巧用圆锥曲线表达式解决简单的最值和方程问题

徐畅

摘 要：解决和圆锥曲线相联系的最值和方程问题，因所需知识概括性较强、分析能力要求高、区分度十分明显而成为高考命题者青睐的一个热点，但利用好圆锥曲线的表达式解决和圆锥曲线相联系的最值和方程问题确是较为简捷而方便的途径，通过例子，进行了详细阐释。

关键词：圆锥；曲线；定义；最值；方程；问题

解决和圆锥曲线相联系的最值和方程问题，因所需知识概括性较强、分析能力要求高、区分度十分明显而成为高考命题者青睐的一个热点，但利用好圆锥曲线的表达式解决和圆锥曲线相联系的最值和方程问题确是较为简捷而方便的途径，下面列举一一说明。

一、圆锥曲线的表达式

（1）椭圆表达式PF1+PF2=2a（2a>F1F2）

（2）双曲线表达式PF1-PF2=2a（2a

（3）抛物线表达式PF=d（d为点P到准线的距离）

二、典型例题

例1.（1）点P的位置在y2=4x的轨迹上，如果P到点A（3，4）和P到准线的距离和最小，那么P的坐标是 。

（2）点Q在y2=4x的轨迹上，如果Q到B（4，1）与Q到焦点F的距离和最小，那么Q的坐标是 。

思路分析：（1）A在y2=4x外，如所示图，连PF，则PH=PF，因而易发现，当A、P、F三点共线时，距离和最小。

（2）而B在y2=4x内，如所示图，作QR⊥l交于R，则当B、Q、R三点共线时，距离和最小。

图1

解：（1）（2，2）

连接PF，当A、P、F三点共线时，AP+PH=AP+PF最小，AF为一条直线，方程则为y=（x-1）即y=2（x-1），联立y2=4x得P（2，2）（得到的另外交点（，-）不取）。

（2）（，1）

过Q作QR⊥l交于R，当B、Q、R三点共线时，BQ+QF=BQ+QR最小，此时Q点的纵坐标为1，代入y2=4x得x=，∴Q（，1）

例2.P是+=1轨迹上的动点，P到+=1的右焦点F与P到点A（1，1）距离和最小值是 。

思路分析：PF为椭圆的一个焦半径，利用椭圆的表达式将PF用另一焦半径PF′表示出来，然后在利用三点共线求出最值。

解：（1）4-

设左焦点为F′，则F′（-1，0）连AF′、PF′

PA+PF′=PA+2a-PF′=2a-（PF′-PA）≥2a-AF′=4-

当P是F′A与椭圆的交点时，PA+PF值最小，为4-。

例题启示：以上例题是利用圆锥曲线的表达式将点与点的距离和点与线的距离相互转化的典型，解决了三点共线的最值问题，请同学们仔细体会。

例3.圆M与圆C1：（x+1）2+y2=36内切，跟圆C2：（x-1）2+y2=4外切，求M的圆心轨迹方程。

思路分析：不妨设圆M的半径为r，利用圆与圆的位置关系与半径的关系可以得到两个等式，等式1：

MC1=6-r；等式2：MC2=2+r然后两式相加即可得到结果

解：设圆M的半径为r由动圆M与圆C1内切可得MC1=6-r，由动圆M与圆C2

外切可得MC2=2+r，∴MC1+MC2=8

故由椭圆的表达式可知点C1和C2是M圆心椭圆轨迹的两个焦点，轴长是8。得2a=8，a=4，c=1，b2=15，故M的圆心轨迹方程是+=1

例题启示：在得到关系式MC1+MC2=8后，我们可直接根据椭圆的表达式写出方程，而无需再用距离公式列式求解，即列出+=8，再移项，平方，相当于将椭圆标准方程推导了一遍，较

繁琐！

例4.在△ABC中，B（-10，0），C（10，0），且sinC-sinB=sinA，求点A的轨迹方程。

思路分析：先利用正弦定理在方程sinC-sinB=sinA两边同乘以2R（R为外接圆半径），将三角形中角的关系转化为边长的关系，然后再利用双曲线的表达式求出点A的轨迹方程。

解：sinC-sinB=sinA 2RsinC-2RsinB=·2RsinA

∴AB-AC=BC

即，AB-AC=16

∴点A的路径轨迹是去掉顶点的右支曲线

∵2a=16，2c=20，

∴a=8，c=10，b=6。

所求轨迹方程为：-=1（x>0）（x>8）。

例题启示：以上例题中AB-AC=16是利用双曲线表达式直接得到点A的轨迹方程，简捷而方便。

例5.长度为3的线段AB的两个端点在抛物线y=x2上移动，AB中点为M，求点M到x轴的最短距离。

思路分析：（1）可直接利用抛物线设点，如设A（x1，x12），B（x2，x22），又设AB中点为M（x0，y0）用弦长公式及中点公式得出y0关于x0的函数方程，再用函数思想求出最短距离。

（2）M到x轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑M到准线的距离，想到使用表达式。

思路1：设端点A（x1，x12）端点B（x2，x22）和M（x0，y0）

得出方程组（x1-x2）2+（x12-x22）2=9 ①x1+x2=2x0 ②x12-x22=2y0 ③

由①得（x1-x2）2[1+（x1+x2）2]=9

即[（x1+x2）2-4x1x2]·[1+（x1+x2）2]=9 ④

由②③得2x1x2=（2x0）2-2y0=4x02-2y0

代入④得[（2x0）2-（8x02-4y0）]·[1+（2x0）2]=9

∴4y0-4x02=，

4y0=4x02+=（4x02+1）+-1

≥2-1=5，y0≥

當4x02+1=3即x0=±时，y0min=，此时M±，。

思路2：如图，2MM2=AA2+BB2=AF+BF≥AB=3

∴MM2≥，即MM1+≥，

∴MM1≥，当AB经过焦点F时取得最小值。

∴M到x轴的最短距离为。

例题启示：思路1是一种“设而不求”的方法，先根据条件列出方程组，再利用整体消元思想消x1，x2，从而得到y0与x0的关系式，最终根据基本不等式解决问题。而思路2根据抛物线的表达式，将M到x轴的距离转化成M到准线的距离，依据梯形中位线，进一步转化为A、B到准线的距离之和，结合曲线表达式解决问题。当然此解法没有验证AB是否经过焦点F，而且点M的坐标也无直接得出。

参考文献：

[1]李贺伟.巧用定义解决圆锥曲线最值问题[J].中学生数理化（学习研究），2018（3）：9-10.

[2]吴浩.巧用定义 速解高考题[J].新高考（高三数学），2014（Z1）：31-32.

编辑 段丽君