一道课本例题的拓展

熊杰

很多同学认为学好高中数学是要做大量习题的，因此买了很多类型的参考书，做了很多看似复杂且困难的问题.殊不知，复杂的问题源于基本问题的组合，就连高考出题也本着“源于课本，高于课本”的宗旨，所以同学们在平时学习时一定要立足于课本.课本上的例题往往都是经过精挑细选的，仔细研读、揣摩这一道道经典例题，思考其题设的起源，分析其解答的思路，再归纳其结论并用于新的问题解答，往往会让我们别有收益.

一、深入探索

本例题是在学习过共线向量基本定理后的一道例题，例题的证明充分运用了共线向量定理，本例题也可以用相似三角形的比例关系来帮助理解，例如，当点C在三角形AB边上时，过点C作直线OA的平行线CD交OB于点D，

这个结论在延续旧知上是相当于共线向量基本定理的一个引申活用形式，所得结论的形式又在一定程度上体现了与平面向量基本定理的关联，在向量问题求解上更是可以将与三点共线的有关向量快速进行化简，结论简洁明了.

与课本例题相关的一个问题也出现在课本上，与例题构成了逆命题关系.

分析

本题和例题对比相当于是逆命题的关系，对本题的证明可以充分体现原题的条件和结论之间的充要条件关系.

根据我们所得的三点共线的向量相关结论，直接就可以发现点C的轨迹是直线AB，因此点C的轨迹方程也即是直线AB的方程.

二、结论应用

解析

本题是高一的一道期末考试题，第一问是一道很基础的问题，只需要将AB分解为已知向量即可，但是第二问学生就处理得很不理想，关键在于对A，B，H三点共线的这一条件的处理不到位.

归纳

本题的第二问即是对向量共线结论的一个运用，关键在于发现A，B，H共线后，可以迅速地得出m，n两者数量关系进而顺利消元求解，对此结论不熟悉的同学往往会因为无法消元导致解答不能进行，因此对三点共线的这一特殊结论我们应该好好地去理解感受.

分析

本題是一道证明三点共线的问题，白然是用向量共线来证明三点共线，借用以上例题所得结论的形式可以有目的地明确我们化简和证明的方向，通过D，E，C三点均和0点相连，所以考虑我们从oD，

归纳

本题的三点共线证明是向量证明中常见的问题，总的化简处理方向就是运用向量共线这个结论，证明中结合三点共线的关系式结论可以很明确地帮助我们化简出相关的关系式.

三、探究拓展

分析

本题的结论和条件看似关联不是很紧密，但只要认真分析题目的条件，观察本题图形的特点，可以发现与x，y相关的两个向量分别是AM，AN，而点E义和M，N在一条直线上，因此如果对向量三点共线结论比较熟悉的同学会敏锐地察觉到从这条路径出发应该会有所收获.

归纳

本题若不运用三点共线的结论，势必要进行一段较为烦琐的化简，中间过程比较复杂，很多同学会在此出错或放弃，因此掌握这一结论对我们解题有极大的帮助.

课本上这道例题所推得的结论可以有助于我们有效地简化运算，将不太熟悉和习惯的向量运算用一道简洁的数学关系式体现出来，能有效地帮助我们化简、消元，也能够让我们充分感受到数与形结合的奇妙意境.