试谈高观点视角下的小学数学教学

周卫东

[摘 要]高观点的视角，即站在学科结构和学生认知结构的宽度，立在知识性与思想性相统一的高度，处在知识抽象性、概括性、包容性等的厚度，使知识呈现高低度、纵深度与宽窄度有机地构成的三维结构。通过大概念统领、思想性包摄、结构化关联，促使小学数学教学呈现一派新的景象与新的生机。

[关键词]高观点;大概念统领;思想性包摄;结构化关联

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2019）08-0001-02

德国著名数学家、数学教育家克莱因倡导“高观点”，即从高等数学的角度来审视初等数学。高观点给初等数学的教学带来了生机与活力。藉此意蕴，我认为，所谓“高”者，即不一般、优于常态也，高观点视角下的数学教学，可以从内容的纵深维度迁移到内容的宽窄维度，推及到思想的高低维度等。

传统小学数学教学有着太多的疵议，比如，“只见树木，不见森林”，教学中就题论题、就事论事，只看到单一的知识点而不及其他;比如，“只见皮囊，不见灵魂”，只重视知识、技能等知识“硬件”，对隐含在知识内部的“软件”无知觉，使数学教学呈现“瘫”着的状态而“立”不起来;比如，“只重当下，不念过往”，表现在教学中就是“斩头去尾烧中段”，只对眼前的教学负责，对知识“从哪里来”“往何处去”不关注也不思考。

美丽的风景在远方，在深处，在高点。数学教学呼唤一种新的视角、新的境界，迫切需要一种新的教学理念来引领。而高观点的视角，可以站在学科结构和学生认知结构的宽度，立在知识性与思想性相统一的高度，处在知识抽象性、概括性、包容性等的宽度，使知识呈现高低度、纵深度与宽窄度有机地构成的三维结构（如图1），使小学数学教学呈现一派新的景象与新的生机。

一、大概念统领

高观点视角下的小学数学教学首先体现为大概念统领。

大概念是美国教育心理学家奥苏伯尔所说的上位知识，它位于学科知识金字塔的顶端，其抽象性、概括性、包容性最高，解释力最强。借用生物学术语来说，大概念就是学科知识体系的内核，它内含遗传密码，最具再生力、生发力和预示力，是最具活性和繁殖性最强的一种知识类型，是其他知识得以生发与依附的主根。从学生学习的角度来看，大概念是一个纲，纲举目张;是一个组织者，整合所学的知识;是一根红线，把知识串起来。如果说学科知识体系是“鹰架”式结构，那么，大概念就是撑起这一“鹰架”的支点，抓住了大概念，学科的其他知识和相应的学习活动就可以被提起来。可以说，大概念是整个学科学习活动的连心锁，是赋予学习活动整体性的关键。

比如，“用字母表示数”就是一个大概念。它是代数学习的起始阶段和重要环节，理解用字母表示数的意义是运用代数式、方程、正反比例等进行交流的前提条件，是形成符号意识和代数思维的关键，可以用图2表示。

通过该内容的学习，经历由字母表示数、由日常语言表示数量关系到用符号语言表示数量关系的抽象过程，是学生数学思维发展的一次跨越，也是学生进一步学习代数知识乃至其他数学知识的重要基础。

再比如，分数知识中的单位“1”也是一个大概念。对于“分数的意义”这一课，很多教师对单位“1”的理解往往局限于教材，从文本出发，依次呈现“一个物体”“一个计量单位”“多个物体”三种素材中具体分数的含义，然后进行统整：“无论是一个物体、多个物体，还是一个计量单位，都有一个共同的名称，就叫单位‘1，通常用自然数‘1来表示。”这种“只见树木，不见森林”式的教学，学生对单位“1”的理解不具有多少“生长性”。我们不妨换一个视角：出示6个同样大小的正方形，并引发学生思考：“这些正方形该用什么数来表示呢？”学生展开想象，在充分的讨论和争辩中，形成“6个正方形可以用任何数来表示，关键看我们把多少个正方形看成‘1，‘1变了，这些正方形表示的数也就变了” 的共识，从而理解了单位“1”的本质：“整数就是单位‘1的叠加，有几个单位‘1，就可以用整数几来表示;如果不满1个单位‘1，或者比几个单位‘1还多一小部分时，就用分数来表示。”这样，单位“1”就跳出了一般性定义，成为一个被比的标准，像一把“尺子”，在“度量意义”的视角下被赋予更深层的含义，充分体现了分数的重要内涵，即它的无量纲性。

二、思想性包摄

高观点视角下的小学数学教学应该能看到知识深层的思想方法。

学科思想是学科知识中的“隐性内容”，是学科专家提出的对学科发展和学科学习最具影响力的那些观念和见解，是知识“背后”的知识，是学科的精髓与灵魂。它是学科思维的“软件”，基于学科知识，又高于学科知识，与学科知识具有不可分割的辩证关系。因此，如何引导学生一起去找寻和发现学习中蕴含的数学思想、新的思维方法是数学教学所面临的最大挑战，因为如果内容选不准，不仅会浪费师生宝贵的学习时间，而且会错失和贻误学生智慧生长的“黄金期”。

首先，从整体上构建教材中所蕴含的数学思想的立体框架。比如苏教版教材“三位数乘两位数”这一课，如果“就事论事”进行浅表性分析，似乎很难看出其中的思想内核，但若能走进教材的深处，就可以数学思想为纽带串起整节课：在复习了“两位数乘两位数”的计算后，让学生直接尝试“三位数乘两位数”的算式并讲明道理，然后引发学生思考：“老师翻看了后面的教材，在四年级学完了三位数乘两位数之后，不再有四位数乘两位数或三位数乘三位数了，这是为什么？”通过这样的问题让学生明白，所有多位数的乘法都遵循一种运算思想，那就是“先分后合”，无论运算步数如何变化，其中的思想原理是不变的。

其次，让数学思想有机融合在数学知识的形成过程中。比如，人教版教材一年级上册第110页的习题：

虽然这些题目只是要求学生在空格中填进一个合适的数，但教师应该明白，若把□换成x，则上面的题目就变成了不等式，这时x就是一个变元符号，就会有一定的取值范围，这一个“位置占有者”的作用就会凸显。例如，引导学生思考问题：“□内最大能填几？最小呢？最多能填几个数？”同样，在此基础上还应进一步深化：“□+○[<]7，可以填些什么数？”这样的处理，能更好地滲透“符号变元”这一数学思想。

三、结构化关联

高观点视角下的小学数学教学还应该能看到知识内在的结构。

学科之所以为学科，而不是简单概念与知识要点的堆砌，其中非常重要的原因就在于学科知识之间存在着不可割裂的内在联系。

所谓结构，简单地说，就是事物之间的联系，它表现为组织形式和构成秩序。从静态看，学科知识应该形成经纬交织、融会贯通的立体网络。从动态看，学科知识应该形成一个自我再生力非常强大的开放系统，以充分挖掘学科知识结构区别于科学知识结构的特有的功能。为此，教师必须合理设计教学，使教学前后内容互相补充、自然推演，编织一个具有生命力的、处于运动中的思维网络，引导学生深刻领会各个概念的实质，掌握蕴含在各个概念相互关系中的思维模式。

比如，乘法的三个运算律（乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律）之间是有内在关联的，其本质是一致的，都是乘法意义的外在呈现。因此，教学“乘法分配律”时，有教师通过一张点子图（如图3）巧妙地将这三个运算律进行了统整：让学生在点子图上把“4×6=6×4”“4×3×2=4×（3×2）”“（5+1）×4=5×4+1×4”三道算式的运算过程表示出来，然后通过对比发现“无论是乘法交换律、乘法结合律还是乘法分配律，都求的是‘几个几是多少，都是根据乘法的意义衍生出来的”。

再比如，“空间与图形”领域中“图形与位置”的相关内容主要包括：（1）二年级用“第几排第几个”等方式描述物体的位置;（2）五年级用“数对”表示方格图上点的位置;（3）六年级用“方向和距离”表示平面图上点的位置。这三个内容虽然處于不同的教学层次，但内在的数学本质是一致的，即都与“方向”“距离”这两个要素密切相关。因而，教学“用数对确定位置”时，教师不仅应该看到它的“今生”，还该看到它的“前世”与“后世”，即“它从哪里来”“将往哪里去”。为此，我创设了“小鸭在哪里”的教学情境，通过一维的“小鸭是怎么走的”的回忆，勾勒出全课的基调，即一个点的位置，既与方向有关，又跟“数”有关。在数对教学完毕时，再对知识的形成过程进行反溯，让学生感受到，数对也是方向与距离的衍生物，只不过在数量上由一个变成了两个（如图4）。在课尾，通过“要是小鸭潜到了水里，该怎么确定它的位置呢？”的追问，联结到三维空间里点的位置的确定，引导学生大胆想象，在学生朦朦胧胧的感觉中教学“戛然而止”。

此时，在学生的认知结构中，若隐若现留下的，是知识的全貌，是结构的雏形，更是朝向未来知识世界的美好。

（责编 金 铃）