动态数学对数学课程内容的影响

王鹏远

目前关于信息技术和人工智能环境下教育变革的讨论很热烈，但多属于宏观的讨论，多集中在技术对教学模式、学习主体、课堂革命、教学评价的影响等方面，而结合具体学科教学的讨论明显不足。本文仅就动态数学对数学课程内容的影响作些初步的探索，与专家和教师同行切磋。

如何看待数学课程内容的作用

《高中数学课程标准》的基本理念第9条是这样表述信息技术对数学课程影响的：“现代信息技术的广泛应用正在对数学课程内容，数学教学，数学学习产生深刻的影响。”这里把数学课程内容摆在了第一位，足见数学课程内容的重要性。

我们整个教学活动都是围绕现行教材进行的，教师的教学和学生的学习都离不开教科书。尽管教学方式灵活各异、学习方式多种多样，但不管采取怎样的教学和学习方式，最终都是要求学生更好地理解和掌握特定的教学内容。

数学课程内容涉及内容的选择、编排和呈现方式。精心挑选和科学编排的教学内容应该能激发起学生的学习兴趣和好奇心，而不是读来索然无味;精心挑选和科学编排的内容应该更能突出数学味道、启发学生的理性思考，而不是把数学概念和结论简单地告知学生。随着时代的进步，教材的编辑应该考虑到信息技术对其的影响。

课程改革后的教材已经考虑到信息技术的因素，但由于信息技术发展的速度远远超前于纸质教科书的编辑出版，信息技术在数学教学的潜力也还未被人们充分认识，因此当前数学课程内容中信息技术的应用还很不够，还有很大的提升空间。

什么叫动态数学

动态数学软件是专为数学教学开发的专业学科教学平台。Mathematica是有近三十年历史的专业性大型数学软件，其计算与绘图功能极为丰富强大，多年来已经在大学数学教学中被广泛使用。开发此软件的Wolfram公司借助Mathematica的强大数学功能，于2011年推出可计算电子文档格式CDF，使用户能轻松实现文档内容的交互式处理。CDF支持多种文档元素，如滑块、菜单和按钮，内容包括格式化文本、表格、图象、声音和动畫。此软件功能强大，价格昂贵，且依赖于编程，所以不太适合中学使用。

现在已在国内中学使用的动态数学软件主要有两种，即几何画板和超级画板。几何画板是20世纪80年代在美国国家科学基金支持下推出的世界上第一个动态几何软件。20世纪90年代几何画板中文版开始在大陆推广，受到不少数学和物理教师的喜爱。由于几何画板对代数方面的课程内容支持不足，且对用户的操作技巧要求略高，我国张景中院士主持的团队在1996年研发推出了具有我国自主知识产权的动态几何软件，经20多年的发展改进，形成了“超级画板”。

超级画板吸收借鉴了几何画板的主要优点，增加了符号计算、智能画笔、公式表示、几何推理以及编程环境等支持基础数学教学需求的功能，其特征从动态几何发展到了动态数学，更为易学好用。国外的GeoGebra、Cabri 3D等都属于动态数学软件，它们共同的基本特点是所构造的对象具有动态性，在鼠标拖动或参数驱动时，在保持预设关系的条件下运动变化，因而有很强的交互性。这类软件适用于教与学的多个环节，且特别支持探究性学习，因而受到教育领域的广泛好评。

举一个正弦波叠加的例子以加深对动态数学的认识。如图1中的几个图是正弦波叠加成为方波的过程，正弦波的叠加自然是基于三角级数的计算实现的。用鼠标依此不断地选择按钮“n增加到1”，屏幕将展现出从n=1逐次增加时正弦波叠加的过程，充分体现了人机交互功能。这个效果是纸质教材不可能实现的。

类似的用于中小学数学教学的例子还有很多，如圆面积公式的说明、圆锥截线的展示、函数性质的研究等。虽然动态数学软件已经在我国不少学校推广了许多年，但尚未普及，大多数数学教师甚至还没有见到过动态数学软件，而且对于已经应用过这类软件的老师也缺乏对动态数学深刻影响数学课程内容的整体认识。

动态数学对数学课程内容的影响

1.对激发学生兴趣与好奇心的作用

人工智能时代，数学教学不应局限于教会学生具体的知识和技能，在数学教学中如何培养学生的创新意识应该受到关注。数学教学培养学生创新意识应该从激发学生的兴趣、好奇心，培养学生的问题意识和想象力入手，动态数学能在这方面发挥一些作用。

我们以“ 函数概念的引入”一课为例来说。函数是刻画客观世界运动和变化的数学模型，与实际生活联系广泛。函数又是从常量数学到变量数学转折的门槛，是教学的难点。我们认为可以从函数的引入入手，借助信息技术创设最佳的教学情境，化解这个教学难点。抽象的数学概念总需要从若干具体的事例出发抽出事物共同的本质属性。选择怎样的具体事例，提出怎样的问题启发学生思考是数学概念教学需要关注的，函数概念的教学尤其是这样。

传统教材是通过实例引入变量与函数，如汽车行驶的时间与路程的关系，电影院售出电影票的票价、张数与票房收入的关系等。课本的本意是从这些问题入手，引导学生填表和列式，让学生通过上述活动思考：能否用含有x的式子表示y，继而对其数量关系进行抽象和概括，从中认识常量和变量的特征，并抽象出两个变量互相联系，当其中一个变量取定一个值时，对应另一个变量唯一确定的数值，由此引出函数概念。

由于技术手段的限制，以上问题都是通过静态呈现的，不易凸显函数是刻画运动和变化的数学模型。所列举的实例显得平淡，难以引发学生的认知冲突，让学生思考的问题单一，给学生造成的第一印象是：“函数就是一个变量能够用含有另外一个变量的式子表达”，这其实并没有突出函数概念的本质。我们知道，对应法则才是函数概念的要素，对应法则多种多样，解析式仅是表达函数对应法则中的一种，函数的对应关系不仅仅能用解析式表达，且有些函数的对应法则根本无法用解析式表达，所以函数的表示不等同于函数概念的本质。

如果我们从一个问题引入函数：纸盒的容积何时最大？把一个5厘米见方的正方形纸片剪去四角后折成一个纸盒，使纸盒的容积最大，剪去的小正方形的边长该是多少？如图2，在动态数学的课件中用鼠标拖动点X，四角小正方形的边长发生变化，右边的纸盒同时发生变化。这个动态的数学课件生动地把变化与对应呈现在学生眼前。课件中有多个按钮，可以根据教学需要打开相应的按钮，例如可以动态地呈现出四角正方形的边长与对应的纸盒容积等数据。数学有用、数学有趣，尽在不言中。抽象的函数以这样的方式与学生见面，对照课本的例子，这个动态课件即生动又深刻。类似的例子还有很多。

我们设想，如果把动态数学课件与纸质的教科书的相关内容配套，形成一系列立体化的教学资源，应该是一种创新，且必将大大改善数学教学的面貌。如果能借助于网络呈现与教学同步的立体化教学资源，应该有助于优质教育资源的共享，解决教育资源配置不平衡的问题。

2.借助动态数学增进学生的数学理解

动态数学的价值不仅在于激发学生兴趣，更重要的是增进学生的数学理解。还是通过一些实例说明动态数学的价值。

传统教学中研究函数性质时，一般通过“列表、描点、连线”法，先画出图象，然后从观察图象的走势得出函数性质。在没有计算机的情况下，由于计算繁复，只好选择求值列表，画出少许的点，再凭感觉连线画图象。其实，有了动态数学的帮助，让数据说话是研究函数性质更直接、更重要的方法，要知道快速计算是计算机的拿手好戏。如研究函数  的单调性。我们从-3到3取了10个值，然后列表、描点、连线，得到函数图象的是位于一三象限递增的直线。根据已经画出的图象不难得到函数在整个定义域是递增的。

这个结论对吗？让我们通过计算验证以上结论。通过拖动变量尺的滑钮可以观察函数变化过程中的一系列数据，在[-10，10]这个区间，函数确实是递增的，但变量的范围扩大后，上述结论就不对了。在x=10时，函数值为20，但x大于10，函数就递减了。为什么会出现前面的误判呢，原因是我们犯了以偏概全的错误，前面画出的图象仅仅是整个图象的一小部分，如图3。

于是问题来了，对于二次函数我们也是取了-3到3中的几组数据，而后列表、描点、连线画出的图象，是否也会出现“以偏盖全”的误判呢？当x从0增加到20、50、100，…，情况怎么样？画图验证太费时费力，但借助动态数学观察大数据却轻而易举。当然，依靠大数据可以支持的猜想，最后还需要补充逻辑证明。研究函数性质时应该特别关注对函数解析式特点的研究。当学生的知识还达不到逻辑论证的水平时，让数据说话是对函数性质最好的说明。这涉及对现行教材的改造，这部分教学内容的整体编排和呈现应更加体现数学特有的理性思考。研究函数性质不单纯依靠传统“列表、描点、连线”画图的方法，有时可以借助分析函数解析式的特点，或借助动态数学提供的动态计算得出的大数据获得函数性质的有关信息。

借助动态数学增进学生的数学理解是很有意义的研究课题。

3.动态数学促进学生的自主探究

《高中数学课程标准》中还提到“学生对于数学概念、结论、技能的学习不应只限于接受、记忆、模仿和练习，提倡自主探究、动手实践、合作交流，阅读自学等学习数学的方式。”动态数学为这种学习方式提供了理想的平台。

如“有关费马点的探寻”课例。费马点是指三角形中这样一个点，它到三角形三个顶点的距离的和最短。这在历史上曾经是一个难题，经过多年的探索才得到答案。现在借助动态数学软件，通过实验的方法可以很快发现这个点的位置。我们选择每个内角都小于120°的三角形在计算机上进行实验。

实验步骤为：在计算机上画出三角形ABC，任取一点P，连接PA、PB、PC;测量PA、PB、PC的长，并计算三者之和;拖动点P，观察屏幕上数据的变化，猜测费马点的位置;用动态数学软件的作图功能作出费马点;测量费马点到三角形三顶点距离之和，拖动点P验证费马点到三顶点距离之和最小;与计算机的图形对应给出完整的证明;通过鼠标拖动改变三角形形状，考虑一个内角等于或大于120°的情况;写出实验报告。

还可以将活动进行延伸：查阅费马点提出的历史、查阅费马其人其事、提出与费马点相关的更多值得探究的问题。可以结合这次探究活动组织课外阅读，专题报告或讨论会，撰写数学小论文。

动态数學为数学实验、数学探究提供了理想的实验平台，我们可以借此组织丰富多彩的数学探究活动。

作者单位：北京大学附属中学