SOLO 分层理论在初中数学定理课教学中的应用举例*

广东省湛江一中培才学校(524000) 李雪迎

一、问题的提出

在《义务教育数学课程标准(2011年版)》(以下简称“课标”)第45 页指出:“知识技能”既是学生发展的基础性目标,又是落实“数学思考”、“问题解决”、“情感态度”目标的载体.

然而,在长期的一线初中数学教学中发现,在定理课教学中存在以下问题: 教师不注重知识之间的联系和整体观,忽视了学生的认知水平和对新知的理解过程.大多数教师对传统的应试教育比较娴熟,为帮助学生取得卷面高分,教师更关注课堂上学生的练习量.教师在教学中略去探究活动,直接把结论告诉学生,然后引导大家背记定理,再通过大量题组练习来训练,以达到“知识与技能目标”的要求.

学生在数学学习中根本没体验到思考、探索的乐趣,导致错过了高阶数学思维能力形成的黄金时期,甚至有学生认为数学是一门背记科目而导致学习信念的丧失.

二、SOLO 分层理论的简介

SOLO 分层理论由著名教育心理学家比格斯教授经过长期的研究和探索提出,对学生的回答从能力、思维操作、一致性与收敛和应答结构四个方面划分为五种水平: 前结构层次、单点结构层次、多点结构层次、关联结构层次、拓展抽象层次.SOLO 分层学不仅关注学习内容(学习到了什么),同时也关注过程内容(如何学习),这两方面正是结果性评价和过程性评价的要求.

SOLO 分层理论不仅提供了评价学生学习质量的科学、有效方法,还促使教师根据学生的反应水平,更关注学生的学习过程,真正实现“以评促教”、达到培养学生数学思维能力的目的.

三、参照SOLO 分层评价对一节定理课的教学设计的完善过程

在“课标”第45 页指出: 为了帮助学生真正理解数学知识,教师应注重数学知识与学生生活经验的联系、与学生学科知识的联系,组织学生开展实验、操作、尝试等活动,引导学生进行观察、分析,抽象概括,运用知识进行判断.

现以“平行线分线段成比例定理”(以下简称“定理”)为例,来分析SOLO 分层评价对定理课教学的促进过程.

1.定理内容及在教材的地位

“定理”内容: 两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.

“定理”在教材的位置: 人教版数学课本(2013年版)九年级下册第35-36 页(第27.2.1 相似三角形的判定);北师大版数学课本(2013年版)九年级上册第82-83 页(第四章第2节).该“定理”是相似三角形判定的开门课: 一方面可以直接用来判断线段之间的比例关系;另一方面,把两条对应线段的比迁移成另两条线段的比,应用在三角形中就得到了一个重要推论,这个推论是判定三角形相似的理论基础.

2.参考学生的SOLO 评价层次对教学设计的完善过程

2.1 课堂教学设计一

自主预习: 教师组织学生参照教材内容对定理内容进行填空;

新课授受: 在课堂上组织学生对定理内容进行背诵、抽背(将数学课上成语文课);

巩固提升: 对学生进行A、B、C 题组训练(将定理课上成习题课).

评价反馈: 教师围绕着“看书->记忆->做题->反馈->记忆->做题->反馈”来开展教学活动,会背记和做题成为学生的主要任务,机械式的学习应对简单题目还可以,稍复杂的题目多数束手无策.

归因分析: 教学设计中没有考虑到对学生的结构性知识和过程性方法引导,课堂上缺少足够思维量,定理内容虽会背但由于不理解导致不能灵活应用,学生的思维水平只能达到前结构层次.

2.2 课堂教学设计二

参照人教版教材设计(如图1),让学生通过度量、计算、比较,来回答教学设计中的问题.有学生提出因度量过程中的误差没有办法达到预设效果,面对课堂生成资源用题组训练粗暴解决.

“设计二”在教学中最为常见: 照着课本讲教师轻松省事,学生还能多做题,但在评价学生的思维水平时只能达到单点结构层次.

在“设计二”中,教师虽然有组织探究活动,但整个过程只是为得到结论: 缺少展开知识发生、发展的过程,没有合情推理也没有逻辑推导;这种教学行为没有很好地考虑学生的内在体验,没有激发体现学生主动性,学生也感受不到自己发现的乐趣.有句俗话说:“别先把学生丢到坑里,再去把他拉上来”.说的就是教师在教学设计中不考虑学生的思维发展要求,忽视对学生学习过程的关注.

图1

图2

2.3 课堂教学设计三

对于“设计二”中出现度量误差问题的改进: 基于学生已有“解直角三角形”的基础(已知直角三角形的两条直角边,会求斜边),参考北师大版教材设计(如图2): 将直线的交点放置在小方格的格点处,通过解直角三角形实现求线段长度,然后再判断对应线段比值是否相等.

“设计三”一是对“设计二”中度量误差问题的解决,二是引导学生用数学思维去解决问题,三是将知识联系起来(求线段的长,借助构造直角三角形、解直角三角形来实现),这是数学转化思想的体现.

“设计三”的不足: 将这一组线放置在网格中也只是两个特例,学生在回答问题(3)时只是凭直觉来猜想.由于没有经历验证的过程,学生对这个定理的辨识程度是不够的.学生的思维水平评价只能到多点层次结构.

2.4 课堂教学设计四

对“设计三”中的猜想不具备说服力的完善: 借助几何画板(如图3),任意移动l3,l4,l5中的一条或是几条,交点的位置发生变化,对应线段的长度随之改变,几何画板测量工具显示对应线段的比值始终相等(三个方框).

图3

图4

信息技术的加入激发了学生的求知欲,但不完全归纳还是不能对“定理”进行有力的验证.考虑到学生的学习基础、接受能力,为培养学生思维的严密性、批判性,教师有对学生进行适当的引导.

学生答: 不能度量,转化能行得通吗？

教师问: 借助什么方式来转化呢? 我们有什么已知条件吗? 请把已知条件找出来.

学生答: l3,l4,l5是一组平行线.

教师问: 大家小组讨论下,平行线可以给我们带来什么信息?

学生1 答: 同位角、内错角相等,同旁内角互补.但,好像没有什么用…

学生2 答: 还有一个性质: 平行线间距离处处相等.好像也用不上…

学生3 答: 正因为平行线间距离相等, 线段比可以转化成面积比, 就可以用面积法(如图4).因为l3//l4, 所以S△ABE= S△DBE,同理可得S△CBE= S△FBE.而(同高的两个三角形面积比等于底之比),同理可得所以(等量替换).证得

在“设计四”中,学生的活动过程是丰富的: 先猜想,再从特殊到一般分析,后严格推理验证.在这个教学中,学生不但获取了“知识与技能”,了解到对待探究活动的思考过程和研究方法,相关知识也在参与活动中形成体系.整个设计过程利于学生的直观判断能力、逻辑推理能力等数学素养的形成,学生的思维水平上升到关联结构层次.

2.5 课堂教学设计五

要想学生的思维水平能上升到抽象拓展层次,在教学设计中更应该充分考虑遵循学生思维认知水平,注重知识的生长点和整体性.

1.增加对于“定理”情景引入.

建议借助实际生活情境让学生体会到数学与生活的联系,并经历直观猜想->数学建模->探究活动->推理验证->归纳概括的过程.

下图是一架梯子的示意图(如图5),由生活常识可以知道l3,l4,l5互相平行,与另外两条撑架l1,l2相交.

问题: (1)如图6, 若AB = BC, 你能猜出DE 和EF的数量关系吗?

图5

图6

图7

2.由教师授转化为学生悟.

在“设计四”完成用面积法证明对应线段的比值相等后,鼓励学生用自己的语言归纳概括.

(1)概括这些线段形成过程、位置特点,分辨截线与被截线,引导学生理解本节难点“对应线段”;

(2)对探究活动过程的概括,从特殊到一般,先猜想再验证,以及所用到的数学思考的概括.

(3)生成结论的概括,形式的多样化(变式),可拓展性.

3.由特殊到一般,再由一般到特殊.

用几何画板展示基本图形在变化过程中的两个特例,即图8 中的“A 字形”和“8 字形”, 结论同样是成立的, 即“定理”的推论.这两个变式图形也是将“定理”运用到三角形中的两个基本图形.

图8

4.启迪学生对新知的思考探索

利用课堂生成启迪学生注重知识之间的联系,通过问题引发学生对下一节内容思考.

问题: (1)观察图8,你直观觉得“A 字形”和“8 字形”所形成的两个三角形形状是一样吗?

(2)你有什么方法能判断两个三角形相似? 已知条件有什么,还欠缺什么条件?

借助几何画板(如图9)进行不完全归纳推理,在改变截线、交点的位置时,三角形的形状大小发生改变,但三组对应边的比值始终相等,也就是说“A 字形”和“8 字形”中的两个三角形是相似图形.至于严密的推理,需要借助“定理”的推论来证明,将在下次课完成.

图9

在数学定理课上,除了通过丰富多样的教学活动来促进学生数学素养的形成,还应充分调动学生的学习兴趣、燃起学习激情,为后期长期学习做准备.

四、在SOLO 分层评价下开展数学定理课教学的几点建议

1.创设生活情境引入,注重数学与生活的联系

针对学生所呈现出的SOLO 评价层次,为了发展学生的数学思维在教学设计时应思考这样几个问题: 学生要怎么学习这些知识? 学生为什么要采用这种学习方式? 学生是否被激发起学习热情? 通过生活情境的引入,让学生感受到数学与生活的联系,培养学生的情感态度和价值观.

2.分层次、成系列设计问题串,促使学生能力发展

而课堂教学中师生、生生互动能有效达成学习目标,其中师生的互动往往围绕大量的问题而展开.在定理课教学中有效地设计问题串就显得尤为重要: 教师先要钻研教材的思想方法,了解学生已有的认知基础,考虑学生的理解能力,以及要提升到什么层次,为丰富学生的思维量而开展启发式教学,在提问时教师要关注所提问题的推理性、启发性、反思性程度.

3.把握课堂生成资源,注重知识的整体观

在定理课的教学中,鼓励通过探究活动来揭示思维过程,以达到培养高阶数学思维能力的目的,而超出预设的课堂生成正是课堂上最宝贵的资源.教师要广开言论,鼓励学生表达困惑、暴露问题(理解认知上的困惑、与他人不同的见解或做法),最终将学生的质疑辨析转化到教学目标上,实现课堂的高效化.

五、结束语

发展学生的数学思维,不是一蹴而就的事,也不是只能在某种特定课型上才能施展.教师“心中、眼中一定要有学生”: 参照学生的SOLO 评价层次对教学内容、教学过程进行设计、调整,让学生坚定学习信念、主动参与课堂、真正学有所获.