“数形结合”思想在小学数学教学中的应用

摘要：“数”与“形”是数学研究中的两大对象，二者相互依存，数形结合的思想方法即是指将数的精确与图形的直观两个特点巧妙结合，有效地提高解决问题的效率。本文以数形结合思想中的两个分支为例，对其应用策略做简要分析。

关键词：小学数学;数形结合;应用策略

现阶段，数形结合已经成为小学数学教学中常见的一种思想方法，通过寻找数与形之间的联系，进行合理转化，帮助学生实现具象思维到抽象逻辑思维的过渡，以具有直观感的图形，帮助学生理解抽象化的数字以及数量关系，以代数形式解决复杂的几何问题，实现数学知识的全面理解和有效利用。

一、 以形助数

（一） 借助线段，理解数学问题

数形结合思想的最大特点就是将抽象问题具象化、简单化，通过借助图形的方式将抽象的数学知识变得更加直观、易懂，学生还能够从中获得趣味性的学习体验，在自主探究中把握数学概念本质。以线段图为例，线段图作为能够将抽象的数量关系变得直观化的工具，它全面地体现了数形结合的数学思想方法，教师要引导学生认识线段图并学会画线段图，进而将复杂的问题变得更加直观和清晰。例如，在植树问题中，“学生在全场100m的马路上植树，每隔5m种一棵树，两端都要栽种的话，一共要栽种多少棵树？”题中的重点显然是“两端都要栽种”，因此栽种的棵数比间隔数要多1，即：棵树=间隔数+1;间隔数=棵树-1;全场÷间距=间隔数;全长÷间隔数=间距;间隔数×间距=全长;（棵树-1）×间距=全长。应用题的解题过程必须要建立在具备一定的数学逻辑和知识基础上，并且随着年级的不断升高，应用题的难度也越来越大，只有将题目中的繁多的文字以及条件、隐藏条件和数量关系等因素用线段图的方式来表示，问题的解决思路就会变得更加清晰。教师要着重引导学生学会借助线段图的方式来解决问题，建立起实际问题的数学模型，以“植树问题”为例，学生通过观察两端都栽上树的线段图，将线段中的分割点和所栽树的数量一一对应，学生才能够进一步发现，由于是两端都栽，所以栽的棵数比间隔数多1。学生从审视问题到分析问题再到解决问题的过程中，感受数图结合在解决问题中的高效率。

（二） 利用面积模型，掌握算理

小学阶段的数学教学中，计算类的知识占的比重并不小，它是根据小学生的成长和发展规律以及学习特点所设置的。计算类知识的关键在于学生是否能够理解算理，只有充分理解算理，才能更好地掌握计算技巧，并且在面对问题时，有着清晰的计算思路。在教学中，教师可以利用数形结合的思想，将计算问题中的数字信息借助图形通俗易懂地清晰展示出来，使学生在理解算理的同时，也能够掌握解决问题的正确思路和方法。例如，在“真分数和假分数”的相关教学中，这一部分的学习是学生在了解分数的性质以及分数除法的基础上所进行的分数深入学习，在于帮助学生对分数形成较为全面、准确的理解。由于概念教学的抽象性，学生在吸收和掌握上存在一定障碍，教师可以在教学中让学生重点关注直观图形和直线上表示的点之间的对应关系，从而直观地发现真分数小于1，假分数大于1的特征;教师还可以让学生进行分数的意义和性质叙述，紧接着，对单位为1的圆，进行涂画，将几个圆分为几部分，随机标出阴影和空白，让学生写出阴影部分所表示的分数，这就是“将一个圆看作单位1”的分数练习。学生通过观察、思考，得出分子与分母的大小关系，从而真正理解分数的概念，并能够对随机给出的分数进行判断。

二、 以数解形

（一） 活用公式，把握图形结构

小学阶段的数学几何学习，如长方形、正方形、三角形、平行四边形等都是相对基础性的，学生对于图形的理解也主要是建立在实物和图像上，是具象思维的体现。而在“组合图形的面积”中的教学内容是对学生之前所学几何知识的总结、归纳，引导学生对基本图形建立联系，形成系统化的知识体系。例如，在学生学习平行四边形、三角形和梯形的面积公式后，还需要对三者进行联系，掌握三者之间存在的连接点。教师可以引导学生用割补法将梯形学具进行拼接，感知由梯形到平行四边形的转化过程，并思考当梯形的上底和下底怎样变化，才能够产生平行四边形;怎样移动，才能够产生三角形，在不断地拼接中，使学生脑中的知识变得可操作，从而有效理解三种图形间的转换关系。

（二） 勤于计算，探索形的大小

“形”具有直观、具象化的优势，但也存在着不利于表达的劣势。而在数学教学中，教师要引导学生将精确的数字与直观图形进行结合，才能在“数形结合”的过程中，准确地把握“形”的内涵。例如，在“多边形面积”的教学中，有一道课后练习题：有位于同一平行线中的长方形、平行四边形、梯形和三角形，设法求出它们的面积。教师首先要让学生先回忆四种图形的面积公式，再用实际测量的方法，测量长方形的长和宽，以及平行四边形、梯形和三角形的底，由于三者存在于同一平行线内，高只需测量一次即可，根据测量的数据得出长方形的面积为1.8×3=5.4;平行四边形的面积为1.8×3=5.4;梯形面积为（1.2+2.4）×3÷2=5.4;三角形面积为3.6×3÷2=5.4。学生会发现，在高相等的情况下，四个图形的面积也都相等，三角形的底是平行四边形底的2倍，也就能够准确地解释在同一平行线内，二者面积相等的原因。

三、 数形互助

所谓“数形互助”，即是在解决数学问题时共同运用“以形助数”和“以数解形”的数学思想，其关键在于要从已知结论同时出发，找出问题中存在的“形”“数”关系，从而高效率地解决问题。

（一） 挖掘“数”与“形”之间的内在联系

“数形互助”的典型例题，就是“鸡兔同笼”的问题，并且该问题的解决思路在学生的脑中往往总是不清晰的状态。教师只有帮助学生掌握正确的思路和解题技巧，才能真正地理解该问题的内涵。例如，小明家利用家中的空地养了一些兔子和鸡，它们一共有35个头，94只脚，问鸡和兔分别有多少只？教师可以引导学生将鸡和兔抽象出来，通过简单的画图来进行问题分析，在一张纸上用○代表鸡和兔的头，画出35个○，接下来采用启发诱导的方式，让学生换一个角度进行思考，假设笼子里全部都是鸡，就会有35×2=70只脚，但如果按照问题中所给的条件进行假设就会多出24只脚，而根据这24脚也就能够推断出兔子的数量，接下来只需要将这24只脚按两只脚的形式添加在刚刚假设的鸡身上，就可以变为4条腿的兔子，也就是24÷（4-2）=12只，所以鸡一共有35-12=23只。从该题可以看出，每一个解题步骤的进行都是将题中条件转换到图中去的过程，将“数形互助”思想贯穿始终，使学生在具象思维上所建立起的抽象逻辑思维也得到了发展。

（二） 善于作图，以形助数

教师在数学教学中要经常性地引导学生打破思维定势，尝试多种方法结合来解决具体问题。在“数形互助”思想方法中，最能够体现该思想的应是学生在学习过条形统计图之后的折线统计图，从数据的大小以及图中的折线高低来感受数据的变化，其特点也正是数据与增减变化能在同一張图上同时展现出来，教师要引导学生体会该图的特点，从而感知由数到形再到数的分析过程，认识到数形结合思想在解决问题中的妙用，在分析和思考中培养学生的数据分析意识。

数学是培养学生逻辑思维能力的学科，数形结合思想基于“生活化数学”的教学理念提出，为学生学习数学知识，掌握数学学习方法提供了捷径，在获得数学学习体验的同时，提高逻辑思维能力。

参考文献：

[1]袁婷.小学数学教学中数形结合思想的渗透研究[J].学周刊，2015（06）：60-61.

[2]孙红梅.数形结合思想在小学数学教学中的实践运用[J].黑龙江教育（理论与实践），2014（Z1）：88-89.

[3]黄生明.数形结合思想在小学数与代数教学中的运用[J].情感读本，2017（20）：73.

作者简介：

张承志，浙江省宁波市，浙江省宁波市北仑区淮河小学。