580A 无线采集仪。为提高桥梁模态的测试精度，需要合理地布置参考点和响应点的位置。参考点应避开系统任意一阶振型的节点，尽量避免设定在振动幅度较小、容易造成误差的位置，确保采集信号具有较高的信噪比，避免模态遗漏。布置的测点应能够明确反映桥梁结构的轮廓，通过不同测点之间的振动信号，根据相关函数及相位关系识别出结构的固有模态。因此，应在桥梁竖向、横向布置测点，其测点布置如图6所示，全桥共布置18个测点。为验证利用高斯曲率模态相关系数判断支座损伤程度的准确性，对上述数值模拟桥梁进行了现场实桥验证。

图6 测点布置

图7 有限元模态振型与试验模态振型对比

根据传感器及测试设备情况，全桥测点共分4批次进行测量(参见图6)，既弥补了试验成本高、可靠性低等缺点，又简化了现场测试作业。7号和10号测点为参考点，与每个批次并行测量。

根据试验测试结果得到斜交梁桥的模态。为验证试验所测得模态振型的准确性，与有限元模态振型进行了对比，如图7所示。试验模态频率与数值模拟模态频率对比见表2。可知：数值模拟模态与试验模态基本一致，振型相同，频率相差不大，表明试验结果准确。

表2 试验模态频率与数值模拟模态频率对比

高斯曲率模态相关系数模拟值与试验值对比见图8。根据现场实测的模态计算得到高斯曲率模态相关系数，其各个振型控制点处的相关系数在0.95～1.00，可知各个支座未发生损伤。因斜桥所处位置有水流的波动，且风速较大，对试验模态有一定影响，导致部分振型控制点的相关系数不等于1，但仍可对支座的损伤与否进行判定，能够满足工程测定的需要。此外，模态测定后，通过桥检车对桥底各个支座的损伤情况进行了观察，未发现损伤，说明采用高斯曲率模态相关系数对公路斜交梁桥支座损伤进行定位是可行有效的。

图8 高斯曲率模态相关系数模拟值与试验值对比

5 结论

1)利用高斯曲率模态相关系数，可以准确地判断出斜交梁桥支座损伤的位置，且支座损伤程度越大，相关系数越小。

2)无论是单支座损伤还是多支座损伤，利用文中方法均能很好地实现斜交梁桥支座损伤定位。即使是微小的损伤，相关系数也有明显突变，说明了高斯曲率模态相关系数是斜交梁桥支座损伤识别的敏感指标。

3)针对桥梁现场情况进行模态测定，只要保证模态测试准确，即可得到各振型控制点处的相关系数，对支座进行损伤判定。