直线与圆中的易错点

陈丽

直线与圆是解析几何的基础知识，其研究方法对后面圆锥曲线的研究有指导性作用.直线与圆在练习中有基础题、中档题，同学们想要做好这类题目，需要理解基本的概念，熟悉基本的处理方法.不然，就会在学习时m现对概念理解不全面、不透彻等问题.

一、利用几何法时注意全面性

例1

已知直线l过点P（-1，2），且到点A（2，3）和点B（-4，5）的距离相等，则l的直线方程为

错解 由于A，B到直线l的距离相等，所以AB∥l.又k_AB=一1/3，则有l：y-2=-1/3（x+1），即x+3y-5=0.

剖析

有些同学解题时一般会选择几何方法，即画图形，画图的时候容易将直线l过AB中点的情况遗漏，导致丢分.

正解 方法一、几何法（分两种情况）：

①直线l与直线AB平行，则k，=k_AB=-1/3，可得l：y-2=÷1/3（x+1），即x+3y-5=0;

②直线l过线段AB的中点，AB中点 坐标为（-1，4），则l：x=1.

综上所述，l的方程为x+3y-5=0或x=-1.

方法二、代数法：

①

当直线l的斜率不存在时，l：x=-1，A，B两点到它的距离都是3，满足条件;

②

当直线l的斜率存在时设l的斜率为

综上所述，l的方程为x+3y-5=0或x=一1.

反思

用几何法解题在画图的时候容易只画出其中一种，从而出现漏解的情形，做题时考虑要全面.

同类题练习

已知直线l过点（2，0），且与点A（-1，o），B（2，3）距离相等，则直线l的方程为

答案：x-y-2=0，x+y-2=0.

二、关注圆的一般方程的限制条件

例2

已知圆的方程为x²+y²+λx+（λ-2）y+5=0，定点P（2，3）在圆外，则实数λ的取值范围为

錯解 因为P（2，3）在网外，所以2²+3²+2λ +3（λ-2）+5>0，解得λ>-12/5·

剖析

错误的主要原因是忽视了隐含条件：方程首先要能够表示网，其次考虑点在圆外.

解得-12/5<λ<-2或λ>4，

所以λ的取值范围是（-12/5，-2）∪（4，+∞）.

反思 审题时要挖掘出题目中的隐性条件，避免掉到“陷阱”中.

同类题练习 已知过点P（4，3）可以向圆x²+y²+mx-2my+3=0作两条切线，则，m的取值范围是

三、关注直线方程的限制条件

例3 已知过点P（0，5）的直线与圆C：X²+y²+4x-12y+24=0交于A，B两点，且AB=4，求直线方程.

错解 由题知C：（x+2）²+（y-6）²=16，则AB=设直线方程为y-5=kx，即kx-y+5=0，则d

所以直线方程为3x-4y+20=0.

剖析 有些同学做题时直接将直线方程设成点斜式，没有考虑直线的斜率是否存在.根据网的性质可以知道过定点的直线被网截得的弦长在（0，2r）间时，此时直线一定是有两条.学生如果能事先做些分析，就会知道出现漏解了，而这一解在点斜式方程下没有被解出来，说明直线的斜率不存在.

正解 由题知C：（x+2）²+（y-6）²

当直线斜率不存在时，直线方程为x=0，此时d=2满足条件;当直线斜率存在时，设直线方程为y-5=kx，即kx-y+5=0，

直线方程为3x-4y+20=0.

综上所述，所求直线方程为x=0或3x-4y+20=0.

反思 直线的五种形式的方程中只有一般式可以表示平面上的任何一条直线，其他的四种形式都有限制条件，此时就需要进行分类讨论，避免出现漏解.

同类题练习 过点（1，-2）作圆C：（x-2）²+y²=1的切线，求切线方程，

答案：x=1，3x-4y-11=0.

运用几何法会给我们解题带来方便，尤其是计算量减少，但是画几何图形时一般是画出满足条件的一种情况，容易产生遗漏;探求直线方程时关注直线方程的限制条件，这些限制条件就是我们做题时分类的依据，想要避开以上可能出现的问题，考虑问题时要全面，这就需要我们对基本概念熟练掌握.