圆周运动中的速度极值分析

摘 要：圆周运动知识在高中物理的考查中极为频繁，而当中的变速圆周运动往往让学生头疼不已，变速圆周运动常与牛顿第二定律、复合场、能量等知识点结合出现在各种试题中。本文尝试从受力特征来分析圆周运动中的极值问题。

关键词：圆周运动；最大速度；最小速度；向心力；径向合力

笔者发现在3-1的《导与学》中有这样的一道题目：

固定在光滑绝缘水平面上的a，b两点，分别放置有两个正点电荷Q1=Q和Q2=4Q，a、b两点相距L，且a，b两点正好位于水平放置的光滑绝缘半圆细管两个端点的出口处，如图所示。

（1）现将另一正点电荷靠近a处，沿a、b连线上静止释放，求它在ab连线上运动过程中达到最大速度时的位置离a点的距离。

（2）若把该点电荷放于绝缘管内靠近a点处由静止释放，已知它在管内运动过程中速度为最大时的位置在P处。试求出图中Pa和ab连线的夹角θ。

解：

（1）设正点电荷电量为q，当速度达到最大时，满足该电荷所受合力为零，即

kQ1qx2=kQ2q（L-x）2

解得x=L3

（2）对做圆周运动的点电荷，当库仑力的合力沿OP方向时，它在P点处速度最大，即此时满足

F2F1=k4Qq（2Rsinθ）2kQq（2Rcosθ）2=4cos2θsin2θ

tanθ=34

即得θ=arctan34

两小题都是考查速度的最大值位置。其中第（1）小题考查的是直线运动的最大值，即加速度为零，合力为零的位置。而第（2）小题很多学生看了答案也不明白为什么P点速度最大值是两个力的合力方向沿着OP也就是半径方向。这就必须涉及曲线运动的极值问题。

在分析第（2）小题时，可以先复习曲线运动产生的条件，提出径向合力和切向合力的作用效果分别是改变速度的方向和速度的大小。所以匀速圆周运动只有径向合力，而轻绳模型中的小球（除最高点和最低点外）既有径向合力又有切向合力，速度的大小和方向同时改变。然后再对本题中的带点小球进行受力分析，即小球由于放置水平面，重力和支持力相互抵消，小球在两个库仑力和径向弹力的作用下做圆周运动，结合初始运动状态不难发现，当合力只沿着半径方向时，切向合力为零，速度将达到极值。

本题还可以继续拓展为复合场的最高点和最低点极值问题以及轻绳模型中脱离轨道的高度。

如图所示，竖直平面内有一半径为r的绝缘细圆环，一水平匀强电场与圆环平面平行，场强为E。环上套有一电量为+q、质量为m的小球，忽略一切摩擦力。电场力大小等于重力，重力加速度为g，若小球能完成完整的圆周运动，则

（1）小球经水平直径左端A点时的速度大小是多少？

（2）当小球运动到圆环的最低点B点时，速度又是多少？此時圆环对小球的作用力是多少？

解：

（1）在小球从C点到A点的过程中，由动能定理可得

mgrsin45°-qE（r-rcos45°）=12mv2A-0

计算得出vA=2（2-1）gr

（2）在小球从C点到B点的过程中，由动能定理可得

mg（r+rsin45°）+qErcos45°=12mv2B-0

计算得出vB=2（2+1）gr

在B点时，由牛顿第二定律可得

N-mg=mv2Br，

计算得出N=（22+3）mg

本题考查的是复合场中的竖直面内圆周运动，属于轻杆模型，涉及动能定理和牛顿第二定律。

如果对小球受力分析，先找到小球的平衡点，即图中D点，为小球能静止的点。本题学生也可以将匀强电场和重力场等效为与X轴成45度的斜向下的复合场。D点为等效最低点，而C点就相应为等效最高点。这两点的特征就是只有径向合力，切向合力为零，必然为速度的极值点。

对于曲线运动的速度极值问题，此类相似问题还有如下题型：

如图所示，半径为R的3/4圆弧形光滑轨道放置于竖直平面内，A端与圆心O等高，AD为水平面，在O的正上方的B点为光滑轨道的最高点，在A点正上方某处由静止释放一小球，自由下落至A点时，进入圆轨道，且通过B点时受到轨道的弹力为mg（设忽略过A点进入圆轨道时的机械能损失），最后落到水平面C点处.求：

（1）释放点距A点的竖直高度h和落点C到A点的水平距离x。

（2）若将小球由h=R处静止释放，请问小球能否通过最高点B点，若不能通过，请求出脱离圆轨道的位置E与O的连线与竖直方向夹角的正弦值。

解：

（1）小球通过最高点B点时，由牛顿第二定律，有：

mg+FN=mv2BR

又FN=mg

计算得出：VB=2gB

设释放点到A点高度为h，小球从释放到运动至B点的过程中，

根据动能定理，有：mg（h-R）=12mv2B

计算得出：h=2R，

由平抛规律：R=12gt2

x=vBt，

联立计算得出x=2R，所以C点距A点距离：

Δx=2R-R=R

（2）小球到达B点时最小速度

若能到达最高点应满足mgR=12mv2+mgR，

显然不可能成立，即不能到达最高点。

设到最高点E的速度为vE，

E与O的连线与竖直方向夹角θ，由动能定理有：

mgR（1-cosθ）=12mv2B ①，

在E点脱离轨道时有：mgcosθ=mv2ER ②

联立①②计算得出：cosθ=23

所以sinθ=53

该题是综合考查了牛顿第二定律、竖直面圆周运动及平抛的知识点。（1）题的关键是小球在B点时列出牛顿第二定律方程，再结合动能定理和平抛规律即可求解.比较常规容易。（2）题的关键是能否判定出为过山车模型，设小球能到达最高点，根据牛顿第二定律求出到达最高点的最小速度为

gR，与动能定理矛盾，说明不能到达最高点。这个问题相对常规，一般学生问题不大。难点在于脱离轨道的位置。此时设出E与O点连线的夹角，再受力分析，根据动能定理和脱离轨道时径向合力提供向心力两个方程联解求出。

三道题虽然所处背景不同，但是都涉及曲线运动的极值问题。而径向合力提供向心力，只改变速度的方向，切向合力改变速度的大小，这一原理都是学生理解这三道题的关键。

参考文献：

[1]谢保国.2006年高考理综模拟试题二[J].上海蔬菜，2002（1）：36-37.

[2]张永兴.电磁学复习综合训练题[J].高中生之友，2006（7）：27-30.

[3]刘建成.关于2003年高考物理试卷的分析[J].物理教师，2003（11）：54-56.

[4]周玲李耀武.三种场中的圆周运动[J].当代电视，2011（10）：41-4.

作者简介：黄丽英，福建省石狮市，福建石狮第八中学。