带休假延迟和启动时间的N策略Geom/Geom/1休假排队

张 杰 ，高 珊 ，王先超

（阜阳师范学院 a.数学与统计学院；b.计算机与信息工程学院，安徽 阜阳 236037）

离散时间排队自Meisling[1]提出以来，得以深入的研究[2-3]。Yadin、Kella[4-5]较早在休假排队系统中引入N控制策略，带N策略的Geom/Geom/1休假排队近年来取得了一定的进展[6-11]。其中文献[11]将N策略引入Geom/Geom/1多重休假排队系统，文献[12]研究了带N策略M/M/1排队的性能指标与顾客行为，文献[13-14]考虑休假期内到达N个顾客立即服务的排队队长分布。许多排队系统性能优化需要一个随机的延迟休假时间，基于该背景，Leung[15]在排队中引入休假延迟策略并得以进一步研究[16-18]。文献[18]考虑了延迟休假下离散时间排队的均衡策略。本文针对Geom/Geom/1离散时间排队，提出一类模型，即具有N策略并带休假延迟和启动时间的多重休假排队，运用拟生灭过程分析方法，综合考虑系统主要性能指标。

1 模型描述

系统有四种状态：(k,1)(k≥N)表示n+时刻系统有不小于N个顾客，记为k个，且服务台在启动期；(k,2)(k＞1)表示服务台处于工作状态且有k个顾客；(0,1)表示n+时刻系统处于休假延迟状态，(k,0)(k≥0)表服务台处于休假但系统有k个顾客。

其中

的最小非负解R起重要作用。

引理1当p＜μ时，R=R2B+RA+C存在最小非负解

2 稳态队长分布

定理1若p＜μ，则{(L,J)}的稳态概率分布由（2）式给出

由正则化条件可解出K，从而得证。

由定理1，可知平稳状态下服务台处于相应状态的概率分布：

3 条件等待队长和条件等待时间的随机分解

定理2当p＜μ时，系统条件等待队长L(N)可分解为独立的两个随机变量之和：

其中

证明系统处于正规忙期且顾客数不少于N的概率为

L(N)的母函数可写为

容易证明σ=(δ0+δ1+δ2)-1，因此，Ld(z)确是一个PGF。

定理3当p＜μ时，条件等待时间可分解为独立的三个随机变量之和：

其中W0是标准Geom/Geom/1排队中的逗留时间，WN和Wd分别有

推论2W(N)的期望

4 小结

本文分析了带N策略并具有休假延迟期和启动期的Geom/Geom/1多重休假排队模型，得到模型转移概率阵的经典三对角形式，系统顾客数分布的稳态表达式，并证明了系统主要性能指标的条件随机分解结构。这种与排队过程密切相关的控制休假机制，为计算机和通讯领域诸多问题的随机建模与优化设计提供了依据，进一步可考虑在此基础上将模型推广使其更具一般性与实用性。