基于波数有限元-边界元法的无砟轨道声辐射特性分析

冯青松， 辛 伟， 罗贤能， 刘全民， 雷晓燕

(华东交通大学 铁路环境振动与噪声教育部工程研究中心， 江西 南昌 330013)

我国高速铁路主要采用无砟轨道，与有砟轨道的情况相比，高速动车组在无砟轨道上运行，轮轨振动激发的噪声污染比在有砟轨道上运行有明显增加。因此，国内外许多学者对轨道结构的声辐射性能进行了广泛而深入的研究。徐志胜等[1]利用Timoshenko梁的原理模拟并建立钢轨仿真模型，然后采用半解析的方法计算出结构表面的振动响应，最后运用声辐射效率的计算公式分析了轨道结构系统的声辐射特性，探讨了轨下胶垫刚度与阻尼、轨道板的质量等结构参数对轮轨噪声的影响；方锐等[2]采用有限元的方法建立了三维实体有砟轨道模型，计算出了轨道结构表面的振动速度响应，然后以此作为激励输入，通过三维声学边界元的方法，计算了有砟轨道结构的声辐射特性；刘林芽等[3-4]利用Ansys软件建立三维有限元轨道模型，结合声学软件分析了轮轨力作用下钢轨及轨道板声辐射贡献的主要频率范围；杨新文等[5]通过建立轨道板的振动方程得到轨道板在稳态荷载作用下的振动响应，再用边界元法建立轨道板的声学边界元模型，分析并对比了各种板式轨道的声辐射特性；魏伟等[6]利用有限元与边界元相结合的方法计算了钢轨垂向和横向的声辐射效率特性；万淑敏等[7]利用Ansys建立三维实体离散有砟轨道模型，再结合声学软件Sysnoise分析了钢轨的声辐射效率。国外学者Thompson等[8-10]利用二维边界元法预测了钢轨的声辐射,同时研究了有砟轨道的轨枕对轨道整体结构声辐射特性的影响；Nilsson等[11]通过波数有限元-声学边界元法分析了有轨电车行驶钢轨的声辐射特性；Prasetiyo等[12]通过波数有限元-声学边界元法软件[13]分析了夹心板的声辐射特性及声传递损失量；Zhang等[14]通过波数有限元-声学边界元法分析了有砟轨道整体结构声辐射特性，并且包括了轨枕的声辐射特性。

目前对轨道整体结构声辐射特性研究通常是借助二维、三维的有砟轨道模型进行分析。运用解析法或者数值分析法分析的二维模型，具有良好的计算效率，但模型建立过程中对许多部分作了过多假设，导致其不能很好地反映结构实际情况，对模型的适用性和计算的准确性等产生了一定的影响。建立三维模型分析频率域内的声辐射特性时，由于轮轨噪声的频率较高，为满足较高的计算频率，需要将模型的单元尺寸划分的足够小，这在很大程度上增加了模型的自由度，相对应的工作量也大幅度增加，进而大大增加的计算所用的时间。所以，建立的三维模型一般较短，不能很好地反应钢轨、轨道板等轨道结构无限延伸的实际情况，增大了边界对振动声辐射的影响，从而降低了计算结果的准确性。

一般情况下，无砟轨道的钢轨、轨道板以及轨道的整体结构可以看成沿行驶方向无限延长，则沿轨道行驶方向上的结构可以划分为一系列的平面波，所以本文采用波数有限元-声学波数边界元方法。当前，CRTSⅠ型板式无砟轨道是我国高速铁路采用的主要轨道形式之一，建立其波数有限元模型，能够很好地反应实际情况，又可以快速计算出轨道结构在谐荷载作用后的振动响应。轨道整体结构的外部辐射声场则采用声学波数边界元法模拟，边界条件是轨道结构表面的振动速度，以此得到频率域内轨道整体结构及主要部分的声辐射特性，并分析了CA砂浆层弹性模量和钢轨扣件刚度对CRTSⅠ型无砟轨道结构声辐射特性的影响。

1 波数有限元-声学边界元法基本原理及验证

1.1 波数有限元-声学边界元法基本原理

假设所建的弹性体在某一方向无限沿长，并且定义无限沿长方向为x轴方向，则频率-波数域内三维弹性体的动力微分方程为[12]

[KS2(-iκ)2+KS1(-iκ)+

( 1 )

声学边界元基本方程为[12-15]

( 2 )

当波数有限元与声学边界元耦合时，由于边界单元表面压力的存在，使得边界单元压力将产生虚功，这样波数有限元-声学边界元耦合方程为[12-15]

( 3 )

( 4 )

除了上述所列方程外，还要考虑边界条件。通过狄利克雷边界条件可知，在流体与结构有限元单元的表面必须满足结构的振动速度与流体的速度匹配。因此，边界条件为[12-15]

( 5 )

式中:I2为单位单元刚度矩阵；CA、CB为系数矩阵；CC为边界压力矢量矩阵；C2为转换矩阵。

联立求解方程( 2 )～式( 5 )，考虑波数有限元与声学边界元耦合，系统结构的全局方程为[12-15]

( 6 )

式中:Mf为耦合处流体质量矩阵。

声辐射功率及声辐射效率方程为[12-15]

( 7 )

( 8 )

1.2 波数有限元-边界元方法的验证

根据波数有限元-声学边界元法基本原理，英国南安普顿大学编制了波数域内有限元-边界元结构和流体分析程序Wands[13]，作者参与了其中程序编制、调试、校核等工作。利用自编的前后分析处理程序与Wands程序结合，可分析得到谐荷载作用下波数域内振动和声学响应。

为验证建立的模型和程序编制的正确性，参照文献[12]建立谐荷载作用下薄板的有限元-声学边界元模型。所建模型中，薄板只约束两端，只考虑上板面的声辐射。以各向同性材料模拟薄板，并以八节点单元划分。激励是薄板板中正上方施加的垂向单位谐荷载，薄板上表面接触的大气以三节点边界元单元划分，薄板的参数与文献[12]相同，具体参数见表1，薄板模型见图1。文献[12]的解析模型计算结果与本文波数有限元-边界元法计算结果对比见图2。

表1 薄板参数[12]

由图2可见，文献[12]计算结果与本文波数有限元-边界元模型计算结果吻合很好，证明了本文所建立的薄板模型的正确性。

2 钢轨声辐射特性

通过建立的钢轨波数有限元-声学边界元模型，研究钢轨在谐荷载激励下的声辐射特性，钢轨模型见图3。模型考虑了普通60 kg/m钢轨及其下部的扣件结构，钢轨模拟为各向同性材料的八节点单元；参考文献[15],将扣件同样定义为八节点单元，扣件底部进行全约束。激励为钢轨轨头中心表面施加的单位竖向谐荷载，大气仍采用三节点边界单元模拟。在研究钢轨的声辐射特性时，只分析钢轨表面与大气接触的声辐射，不考虑轨道板和路基等对钢轨声辐射的干扰作用。

在计算钢轨的声辐射功率时，波数范围取为-55～55 rad/m，离散波数为N=2 048，以1、500、3 000 Hz为代表，分别计算出谐荷载作用下波数域内钢轨的声辐射功率幅值，见图4。计算得到的不同扣件刚度下钢轨辐射声功率和声辐射效率见图5。

将辐射声功率级第一次出现峰值时的频率定义为一阶峰值频率。

3种工况下辐射声功率级的一阶峰值频率分别为397.35、511.28、625.21 Hz，此时相应的钢轨辐射声功率级分别为40.99、40.46、38.42 dB，见图5(a)。由图5(a)可见，钢轨辐射声功率级变化与扣件刚度的改变有非常紧密的联系，钢轨的一阶峰值频率随扣件刚度的增大而明显变大，而一阶峰值频率处所对应的钢轨辐射声功率级减少了2.57 dB。在一阶峰值频率之前，钢轨辐射声功率随着频率的增大而线性增加；在一阶峰值频率之后，辐射声功率级有一定波动，但总体呈上升趋势，在4 200 Hz左右达到最大值。

在频率为4 600 Hz左右处，3种工况下的钢轨声辐射效率都达到27.65、28.7、30.21 dB的峰值，见图5(b)。3种工况下声辐射效率曲线只在高频处有些许变化，由此可知，扣件刚度的改变对钢轨声辐射效率的变化基本没有影响。

3 CRTSⅠ型无砟轨道板声辐射特性

针对CRTSⅠ型无砟轨道板，建立波数有限元-声学边界元模型，研究频率域内的轨道板声辐射特性，模型见图6。

模型中，轨道板和CA砂浆层以各向同性材料模拟，利用八节点单元进行划分。CA砂浆下部进行全约束，激励是将垂向单位谐荷载分别作用在轨道板距左侧和右侧0.85 m处上部。轨道板表面接触的大气考虑为三节点边界元单元。不考虑路基对轨道板声辐射的影响以及上部钢轨和扣件的作用。轨道板结构具体参数见表2。

表2 轨道板及CA砂浆层参数

参考TB 10621—2009《高速铁路设计规范》[16]，在合理范围内取为100、200、300 MPa，在频率域内，研究不同的CA砂浆层弹性模量对轨道板声辐射的影响。计算得到不同CA砂浆弹性模量下的轨道板辐射声功率级和声辐射效率见图7。

由图7(a)可见，3种工况下轨道板辐射声功率级的一阶峰值频率分别为397.35、481.20、625.21 Hz，对应的辐射声功率级分别为37.56、35.60、34.42 dB；可见随着CA砂浆弹性模量的增加，轨道板一阶峰值频率明显增大，在一阶峰值频率处辐射声功率级峰值降低了3 dB。

在一阶峰值频率之前，轨道板辐射声功率幅值随着频率的增大而近似线性增加，在一阶峰值频率处轨道板辐射声功率级达到最大值；在一阶峰值频率后，轨道板辐射声功率级有一定波动，但其总体趋势为随频率增大逐渐减小，并出现二阶、三阶峰值频率。随着CA砂浆层弹性模量的增大，轨道板辐射声功率级的二、三阶峰值频率分别由744.35、1433.6 Hz增加到894.73、1 546.4 Hz。

由图7(b)可见，随着频率的增加，轨道板声辐射效率也增加，并且声辐射效率在频率1 000 Hz左右达到峰值；但声辐射效率几乎不受CA砂浆层弹性模量增加的影响。

4 CRTSⅠ型无砟轨道整体结构声辐射特性

针对CRTSⅠ型无砟轨道整体结构，建立其整体结构波数有限元-声学边界元模型，研究频率域内的无砟轨道整体结构的声辐射特性，见图8。

根据轨道整体结构的对称性，取一半的结构进行研究。以三节点边界元单元划分与结构表面接触的大气，CA砂浆底部进行全约束，最右侧轨道中心处仅对横向及纵向位移进行约束。声辐射只考虑整体结构的上表面和轨道板的左半部分，不考虑大地表面对轨道结构声辐射的作用。探讨轨道结构各部分声辐射贡献量，以及轨道整体结构辐射声功率级与扣件刚度、CA砂浆层弹性模量的关系。

4.1 轨道整体结构各部分声辐射贡献量分析

利用建立的CRTSⅠ型无砟轨道分析钢轨及轨道板对轨道整体结构的声辐射贡献。扣件刚度为43.2 kN/mm，CA砂浆层弹性模量为200 MPa,其余参数与第2、3节相同。

计算得到的CRTSⅠ型无砟轨道整体结构辐射声功率级见图9，其中轨道板声辐射贡献量还包括了轨道板上扣件单元的声辐射。由图9可见，钢轨、轨道板、轨道整体结构的一阶峰值频率分别为475.81、315.62、338.36 Hz时，其相应的峰值为31.06、34.03、42.34 dB。在一阶峰值频率之前，钢轨、轨道板和轨道整体结构辐射声功率级随着频率的增大上升较快，近似成线性关系；在一阶峰值频率之后，钢轨辐射声功率级曲线波动较大且出现多个峰值，而轨道整体结构声功率级曲线稳定波动且整体走势升高。轨道整体结构辐射声功率级分别在338.36、1861.90、3153.30、4128.90 Hz出现4次峰值频率，其对应的轨道整体结构声功率级最大值分别为42.34、47.27、44.90、53.25 dB。

钢轨、轨道板对轨道整体结构的声辐射贡献量在不同频段内表现不同。在轨道整体结构一阶峰值频率338.36 Hz前频段内，对轨道整体结构辐射声功率级贡献量，轨道板为89%，钢轨为11%，显然，在该频段内，整体结构声辐射特性起最重要作用的是轨道板。在钢轨一阶峰值频率475.81 Hz之后频段内，钢轨对轨道整体结构辐射声功率逐渐占主导作用，轨道整体结构二阶、三阶峰值基本都对应钢轨的峰值；在二阶、三阶峰值频率处，钢轨对轨道整体结构辐射声功率级贡献量分别为54%、75%。

4.2 钢轨扣件刚度的变化对轨道整体结构声辐射特性的影响

钢轨与轨道板连接的一个重要组成部分是扣件，同时也是影响轨道整体结构声辐射特性的一个重要部件。参考文献[16],在合理的范围内，其它参数保持不变，扣件刚度依次为43.2、79.2、129.6 kN/mm。不同扣件刚度下轨道结构声辐射特性见图10。

由图10(a)可见，3种扣件刚度下，轨道整体结构辐射声功率级的峰值为42.34、39.77、36.89 dB，所对应的频率是338.36、407.44、430.23 Hz；随着扣件刚度的增加，轨道整体结构辐射声功率级有所降低，一阶峰值频率峰值降低了5.45 dB。在轨道整体结构一阶峰值频率之前，扣件刚度对轨道整体辐射声功率影响较大，在一阶峰值频率后，扣件刚度的影响较小。结合2节中扣件只对钢轨辐射声功率级的影响分析结果，可知扣件刚度对钢轨和轨道整体结构的辐射声功率级影响都较大，故从降低轨道结构辐射噪声角度看，应在合理范围内尽量选取较大刚度的扣件。

由图10(b)可见，随着频率的增加，轨道整体结构的声辐射效率逐渐增大，在1 907.4 Hz处达到最大值。在1 000 Hz前频段，轨道结构声辐射效率随着扣件刚度的增加，在1 000 Hz后频段，扣件刚度对声辐射效率基本无影响。

4.3 CA砂浆层弹性模量的变化对轨道整体结构声辐射特性的影响

CA砂浆层是无砟轨道重要的组成部分。参考文献[16],在合理的范围内，其弹性模量值可分别取为100、200、300 MPa。不同CA砂浆弹性模量下轨道整体结构声辐射特性见图11。

由图11(a)可见，CA砂浆层弹性模量从100 MPa变化200 MPa时，轨道整体结构辐射声功率级在一阶峰值频率之前频段内有一定的下降，但变化微小。3种工况下轨道整体结构辐射声功率级在一阶峰值频率338.36、361.86、384.65 Hz处，相应的峰值为42.34、41.52、40.92 dB。对比分析第3节中CA砂浆层弹性模量变化对轨道板辐射声功率级的影响，砂浆层弹性模量变化对轨道板辐射声功率级影响较大，但对轨道整体结构辐射声功率级影响较小。

由图11(b)可见，随着CA砂浆层弹性模量的增加，在1 000 Hz前频段轨道整体结构声辐射效率有一定影响，但在1 000 Hz频段后声辐射效率曲线无明显变化。

5 结论

本文采用波数有限元-声学边界元法建立了路基上CRTSⅠ型无砟轨道整体结构模型，计算出了钢轨、轨道板以及轨道整体结构声辐射特性，并通过选取不同扣件刚度和CA砂浆弹性模量对轨道整体结构的声辐射特性影响进行研究，总结如下：

(1) 在各自的一阶峰值频率之前，钢轨、轨道板及轨道整体结构的声功率级随着频率的增大而近似线性增加；在一阶峰值频率之后，声功率级曲线波动较大且出现多个峰值，其中钢轨和轨道整体结构声功率级曲线随频率增大呈整体上升趋势，而轨道板声功率级曲线随频率增大呈整体下降趋势。

(2) 钢轨、轨道板对轨道整体结构的声辐射贡献量在不同频段内表现不同。在轨道整体结构一阶峰值频率之前频段内，轨道板的声辐射贡献量占主导，约占89%；在钢轨一阶峰值频率之后频段内，钢轨声辐射的贡献量逐渐占主导作用。轨道整体结构二阶、三阶峰值基本都对应钢轨的峰值，此时钢轨声辐射贡献量约占54%、75%。

(3) 随着扣件刚度的增加，钢轨、轨道整体结构声功率级的一阶峰值频率明显增大，但声功率幅值明显降低,分别降低了2.57、5.45 dB。扣件刚度主要影响一阶峰值频率之前频段内轨道整体辐射声功率。因此，在合理范围内采用较大刚度的扣件，可以更有效地降低轨道结构辐射噪声。

(4) 改变CA砂浆层的弹性模量对轨道板辐射声功率级影响较大，但对轨道整体结构辐射声功率级影响较小；对轨道板和轨道整体结构声辐射效率几乎没影响。

(5) 本文建立的无砟轨道波数有限元-边界元振动声辐射模型，具有良好的计算效率，对分析频率域内轨道整体及各部分的振动特性与声辐射特性也有良好的适用性。