概念，在“画”中感悟——“倍的认识”教学实践与思考

□ 傅爱兰

【课前思考】

“倍的认识”是人教版教材三年级上册第五单元的内容。在学习“倍”之前，学生头脑中建构的关于比较两个数量大小的方法是比较数量的多与少，即比较两个数量的差，也就是常说的差比。在比较两个数量关系时除了差比，还可以将一个量确定为标准量，通过判断另一个量里面有多少个这样的标准量，来比较两者的比率关系，即我们常说的倍比。比率这一概念在数学学习中有着重要的作用，是学生学习比例的基础。实际上，倍、分数（表示分率）、百分数、比等概念的本质都是比率。

理解两个数量的倍数关系也是学生乘法认知结构建立的重要方面，学生乘法认知结构中的数学概念体系的建构是按照整数—分数—比例的顺序依次建构的。对“整数倍”的学习是学生第一次接触比率，小数倍、分数（表示分率）、百分数、比的内容，都可以看作是对“整数倍”的扩展。

也就是说，教材的“倍比”教学还刚开始，那学生对“倍”的认知是不是零起点呢？带着这样的思考，课前笔者对本班40名学生进行前测：

学生反馈如下：

情况反馈人数画2倍两行同样1 1画3倍（多2倍）1 4第二行比第一行多2个5多4完全不懂题目意思6

通过统计发现，近半学生对“倍”的认识并不陌生，但教师通过对画对的学生进行交流访谈，发现了很多问题。

问题1：“多2”和“2倍”混淆。

在画对的11人中，有5人是“第一行画2个，第二行画4个”，只有1人比较明确地说明是以第一行为标准去看第二行有几个第一行这么多。其他学生都是指多出来的2个图形，在增加或减少第一行的个数时，学生瞬间变得一片茫然。

问题2：“1倍”和“多1倍”混淆。

由于受生活语言“成倍增长”的负迁移，很多学生认为：以第一行为标准，第二行比它多1份就认为第二行是第一行的1倍，多2份就是它的2倍。可见，学生对“倍”的本质理解还是有偏差的。

课前学情调查结果，为这节课的课堂教学开启了一扇窗，学生的认知疑惑处便是这节课教学的最佳切入口。

【教学实践】

“倍”是一个抽象的概念，而三年级学生还是以形象思维为主。面对学习内容和认知能力的矛盾，我们选择教学方法的唯一突破口就是如何将抽象内容直观化。

画图策略可以帮助学生在形象思维和抽象思维之间搭建桥梁，让学生在学习理解数学过程中培养和发展几何直观能力，感悟初步的数形结合思想，从而促进数学能力的发展。教学中我们可以从“形”对于“数”的直观性、“数”对“形”的深刻性这两方面着手，发挥数形结合的作用，努力让学生在“画”中感悟“倍”的意义。

一、在“赏”画中引出概念

1.看“画”读取数学信息

师：今天这节课我们一起来研究数学“画”，想象一下你心目中的数学画是怎么样的。课前老师让大家画了一幅画，现在我们一起来看看。

出示学生数学前测作品：

图1

师：从画中你获得了哪些数学信息？圆形和三角形在数量上有什么关系呢？

生1：三角形的个数比圆形多3个，也可以说圆形的个数比三角形少3个。

生2：三角形的个数是圆形的1倍。

生3：三角形的个数是圆形的2倍。

师：刚才你们都说到一个新名词——“倍”（板书：倍），首先请××同学说说“1倍”你是怎么找的？

图2

生2上台边圈边说：我把第一行的3个圆形作为参照标准，第二行多了这样的3个，所以第二行是第一行的1倍。

师：说得好像很有道理，那你的“2倍”又是怎么找的呢？（指向生3）

生3（上台演示）：你看这里圆形是1个3，三角形有2个3，所以三角形的个数是圆形的2倍。

2.初识倍数关系

师：刚才两位同学通过比一比、圈一圈，发现比较两个数量，除了谁比谁多、谁比谁少这种相差关系外，还可以用倍数关系来表示，那到底三角形的个数是圆形的1倍还是2倍呢？一起看图，他们两位都是把圆形作为标准，我们把它看成“1份”，那么三角形的个数有几个这么多？（生答2个）

图3

师：我们把圆形的个数看作1份，再找三角形的个数有这样的2份，在数学上，就说“三角形的个数是圆形的2倍”。（板书：三角形的个数是圆形的2倍）

[思考] 通过前测，真实了解学生的学情，教学中从学生的“问题”出发，通过讨论辨析，矫正学生对“2倍”的认识偏差，让学生在数形结合的比较中真正体验“2倍”的认识过程，充分体现学生的主体性。

二、在“圈”中理解概念

1.出示前测收集的数学“画”

图4

2.圈出倍数关系

活动要求：

比一比，看上面画中是不是2倍关系。

圈一圈，表示出图中的倍数关系。

改一改，把不是2倍的改成2倍关系。

3.学生展示汇报

在师生、生生互动中进一步理解一个数是另一个数的2倍。

[思考] 利用学生的前测素材，让学生进行二度思考，从课前的“盲目”到课中通过比一比、圈一圈进行自我调整。学生懂得要先确定标准，也就是第一行的1份是几个，再找到第二行含有“2个几”，有效地找到“2倍”关系。

4.比较概括

出示图5。

图5

图6

师：仔细观察这4幅“画”，你有什么发现？

生1：第一行画的都是圆形，第二行画的都是三角形。

生2：第二行的个数都是第一行的2倍。

师（追问）：他们画的两行图形的个数各不相同，为什么都说三角形的个数是圆形的2倍呢？和你的同桌说一说。

生3：都是以第一行为标准，第二行有2个第一行这么多，所以就是第一行的2倍。

师：也就是说我们都是把第一行看成1份，第二行有这样的2份（演示图6的形成过程）。那这1份里面可以画几个？

生：想画几个就画几个，只要第二行画2个第一行这么多。

师：太厉害了，我们把掌声送给他。那只能画三角形和圆形吗？

生：我们只比较图形的个数的关系，跟图形的形状没有关系。

师：是的，倍数关系只比较图形的个数，那如果第二行再增加1份，现在的倍数又会发生怎样的变化？

生：如果再增加1份，那么第二行就是第一行的3倍。

师：要想第二行是第一行的10倍，想象一下它是怎样的。

生：第一行画3个五角星，第二行画10个3，就是30个。

生：不管第一行画几个，只要第二行有10个第一行这么多。

师：你的一句话把所有的可能都概括了，太棒了！

[思考] “倍”是一个抽象的概念，教学中教师在学生初步感知“2倍”的基础上，以形辅数，结合集合图不断深化“2倍”的意义，同时通过学生“2倍”的建模经验初步类推出“几倍”的意义，培养学生举一反三的能力。

三、在“画”中强化概念

师：相信每个学生心中都有一幅与众不同的“画”，现在请你把它画出来。

1.画图

出示学习要求：

想：自己最喜欢的倍数关系。

画：简单、清楚且与众不同。

说：（ ）是（ ）的几倍。

2.学生展示汇报

在师生、生生互动中理解若干倍数关系。

3.想象建模

如果减少2份还是倍数关系吗？如果增加1个这么多就是几倍关系？100个呢？

[思考] 教师创造机会放手让学生“画”，让学生在操作中积累丰富的表象认识，使抽象知识具体化、形象化。通过画一画、圈一圈、说一说等活动，让学生将操作、理解概念、表述数理有机地结合起来，让学生看自己画的“画”来说数理，降低了数理表述的难度。我们发现“数学画”能让“高冷”的数理瞬间变得那么亲切，数学课因此也变得更加地自然、和谐、智慧。

四、在“比”中深化概念

1.独立完成学习单

2.互动交流

（1）手链中的倍数。

图7

师：有倍数关系吗？你是怎么找的？

生：我把4个红珠子看成1份，蓝珠子的个数有2个1，所以蓝珠子的个数是红珠子的2倍。

师：如果同意的给予掌声支持。如果像这样增加1串（如图7），现在又是几倍关系？

生1：现在蓝珠子的个数是红珠子的4倍。

生2（没等生1说完就激动地说）：不对，还是2倍。

师：现在有两种答案，我们统计一下支持2倍的同学举手（一半以上的学生举手），剩下的都认为是4倍吗？数学是讲道理的，现在看看哪方的道理能说服我们！

生3：我也认为是4倍关系。刚才已经是2倍，现在蓝色珠子增加了8个，等于增加了2倍，所以就是4倍。

生4（迫不及待地反驳）：但是蓝珠子个数增加了，红珠子的个数也增加了，现在我们看红珠子有8个，蓝珠子的个数是16个，16里面有2个8，所以蓝珠子的个数是红珠子的2倍。

师：大家觉得哪方讲得更有道理？（齐答：2倍）这道题我们发现红珠子和蓝珠子的个数都在成倍增加，但是它们之间的倍数关系是不变的。

[思考] 函数的核心就是“把握并刻画变化中的不变，其中变化的是过程，不变的是规律”。学生乐意去发现规律，并能将规律表述出来。这个环节设计“一串手链中蓝珠子的个数是红珠子的2倍，为什么2串手链中蓝珠子的个数也是红珠子的2倍呢？”这样的追问，再通过数形结合的辨析演示，让学生既可以更全面更深入地认识倍，又可以在观察中体会数据一一对应的关系，感受到一个数据随着另一个数据的变化而变化的过程，这就是函数思想在教学中的渗透。

（2）组合图形中的倍数。

思考：涂色部分是没涂色部分的几倍？

图8

图9

学生通过观察比较迅速地找到图中两部分的倍数关系，于是教师追问：如果擦掉1块呢？（出示图8）

生：我们把没涂色部分看成1份，涂色部分和没涂色的同样多，所以涂色部分是没涂色的1倍。

生：现在两部分同样多，我们也可以把涂色部分看成1份，没涂色部分是涂色部分的1倍。

师：当比较的两个量同样多时，我们可以把任意1个量看成标准，另一个量就是它的1倍。继续擦1块（出示图9）。

生（由于受到前面图形的负迁移，不假思索地说）：涂色部分是没涂色部分的3倍。

生（听后马上激动起来）：现在是涂色的部分少没涂色部分多，应该以涂色的部分为标准，所以应该说没涂色部分是涂色部分的3倍。

大部分学生恍然大悟，教室里顿时响起雷鸣般的掌声。

师：刚才在变化的过程中，虽然正方形的总数不变，但是涂色和没涂色的倍数在不知不觉中发生了变化。如果我们以小数为标准，那么比出来的就是“整数倍”，那如果以大数为标准能找到倍数关系吗?

生：不能，以大数为标准，小数里面1份都不到，所以就没有倍数关系。

师：其实除了整数，还有分数、小数，大家学了第八单元就知道谜底了。

[思考] 借助“形”直观体验变化的规律：总数不变，但是其中的倍数关系发生变化的过程。而更为精彩的是：当没涂色部分多于涂色部分时追问“还能以没涂色部分为标准吗？”从“整数比”引出“分数比”，为今后学习分数做好铺垫。

（3）线段中的倍数。

图10

生：我认为扫地的人数是擦桌子的4倍。

师：哪儿来的4倍呀？

生：我以表示擦桌子人数的线段为标准，它的长度刚好一个食指这么长，而扫地人数的这条线段刚好有4个这么长，所以，扫地的人数是擦桌子人数的4倍。

生：我发现擦桌子的人数刚好是一块橡皮这么长，扫地的人数有4块橡皮的长度。

生：我通过量一量，得出表示擦桌子的这条线段是2厘米，表示扫地的这条线段是8厘米，8里面有4个2，所以我也认为扫地的人数是擦桌子的4倍。

师：刚才我们通过估一估、比一比、量一量等方法，得出扫地的人数是擦桌子的4倍。我们一起来验证一下你们的想法（出示图10）。

[思考] 跳出直接“比”，先让学生估一估：“扫地的人数是擦桌子人数的几倍。”我们会发现学生思维的闸门马上打开了：借助橡皮、手指、尺子进行度量。可见学生已经摆脱最初的圈，直接去找“第二行有几个第一行”，在不知不觉中已经建立起“几个几就是几倍”的模型。

五、在“联”中沟通概念

1.比较

师：同学们，以前我们在比较两个数“多”和“少”的关系时是怎样比较的？

生：两个数去掉相同的部分后，剩下的就是“多”或“少”部分。（电脑演示图11）

师：今天研究的倍，我们是怎么进行比较的？

生：我们是把第一行看成1份，第二行有这样的2份，就说第二行是第一行的2倍。（电脑演示图12）

图11

图12

2.小结

师：“倍”和我们以前学习的“多”和“少”一样，都是比出来的，不同的是“倍”在比较时把标准量看作1份，看另一个数有这样的几份。（板书：比出来的——倍）。

[思考] 选择学生最初最容易混淆的一幅“画”让学生进行“差比”和“倍比”的比较，既彻底地将学生带出认知盲区，又沟通新旧知识的联系，帮助学生重新梳理知识，形成知识网络。

六、在“用”中拓展概念

师：生活中还有很多地方也存在倍数关系，比如人体结构中就是以“头长”为基本单位，那与“六头身”存在怎样的倍数关系呢？请打开阅读材料开始阅读。

1.独立阅读思考：什么是“六头身”

2.交流反馈

生：“六头身”表示身长是头长的6倍。

师：其他年龄阶段头长和身长又是几倍关系？

生1：1～2岁身长是头长的4倍。

生2：3～5岁身长是头长的5倍。

……

师：看来人随着年龄的增长，头长和身长的倍数也会随之变化，据研究发现，“八头身”是男女青年的理想身材，请你利用今天学过的知识画出“八头身”！

[思考] 沟通数学和生活的联系，用数学“画”表示生活中的倍数关系，揭示人体结构的秘密，深刻感受数学的生活性、艺术性，激发学生不断探究数学秘密的兴趣。

【教后思考】

对于“倍的认识”这一课，教师利用数与图之间的对应和转化，搭建抽象思维和形象思维之间的桥梁，瞬间让数学问题由抽象变直观、由难变易。这节课，笔者开展了集“主体性、实践性、数学味”于一体的“画倍数”的活动，学生在自主互助的探究中深刻感悟“倍”的意义。

一、学生是“画”的创造者

这节课中不管是课前的让学生画“2倍”的活动，还是课中画“与众不同的倍数”的活动，都是要让学生充分暴露认知上的“错误”和“不完善”，然后，紧紧抓住学生画中的“不完美”元素组织讨论交流，让“倍的意义”越辩越明。整堂课，每个学生都经历了从一开始“盲目地画”到后来“有计划地画”再到最后“快乐地赏”的过程，学生始终处于积极主动探究的活动中，他们是课堂教学材料和课堂活动的主动创造者。

二、数学化是“画”的魂

整节课，教师放手让学生在画、赏、圈等活动中找到“1份数”和“几份数”，学生在直观图中积累丰富的认知经验，此时，教师通过及时追问“他们画的两行图形的个数各不相同，为什么都说三角形的个数是圆形的2倍呢？”“如果第二行是第一行的10倍，请你想象一下，画出来的图是怎样的？”“如果以大数为标准还能找到倍数关系吗？”等问题，促使学生不断思考和分析，感悟“几个几就是几倍”。课堂中学生充分经历了从最初的“直观图”到后来的“集合图”和“线段图”的数学化过程，实现了认知从“操作层面”向“结构层面”的升华。