通过引入误差概念使学生能够更好的理解数列极限

刘元

【摘 要】本文首先给出数列极限的描述性定义，然后给三个出具体实例，通过中学阶段学过的“误差”，“近似值”来引出数量化的极限定义，也就是数列极限的“ε-N定义”，再通过剖析其中各量之间的内在联系，达到深刻理解数列极限定义的目的。

【关键词】高等数学;数列极限定义;割圆术;二分法

【中图分类号】O171 【文献标识码】A

【文章编号】2095-3089（2019）03-0007-01

一、引言

数列极限的概念是高等数学教学中公认的重点和难点.由于数列极限概念的ε-N定义中的逻辑结构复杂，对于刚入校的大一学生来说，普遍感到“不知所云”，处于一种似懂非懂的状态，将严重影响高等数学后续知识的深入学习.因此如何使学生从概念上消除ε-N语言的神秘感，认清ε与N之间的关系是数列极限定义教学中的关键.如果突破这个难点，对于学生学好极限理论至关重要.

二、極限概念的发展史

极限概念的形成经历了漫长的岁月.17世纪末，牛顿和莱布尼兹在前人大量工作的基础上分别创立了微积分.在建立微积分的过程中，必然要涉及极限的概念，但他们当时都无法确保极限概念的严密性，更不能解释清楚为什么无穷小量可以在计算过程中忽略不计.严格的极限概念是在19世纪，由法国数学家柯西初建，由德国数学家魏尔斯特拉斯完成的.经过一个多世纪的探索，19世纪的数学家终于消除了长久以来极限概念的不明确性带给人们的种种困惑，建立了严格的极限理论，数列极限的“ε-N”语言和函数极限“ε-δ”语言一直延续到今天.

三、数列极限的“ε-N定义”

1.数列极限的描述性定义。

定义1：对于给定的一个无穷数列{a n}，以及一个确定的常数A，如果当项数n无限增大时，对应的项a n无限趋近于常数A，那么就说，数列{a n}以A为极限，也称数列{a n}收敛.记作

limx n=A或x n→A（n→∞）

当这样的A不存在时，称数列{A n}为发散的数列.

数列极限的描述性定义是对数列极限的定性描述，这种定性描述对学生感悟数列极限无疑是非常有利的，但这种定义中何谓“无限增大”，何谓“无限趋近”，这些词语十分含糊，缺乏数学的严密性，而且这种描述性定义不仅对数列的极限难于进行深入细致的分析，而且对于高等数学的进一步学习作用不大.为此，必须在定性描述的基础上，进一步寻求精确的数学语言来定量刻画数列极限的概念.为了引出数列极限数量化的定义，本文以三个个特殊的例子入手来分析如何引入数列极限的数量化的定义.

四、结束语

本文从数列极限的描述性定义出发，对三个引例通过从误差，近似值的角度进行分析，从而引出数列极限的定义，最后列举了一些学生在理解数列极限的定义困难点，并对其进行重点说明.

参考文献

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