浅谈高中函数概念教学

罗小凯

函数作为高中数学的核心内容，贯穿整个高中数学，从函数的概念，到基本初等函数，再到数列、方程、不等式、极限、导数、微积分等，无不涉及到函数思想方法的应用，因此，学好函数是学好高中数学的关键，也是进一步深入研究数学甚至其他学科的基础。

一、发现问题

在教学实践中发现学生普遍感觉函数模块整体偏难，最根本的原因还是函数的概念理解不到位。反思教学中的问题：不注重函数概念的过程教学，对函数的背景实例引导不到位，导致引出函数的“对应”概念时衔接不自然，不能突出函数的本质。现结合新人教版高中数学必修一函数的概念教学实践，浅谈具体的改进措施。

二、解决方法

针对函数概念，不管是初中学习过的函数定义，还是高中通过大量实例概括出函数抽象简洁的定义，对学生理解函数的本质都需要从不同角度、不同层次慢慢过渡内化，是一个漫长的领悟理解过程。而在函数概念教学之初，就应该关注函数的形成过程，具体可以从以下两个方面来改进。

1.重视函数背景，合理选择实例 从函数的现实背景出发，学生更容易接受，切合学生的认知，教师应从大量函数实例中选择合适的背景实例帮助学生构建函数概念。在选择实例时注意三个方面，一是实例尽量贴近学生生活，能引起学生得共鸣，产生研究的兴趣；二是丰富全面，让学生体会到函数在生活中的广泛应用，也能更全面的理解函数；三是尽量简单易接受。这样，学生经历了函数概念的形成过程，不断深化理解函数的本质内涵。

2.自然引出概念，突出函数本质 高中函数的概念，引入方式有两种：旧教材先讲映射后学函数；新教材先有函数概念再介绍映射。对于这两种引入方式，各有利弊。

首先，两个定义本身都抓住了函数的本质——对应。但定义中的“对应”对学生来说，意义仍然不明确。20世纪60年代给出的“序偶”定义或者叫“关系”定义也建立在集合论的基础上，它更可以作为函数概念的一般理论。但对于高中学生来说，太抽象，需要铺垫的知识较多，所以高中阶段一般采用新教材中简单的“集合对应”的定义来描述函数。

其次，现行教材定义中的“y=f（x）”，混淆了“函数”与“函数值”的概念，确切的说，函数是一种对应关系，是一种特殊的映射f：A→B，而“y”仅仅是函数值，不能称为函数。这样比较的话，旧教材中由映射给出的定义就避免了这一混淆。新教材中这样安排是为了跟初中的函数定义“y是x的函数”衔接起来，这也容易影响学生对函数本质的理解，教师在教学中应给学生加以明确辨析，真正理解其本质。

再次，两种引入概念方式，前者“先映射后函数”的定义有其重要的先进意义，映射作为更宽泛更基础的概念，贯穿于现代数学的各个分支（如代数学中的映射：群、环、域、同态、同构等以及实变函数中主要研究的具有勒贝格测度的集合间的映射），先详细学习理解映射的概念，再由一般到特殊，得到函数的概念。但由于两个概念都很抽象，对于高一学生的认知和思维水平，接受起来很困难。而后者的“先函数后定义”正是考虑到高一学生的思维认知水平，过渡更自然，衔接初中的函数定义，让学生充分感知，从而概括出函数的概念。

三、改进策略

函数概念的教学中，要从实际背景和函数的定义两个方面来帮助学生理解函数的本质。应挖掘教材，吃透背景实例，逐步引入并构建函数概念。

首先，感受函数。针对教材中的实例1，提出问题并引导：

比如，可以让学生用计算器来计算炮弹飞行具体时间后距地面的高度，然后引导学生指出变量的取值范围并用集合表示，最终引导学生用集合与对应的语言来描述变量间的关系：对于集合A中的任意一个时间t，按照对应关系h=130t-5t2，在集合B中都有唯一确定的高度h和它对应。

设计意图：通过表达式用计算器计算，提高课堂效率，可由程度较差的学生回答；最后的概括最后由师生一起完善准确表达。

教材实例2同样仿照实例1提出问题，并引导学生仿照实例1描述集合间的对应关系。

教材实例3由学生仿照实例1、2提出问题并最后描述为集合间的对应。

小结分析：

这三个实例的操作流程适当放慢，给学生思考、组织语言并表达的时间，通过不断的重复描述，学会适应集合于对应这种新的语言的表达方式。

接着，引出函数概念。首先老师引导上述同学们描述的这三个实例的关系就是函数，一起分析、归纳三个实例的共同特点，可先由学生尝试表达，也可以分组讨论。师生后续再补充完善。

改进之后的设计，老师引导学生分析函数实际背景，结合学生小组讨论、代表发言、描述概括，不仅培养了学生的抽象归纳能力，而且理解了函数的本质。

在高中函数教学中，应让学生先弄清楚函数概念的本质，再通过后续对指数函数、对数函数等具体函数的进一步研究，让学生能够逐步形成对函数概念的系统理解，然后进一步应用函数解决实际问题，并将函数的思想方法应用于其他更广泛的领域。