耦合封闭声腔的主导声辐射模态确定方法*

苏常伟，朱海潮，毛荣富

(1. 海军工程大学 船舶振动噪声重点实验室， 湖北 武汉 430033；2. 中国人民解放军92578部队， 北京 100161)

研究结构振动向封闭声腔中辐射噪声这一课题具有实际意义，例如船舶舱室及飞机座舱内噪声分析和控制。国内外学者针对此类腔体结构声辐射问题开展了大量的研究[1-5]，其中Snyder等[5]通过对封闭声腔声势能解耦，首次提出了耦合封闭声腔的声辐射模态(Acoustic Radiation Mode, ARM)概念并初步探讨了利用其进行有源结构声控制(Active Structural Acoustic Control, ASAC)的可能性。耦合封闭声腔的声辐射模态消除了利用结构模态表示封闭声腔声势能时复杂的耦合项，而且在中、低频时通常只有一阶或几阶模态对封闭声腔声势能的贡献起主要作用，这使得分析和控制此类声辐射问题更为简单，成为近年来结构声学领域的研究热点[6-8]。

在实际设计基于声辐射模态的耦合封闭声腔ASAC系统时，如果能够精准确定对声势能有主要贡献的声辐射模态，那么在选取控制目标时就具有非常明确的针对性，这直接影响控制效果，而且能够有效减少控制通道数。然而，文献[5-8]中仅依据辐射效率选择前一阶或前几阶声辐射模态进行控制，自由空间ASAC中的相关研究[9-10]也大都强调辐射效率的作用而忽视模态幅度的影响，这显然是不全面的。李双等[11]、和卫平等[12]指出利用声辐射模态和结构模态之间的内在联系，可以有效确定主导声辐射模态，但该方法需要用到结构模态信息，而实际中要准确获得辐射体的结构模态信息并不容易，因此这一方法在应用上存在不便之处。截至目前，还没有一种准确的、便于工程应用的确定方法。

本文在前期研究中，将封闭声腔声势能直接表示为结构振动表面法向速度的二次型形式，重新定义了耦合封闭声腔的声辐射模态概念[13]。在此基础上，本文进一步给出了耦合封闭声腔中主导声辐射模态的定义；然后全面考虑辐射效率和模态幅度的作用，提出了一种基于“初选—预留—后验”的主导声辐射模态确定方法；最后通过实验研究验证了上述方法的有效性和可行性。

1 耦合封闭声腔的主导声辐射模态

文献[13]定义的耦合封闭声腔的声辐射模态是结构振动表面法向速度的一组可能分布形式。因此，结构振动表面法向速度向量v可由这组模态线性叠加表示，即

(1)

式中：D为声辐射模态矩阵，满足正交性(即DTD=E)，其列向量di(i=1,2,…,M)即为重新定义的耦合封闭声腔的声辐射模态；y为声辐射模态(速度)幅度向量，其元素yi(i=1,2,…,M)对应第i阶声辐射模态幅度；M为结构振动表面的离散单元数目。

封闭声腔声势能Ep也可进一步写成

(2)

式中，A为对角矩阵，其对角线元素λi(i=1,2,…,M)为误差加权矩阵Ω的特征值，均为正实数，与第i阶模态的辐射效率成正比，称之为第i阶模态对应的辐射效率系数。由式(2)可得，耦合封闭声腔的声辐射模态能够实现声势能解耦。因此，只要减小任意一阶声辐射模态幅度，就能保证总的封闭声腔声势能降低。

将在某一频率下或某一频段内对封闭声腔声势能起主要作用的一阶或几阶声辐射模态定义为耦合封闭声腔的主导声辐射模态(Dominant Acoustic Radiation Mode, DARM)。在中、低频时，一般只需抵消主导声辐射模态贡献的声势能，就能获得较为理想的有源控制效果。

2 主导声辐射模态确定方法

在实际设计ASAC系统时，首要环节就是要准确认定主导声辐射模态，从而正确选取控制目标，以保证控制效果。由式(2)可得，各阶声辐射模态单独贡献的声势能Epi为

Epi=λi|yi|2，i=1,2,…,M

(3)

可见，各阶声辐射模态单独贡献的声势能为该阶模态幅度幅值的平方与辐射效率系数的乘积。已有的主导声辐射模态确定方法大都强调辐射效率的作用而忽视模态幅度的影响，这显然是不全面的。

为直观说明，以一尺寸为Lx×Ly×Lz=0.65 m×0.50 m×0.45 m、顶面为四边固支的弹性钢板(尺寸为Lx×Ly=0.65 m×0.50 m，板厚h=0.002 6 m)、其余5个面均为刚性壁面的矩形声腔为例进行仿真分析。腔内介质为空气，设弹性板左下角为坐标原点，将弹性钢板表面均匀离散为15×15个小面积元。假设弹性板受到集中点力激励，激励频率为150 Hz，激励位置为(0.152 m, 0.117 m)。图1～3分别给出了该激励下此耦合板-腔模型各阶声辐射模态的辐射效率系数、模态幅度的幅值及其单独贡献的声势能随阶数变化情况(为便于观察，这里只显示前20阶)。分析图1～3可知：如果某阶声辐射模态的模态幅度很小，即使该阶模态的辐射效率很高，其辐射声势能还是很小，即该阶模态不能作为主导声辐射模态，比如第1阶模态；反之亦然，比如第12阶模态。

图1 前20阶声辐射模态对应的辐射效率系数Fig.1 Radiation efficiency coefficients of the first twenty ARMs

图2 前20阶声辐射模态幅度幅值Fig.2 Magnitudes of modal amplitude of the first twenty ARMs

图3 前20阶声辐射模态单独贡献的声势能Fig.3 Acoustic potential energy of the first twenty ARMs

基于此，本文全面考虑了辐射效率和模态幅度两个因素，提出了一种基于“初选—预留—后验”的主导声辐射模态确定方法，具体如下：

1)计算辐射效率，初选可能的主导声辐射模态。单频分析时，计算各阶模态对应的辐射效率系数，初步选择辐射效率系数不小于最大值1%的声辐射模态作为可能的主导声辐射模态[6]；宽频分析时，绘制各阶辐射效率系数-频率曲线，将在分析频段内出现峰值的最高模态阶数作为主导声辐射模态的初选阶数，记为js。

2)考虑模态幅度作用，放大初选阶数以预留余量。设预留余量后的主导声辐射模态阶数为JS，则JS=μ×js。其中，μ为放大因子，一般取整，根据经验赋初值。

3)传感前JS阶声辐射模态幅度，直接对比声势能后验初选结果。具体可分成以下两个步骤：

①在结构振动表面布置传感器阵列测量振速数据，传感前JS阶模态幅度。在结构表面均匀离散的前提下，可类比自由空间声辐射模态[14]，将不同自由度下的声辐射模态向量均转换为标准声辐射模态(声辐射模态函数的离散形式)，以保证振型的一致性。因此，可以利用低自由度下的标准声辐射模态设计前JS阶模态幅度传感策略，即

(4)

(5)

②将利用式(4)～(5)获得的前JS阶模态幅度代入式(3)，计算前JS阶模态单独贡献的声势能Epi(i=1,2,…,JS)，直接观察Epi随阶数收敛情况，最终确定主导声辐射模态。

上述确定方法的流程图如图4所示。不难发现，该方法综合运用计算和测试手段，本质上是通过直接对比前JS阶声辐射模态单独贡献的声势能确定主导声辐射模态，一方面保证了主导声辐射模态的精准认定，另一方面通过“初选”环节进行了模态阶数截断，较大程度地减小了工作量，而且整个过程中不需要用到辐射体的结构模态信息，便于工程实现。

图4 主导声辐射模态确定流程Fig.4 Determination process of DARM

值得一提的是，利用该方法确定主导声辐射模态后，不仅能够指导ASAC中控制目标选取，还可以用于实现封闭声腔声势能重构，即

(6)

3 实验研究

为验证主导声辐射模态确定方法的有效性及可行性，按照第2节中尺寸设计、制作固支弹性板-矩形腔耦合模型，开展实验研究。采用HEV-50型激振器向弹性板施加带宽为30～300 Hz的白噪声激励，激励位置为(0.155 m, 0.05 m)。将弹性板表面均匀离散为13×11个小面积元，图5给出了该激励频段内前6阶声辐射模态的辐射效率系数随频率变化曲线。

图5 前6阶模态的辐射效率系数随频率变化曲线Fig.5 Radiation efficiency coefficients of the first six ARMs as a function of frequency

首先，根据图4中流程逐步确定该激励下的主导声辐射模态，具体为：观察图5中给出的辐射效率系数-频率曲线可得，初选前2阶模态作为可能的主导声辐射模态，即js=2；为充分考虑模态幅度的作用，将初选阶数放大3倍以预留余量，即令μ=3，则JS=6；根据式(4)～(5)给出的模态幅度传感策略，假设将弹性板表面均匀离散为4×3个小面积元，利用均布在面元中心的12个加速度传感器测量弹性板表面法向速度，传感此耦合板-腔的前6阶声辐射模态幅度，然后代入式(3)计算得到前6阶模态单独贡献的声势能。前6阶声辐射模态幅度的幅值及单独贡献的声势能分别如图6和图7所示。观察图7中各阶声势能-频率曲线可得：在不同频率下，不同阶次的声辐射模态对总的封闭声腔声势能起主导作用，比如第1阶声辐射模态在30～100 Hz时对声势能起主要贡献；从整个分析频段来看，对封闭声腔声势能起主要贡献的是第1～3阶声辐射模态，第4～6阶模态的贡献量则相对较小。因此，可最终确定该激励下此耦合板-腔模型的主导声辐射模态为第1～3阶声辐射模态。后续控制中，若能有效抵消第1～3阶主导声辐射模态贡献的声势能，就可以获得较为理想的宽频(30～300 Hz)控制效果。

(a) 第1阶(a) The first order (b) 第2阶(b) The second order

(c) 第3阶(c) The third order (d) 第4阶(d) The fourth order

(e) 第5阶(e) The fifth order (f) 第6阶(f) The sixth order图6 前6阶声辐射模态幅度的幅值随频率变化曲线Fig.6 Magnitudes of modal amplitude of the first six ARMs as a function of frequency

(a) 第1阶(a) The first order (b) 第2阶(b) The second order

(c) 第3阶(c) The third order (d) 第4阶(d) The fourth order

(e) 第5阶(e) The fifth order (f) 第6阶(f) The sixth order图7 前6阶声辐射模态的声势能随频率变化曲线Fig.7 Acoustic potential energy of the first six ARMs as a function of frequency

利用4个布置在矩形腔底部四个角落的MPA416型参考传声器估算封闭声腔声势能[15]，记为测量值。同时，将第1～3阶主导声辐射模态代入式(6)重构封闭声腔声势能，记为重构值。将两者对比，以验证上述确定结果的正确性，结果如图8所示。可见，分别经重构和测量得到的声势能曲线除在波谷处由于信噪比低略有差别外，总体吻合良好，尤其在波峰处两者基本重合。这就证明了上述确定结果的正确性，从而表明本文提出的主导声辐射模态确定方法是有效且可行的。

最后，分析图5～7中第3阶声辐射模态的辐射效率系数、模态幅度的幅值及其单独贡献的声势能随频率变化曲线，可以发现：在162～186 Hz频段内，虽然该阶模态的辐射效率相比第1、2阶模态低，但其模态幅度的幅值较大，因而此时该阶模态单独辐射的声势能在总声势能中的占比明显大于第1、2阶模态，成为该频段内的主导声辐射模态。这就再次说明了在确定主导声辐射模态时综合考虑辐射效率和模态幅度两个因素的必要性，这也正是本文所提方法的意义所在。

图8 声势能对比Fig.8 Comparison of acoustic potential energy

4 结论

在前期研究的基础上，定义了耦合封闭声腔的主导声辐射模态，提出了一种基于“初选—预留—后验”的主导声辐射模态确定方法，并以固支板-腔耦合模型为例开展了实验研究，验证了上述方法的有效性和可行性，得到结论如下：①提出的主导声辐射模态确定方法综合运用计算和测试手段、全面考虑辐射效率和模态幅度两个因素，能够精准认定主导声辐射模态；②该方法通过“初选”环节较大程度地减小了工作量，且整个过程中不需要用到辐射体的结构模态信息，便于工程实现；③该方法可用于指导ASAC中控制目标选取或重构封闭声腔声势能，而且“初选—预留—后验”的主导声辐射模态确定思路在自由空间中同样适用。