赏析热点题 直击定积分

■江苏省沭阳高级中学 项敬磊

定积分是微积分学中的基本概念之一，学习时应了解定积分的实际背景和基本思想，了解微积分基本定理的基本含义。近几年高考加强了对此方面题型的考查，下面以几道典型试题为例进行剖析，以帮助同学们提升解决定积分问题的能力。

题型一 定积分的直接计算

例1计算的值。

解析：因为(ex+x2)'=ex+2x，所以

例2计算dx的值。

解 析：dx表示由y=，x=0，x=1及x轴所围成的几何图形的面积。

点评：如果当被积函数的原函数不好找，那么可以根据定积分的几何意义，画出函数的图像，再求其面积。

题型二 利用定积分求平面图形面积

例3曲线y=与直线y=x-1及x=4所围成的封闭图形的面积为( )。

A.2ln2 B.2-ln2

C.4-ln2 D.4-2ln2

解析：如图1所示，y=和y=x-1的交点为(2，1)。由定积分的知识可知，封闭图形的面积为:

点评：利用定积分求平面图形面积的一般步骤：(1)根据题意画出图形，并将图形分割成若干曲边梯形；(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分上限、下限；(3)确定被积函数，写出相应的定积分表达式；(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值之和。

几种典型的曲边梯形面积的计算方法:

(1)由三条直线x=a、x=b(a＜b)、x轴，和一条曲线y=f(x)(f(x)≥0)围成的曲边梯形的面积:

图1

(2)由三条直线x=a、x=b(a＜b)、x轴，和一条曲线y=f(x)(f(x)≤0)围成的曲边梯形的面积:

(3)由两条直线x=a、x=b(a＜b)，两条曲线y=f(x)、y=g(x)(f(x)≥g(x))围成的平面图形的面积:

题型三 定积分在物理中的应用

1.变速直线运动的路程

例4一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)=7-3t的单位:s，v的单位:m/s)行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是( )。

2.变力做功

例5一物体在变力F(x)=5-x2(F的单位:N，x的单位:m)的作用下，沿与力F成30°的方向做直线运动，则由x=1运动到x=2时力F(x)所做的功为( )。

解析：W=故选C。

点评：本题以物理知识为载体，考查定积分的几何意义以及同学们用所学知识分析、解决问题的能力，关键是能够在分析题目时分清运动过程中的变化情况，计算时找准积分上限、下限。

延伸：做变速直线运动的物体所经过的路程是位移的绝对值之和，从时刻t=a到时刻t=b所经过的路程和位移分别为s，s1。

(3)若v(t)≥0(t∈[a，c])，v(t)＜0(t∈[c，b])，则

题型四 定积分证明不等式

例6求证:lnn(n∈N*)。

证明：构造函数f(x)=。

点评：本题要证的结论是一个十分优美的不等式，而且此不等式在近年高考中以不同形式多次出现并要求同学们证明。例如，2014年高考陕西卷理科数学压轴题、2015年高考广东卷理科数学压轴题，解题的核心都是上述不等式。仔细观察原不等式不难发现左边的和式中每一项都是函数f(x)=的函数值，而右侧则是函数g(x)=lnx的函数值，所以可考虑将其看作原函数与导函数 ，这样一来右侧的原函数便可以看作对导函数的一个积分，再设法将左边与面积相联系，便得到上述解法。

题型五 定积分的交汇性

例7设y=f(x)为区间[0，1]上的连续函数，且恒有0≤f(x)≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分∫1f(x)dx，先产生两组

0(每组N个)区间[0，1]上的均匀随机数x1，x2，…，xN和y1，y2，…，yN，由此得到 N 个点(xi，yi)(i=1，2，…，N)，再数出其中满足yi≤f(xi)(i=1，2，…，N)的点数 N1，那么由随机模拟方案可得积分f(x)dx的近似值为____。

解析：设f(x)dx=S1。x，y∈[0，1]，直线x=1，y=1，以及x轴、y轴构成边长为1的正方形的面积为S，由几何概型可知。又因为S=1，所以S1=f(x)dx=

点评：本题利用定积分考查了几何概型，难度不大，但需要同学们对定积分有较深的认识，题目新颖。此类试题在高考题中多次考查，需引起同学们的重视。