关于“垂直与平行”教学的思考与实践

翁海平 王瑛

[摘 要]平行线的定义以及画法一直是教学的难点。从多个方面分析出现此类现象的原因，通过思考现行教材对平行线的定义是否合理，该如何定义，以及如何沟通定义与平行线画法之间的联系，帮助学生建立正确的平行概念，让学生从概念出发去理解平行线的画法，让画平行线不再是机械的模仿。

[关键词]平行;画平行线;合理定义;教材重组;沟通联系

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2019）08-0016-02

“垂直与平行”是小学几何学习，尤其是四边形知识中的一个重要内容。为此，无论哪个版本的教材，对这个内容都非常重视，编写也各具特色。下面列举了几个版本教材对这一内容不同的处理方式。（见下表）

[ 教学内容安排 平行线的定义 人教版实验

教材 平行与垂直;画垂线;画平行线。 在同一平面内，不相交的两条直线互相平行。 苏教版实验

教材 平行;画平行线;垂直;画垂线。 在同一平面内，不相交的两条直线互相平行。 现代小学新数学读本 相交与垂线;画垂线;平行和平行线。 在同一平面内，不相交的两直线叫作平行线。 上海二期课改教材 垂直;画垂线;平行;画平行线。 垂直于同一条直线l的两条直线a和b，它们之间的距离是相等的，也就是它们之间的宽是一样的，它们是互相平行的。 西南师大版教 材 垂直;画垂线;平行;画平行线。 在同一平面内不相交的两条直线叫作平行线，组成平行线的两条直线互相平行。 新世纪小学数学教材 在平移的基础上学习平行;相交与垂直。 只是从生活模型中抽象出平行的两条直线，没有定义，只说铅笔平移后是互相平行的。 ]

结合教材的演变，将几套教材进行对比分析，可以发现两个特点：

1.对同一教学内容安排的教学顺序各不相同。西南师大版教材、现代小学新数学读本、上海二期课改教材都是先教学垂线和画垂线，再教学平行线和画平行线。而新世纪小学数学教材是在平移的基础上学习平行。其他几个版本的教材都是先教学平行和垂直的概念，再教学画垂线和平行线。

2.对平行的定义也有不同之处。如西南师大版教材、人教版教材、苏教版教材、现代小学新数学读本均采用“同一平面内，不相交的两条直线互相平行”来定义。现代小学新数学读本在西南师大版教材的基础上，明确提出“两条平行线之间的距离处处相等”。上海二期课改新教材是从两条直线间的距离相等来定义的，绕开“平面”的概念：“像这样垂直于同一条直线的两条直线，它们之间的距离是相等的，也就是它们之间的宽是一样的，它们是互相平行的。”而新世纪小学数学教材中没有给平行下定义，只是让学生在感受生活和具体操作（平移铅笔）中初步感受平行。

同样教学“垂直与平行”，但在内容设置以及概念的定义上，却存在这样大的差异，对于学生来说，学习难点又有哪些呢？人教版实验教材的教参是这样描述的：这一单元涉及许多作图的内容，如画垂线和平行线、画长方形和正方形、画平行四边形和梯形的高等，对于四年级的学生来说，这些都有一定的难度。对此，笔者对已学过相关知识的222位五年级学生进行了后测，后测数据如下：

从数据来看，学生对于这一单元技能操作掌握情况非常不错。为此，笔者对学生进行了访谈，重点放在他们画平行线和画垂线的过程。访谈结果显示，学生画垂线的方法正确，而且92.5%的学生能清楚说明为什么利用三角板画垂线——因为三角板中有现成的直角，由此可知学生对垂线的学习比较到位。

随后又对画平行线正确的218人进行了访谈。

从画好的平行线的结果来看，正确率达到了98.20%，而从学生的操作方法来看，按照教材上提供的方法画的学生有60.55%，用其他方法画的学生约40%。对60.55%的学生做进一步的访谈，发现他们基本不知道这样画出来的为什么是平行线，不知道这样操作的本质是什么。

一、思考

1.学生能真正理解“在同一平面内，不相交的两条直线互相平行”吗

小学属于几何概念的引入阶段。国际上公认：对几何概念的引入处理，应该让儿童通过操作活动或其他的一些行为来进行，而这些操作活动和行为必须是能够帮助学生抽象出這一概念的。

大家都知道，欧氏几何的平行公理是不能在实践中检验的。定义是由公理体系导出的，自然，平行线的定义“在同一平面内不相交的两条直线”也无法通过操作活动和行为来使学生理解。因为学生无法每次都准确地延长一条直线至随心所欲的长度，因此虽然知晓延长的含义，但“任意延长，永不相交”却无法在具体的活动中实践，也就是无法通过操作抽象出“平行”的概念。由此，在小学阶段对平行线所下的“在同一平面内不相交的两条直线叫作平行线”这一定义是不妥当的。

“平面”是中学才出现的概念，即使是初中的教材，也没有下“平面”的定义，只能使用“教室的墙面，课桌的桌面，平静的水面”“平面是平的，无边无际”等来描述，以使学生初步感知平面。显然，小学教材中更不宜出示“平面”的正式定义。

2.应该如何合理定义

经过数十年对“如何进行‘平行概念的教学”的研究，多数人认为在四五年级进行“平行”概念的教学时，需要一个切实可行的、能够从具体活动中抽象出“两条直线互相平行”的活动。欧洲和亚洲的大部分国家的专家都认为：在平面几何学中，此定义确实是可操作的定义。德国、日本、韩国以及中国台湾对平行线的定义大致有两种处理方法：第一种是用“像这样（在同一纸面上）垂直于同一直线的两条直线是平行的”，第二种是用“两条直线总是有相同的距离，则这两条直线是平行的”。笔者更倾向于第二种，因为两条直线距离处处相等是平行的本质特征，要判断两条直线是否平行，就先要动手测量它们之间的距离，然后进一步在操作的基础上抽象出概念。

3.沟通平行线的定义和平行线的画法之间的联系

正确画平行线的一般步骤是：（1）固定三角尺，沿一条直角边先画一条直线;（2）用直尺紧靠三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后平移三角尺;（3）再沿第一步中的直角边画出另一直线。为了让学生更好地掌握平行线的画法，教师在教学过程中通常把画平行线的步骤简缩为三步：（1）靠;（2）移;（3）画。这三个步骤看起来容易，学生掌握起来却很难，总需要教师反复强调才学会画平行线。笔者对画法正确的学生进行了访谈：“你怎么知道这样画出的直线就是已知直线的平行线？”学生均回答：“老师说的。”由此可见，现行教材中建立起来的平行概念和平行线的画法不利于学生理解操作的本质，他们只是依样画瓢，机械操作。真可谓知其然而不知其所以然。

因此，从平行线的本质下定义“两条直线间的距离相等，这两条直线是互相平行的”，然后利用这个定义去沟通画平行线的方法，让学生理解操作的本质，知道画已知直线的平行线其实就是画一条和已知直线距离处处相等的直线，这样教学将有助于学生更好地理解平行的概念以及画法。

二、实践

有了对“垂直与平行”后测数据的分析以及对各教材的深入理解和把握，笔者进行了教学尝试。

1.教学目标的合理定位

既然学生无法想象延长两条直线，以及无法理解平面的概念，笔者就将平行线的概念定义为“两条直线间的距离相等，这两条直线是互相平行的”，让学生在直观的操作中理解平行，再建立起画平行线和平行概念之间的联系，让学生从真正意义上理解平行。

2.教材重组

平行线的定义要讲到距离，也就说垂直和画垂线是学习平行线的基础。因此，笔者对教材的内容进行了重组，将垂直的概念和画垂线放在平行教学之前。先教学垂直的概念，以及用直尺画垂线，再教学平行线的概念和画法。这样教学可以避免第一课时纯概念课教学时间紧张以及学生难以接受等问题。

3.教学过程

（1）引出平行线

教师出示第①组直线，提问：“这组直线中藏着一个秘密。你能找出来吗？”

虽然学生较难说出这组直线里藏着的秘密，但已经开始思考。教师接着出示第②组直线，引导学生比较：“两组直线有什么不同？”有了第②组直线做依托，学生会猜第①组直线之间的距离处处相等，然后画多条垂线，量得这两条直线间的距离总是相等。此时教师再用多媒体动态演示这两组直线延长后的情况，得出定义：“像这样，两条直线间的距离相等，这两条直线是平行的。”

（2）建立画图与概念之间的联系

引出平行线的概念以后，教师应该放手让学生尝试画一组平行线。学生在尝试过程中能找到多种画平行线的方法。如利用直尺的两条边、本子上的平行格子、从平行线的定义出发等。接着，教师让学生画出距离5厘米的一组平行线，学生自然能发现利用直尺的两条边和本子上的平行格子画平行线方法上的缺陷。教师进一步询问：“从平行线的定义出发画的两条直线真的一定互相平行吗？”使学生明白这种简便方法的操作原理是什么。

教学结束后，对我校四年级的四个班的学生的学习情况进行了统计：55.9%的学生通过画直线的两条相等的垂线来画平分线;22.7%的学生借助了尺子的两条平行边画平行線;5.9%的学生在课前已经知道画平行线的步骤，他们是按照书上方法画出平行线;15.5%借助了数学草稿本上的平行格子画出平行线。

从数据来看，55.9%会尝试着通过画直线的两条相等的垂线来画平行线，足以说明学生对平行概念已有一定的理解和把握。可见，改变定义，从平行线的本质入手，对学生将来的学习是有利的。

（责编 金 铃）