怎样解题

邵贤虎

师：同学们，在平时的练习中，是不是经常有这样的感觉，拿到一道较难的习题，第一次看完感觉无从下手，这很大程度上可归结为审题的失败，未制订有效的解题计划，计划实施不扎实严谨，缺乏解后反思.

今天给大家介绍一位伟大的美籍匈牙利数学教育家乔治·波利亚（G. Polya，18871985）.他十分重视解题在数学学习中的作用，并对解题方法进行了多年的研究和实践，绘制出了“怎样解题”表，主要可分为“弄清问题、拟订计划、实现计划、回顾”四个阶段.下面结合这四个阶段及本人的思考，和同学们聊聊怎样解题.

一、弄清问题：解题从审题开始

在习题中经常会出现一些容易看错、易被忽视或容易误解的字词，如果我们粗心大意，就会导致失误.因此，我们必须了解问题的文字叙述，要善于“斟字酌句”，认真思考，弄清含义，为正确解题扫除障碍，如已知是什么？未知是什么？条件是什么？满足条件是否可能？要确定未知数，条件是否充分？

例1

一直线过点M（3，-4），且在x轴和y轴上的截距相等，求它的方程.

师：本题求直线方程，条件中你认为关键的字眼是什么？

生：截距相等.

师：你会选择直线方程的什么形式？

生：截距式.

师：设截距式应注意什么？怎么解决？

生：应注意截距式的局限性，不能忽视直线在x轴和y轴上的截距都为零，即直线过原点的情况.

生：当直线过原点时，易求其方程为4x+3y=0;

当直线不过原点时，用直线方程的截距式，设所求方程为x/a十y/a=1，

把已知点M（3，-4）的坐标代入方程，得a=一1.此时所求方程为x/-1+ y/-1=1，即x+y+1=0.

故所求直线方程为4x+3y=0和x+y+1=0.

师：很好！本题审题紧扣关键字眼“截距相等”，且避免了漏解的情况，这些关键字眼对问题的解决至关重要，必须给予高度关注.

二、拟定计划：确定方法和途径

拟定计划时，要善于对条件或结论进行简化，化繁为简、化难为易.解题思路不能只停留在原题上，而应积极地将其转换成熟悉和易解的问题，这样就能找到有效解决问题的方法和途径.因此，我们要注意分析题意，善于简化，寻求转换，并从中领悟出求简和化归的重要思想，从而拟订解题计划，

例2 已知两条直线ι1alx+b1 y=1和l₂：a₂x+b₂y=1相交于点P（2，3），求过点P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂）的直线方程.

当教师展示题目后，同学们认为条件很简单，但字母较多.怎样才能简化呢？

师：你能将条件“翻译”一下吗？

生1：由直线l₁：a₁x+b₁y=1和l₂：a₂x+b₂y=1相交于点P（2，3）可得2a₁+3b₁=1，2a₂+3b₂=1.

好像解不出来，四个未知数只有两个方程.

师：求过点P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂）的直线方程需要什么条件？如何获得？

生2：需要直线P₁P₂的斜率和直线上一点的坐标.（拟订计划）

由①-②得2（a₁-a₂）+3（b₁-b₂）=0.b₁-b₂/a₁-a₂=-2/3，即k=-2/3.

斜率求出来了，还缺一个点的坐标.已知条件中虽然有两点，但都含有未知字母，不知道下面应该怎么办.

师：已知条件中有两点，虽然含有未知字母，能不能勇敢地选取其中一个点尝试一下呢？

生2：我来代点P₁（a₁，b₁）试试.

由点斜式得y-b₁=-2/3（x-a₁），化简得2x1+3y-（2a₁+3b₁）=0，而2a₁+3b₁=1，所以得直线方程为2x+3y-1=0.

师：很好！我们再回头重新审视一下等式①②，说明了什么？

生3：我觉得从①②两式就能得到所求直线方程.①式表明点P₁（a₁，b₁）在直线2x+3y=1上，同样的，②式表明点P₂（a₂，b₂）也在直線2x+3y=1上.

两点决定唯一的一条直线，所以过点P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂）的直线方程就是2x+3y=1.

师：很好，这种解法体现了解析几何最基本、最本质的思想，

师：本题第一种解法充分展示了由审题所带来的解题计划的一步步实现，步步为营，成功解决问题;第二种解法“简约而不简单”，体现了良好的大局观，令人拍手称快！