基于敏感性的冗余度在框架结构优化设计中的应用

沈利来 ， 缪卫清 ，常 军

（1.苏州科技大学 土木工程学院，江苏 苏州 215011；2.苏交科集团股份有限公司 江苏 南京 210019）

纵观国内外土木结构，六面体形状因其刚性的合理性最大已被广泛应用于土木工程领域。作为六面体代表的框架结构具有“部件数量多，冗余度高”的特点[1]。即使部分构件由于外界灾害而降低承载力，但由于应力重新分配到其他构件而对整个结构的承载能力影响不大[2]。为了定量地显示这样的属性，冗余度应运而生。采用冗余度评估结构的安全性和稳定性，并根据评估结果优化结构设计，使设计结构更加经济安全合理是该领域的一个研究热点。

丁锐等[3]从单元的势能方程出发得出了刚性结构构件冗余度的计算方法，分析了冗余度与结构外荷载、几何构造、截面参数以及约束情况之间的关系；郭冬梅等[4]研究了不同冗余度RC框架结构的抗震性能，降低结构冗余度，即减小结构某一方向跨数，或增加结构某一方向跨度，结构最大层间位移角增加，延性系数和屈服强度系数减小，结构弹塑性变形能力和承载力储备能力降低，抗震性能变差。朱南海等[5]则选择利用弹性模量的敏感性为参数基于材料的应变响应计算了单层球面网壳结构的冗余度，通过试验模拟对比得出结论，冗余度可以衡量构件在结构中的重要性，冗余度较小的构件为关键构件，其损伤对结构整体影响较大。袁行飞等[6]人通过梁系结构的变形势能方程探讨了构件参数和约束条件对单元冗余度的影响，杆件的单元冗余度随刚度的增大而减小，约束条件刚接变铰接时结构整体冗余度变小。

上述研究在某一方面都取得了一定的成就，但对结构冗余度都没有统一的定义，且大都以承载力为指标，较局限。微观层面构件单元的冗余度和宏观层面的结构的冗余度往往不加区分统一计算。论文采用考虑材料屈曲时的冗余度指标GNR[5]，设置了刚性框架结构的模型，使用敏感性指标来分析模型，并且研究GNR分布以获得框架结构的冗余特性。另外，考虑到通过分析获得的GNR分布来执行构件的优化布置。本文的目标是通过仔细研究结构特征来创建充分利用结构冗余特性的较优设计的结构。

1 冗余评估方法

1.1 概要

结构的冗余度与结构元件的非敏感性成正比，也可以说与其结构单元的敏感性成反比。定义见式（1）。

其中，Vi为i元素的体积。

根据式（1），Barai等定义了一种广义的构件单元j冗余度指标[7]：

其中，n为元素的数量，V为结构的总体积，Sij为j元素损坏时i元素的敏感性。

通过标准化（归一化）上式可得到如下定义：

1.2 敏感性分析

考虑材料屈曲，,通过引入许用应力的概念并且取应力与许用应力之比[8]对截面积A的敏感性，式（2）中的响应敏感性[9-10]定义如下：

针对框架模型，构件单元有压缩拉伸两种情况，并且考虑弯曲情况，定义如下：

其中，σc为压缩应力；cσb为压缩侧弯曲应力；fc为容许压缩应力；fb为容许弯曲应力；σt为拉伸应力；tσb为拉伸侧弯曲应力；ft为容许拉伸应力。

1.3 余量平均值

余量可视作在一个线性范围内，其定义为从1减去已经使用的和损伤耗损的结构性能占比之和[11]。而结构性能采用应力参数指标，具体定义如下：

其中，fi为i元素许用应力；σ为构件中产生的应力；A为横截面面积；ΔA为损伤的横截面面积。

在这种情况下，为了获得部分构件损坏时对整体的影响，计算RRi时使用运算平均值RRave。

2 框架模型的冗余特性

2.1 分析模型

如图1－图3所示为3层的3乘3框架模型，固定支撑，刚性连接。加载条件是3.8 kN的垂直载荷和1.14 kN的水平载荷的节点载荷，具体作用位置见图3中粗线层次中的每一个节点上，即每一层的梁和柱相交的节点处，共计48个节点处作用荷载。截面为0.125 m×0.125 m的矩形钢截面，每段梁柱均为2 m，柱的弹性模量2.1×1011Pa，梁的弹性模量2.1×1015Pa。泊松比0.3，屈服应力3.45×108Pa。每一层的梁标号详见图2，每一层的柱标号与梁标号类似，见图3。具体型号规格见表1。

2.2 分析结果

2.2.1 GNR分布

首先通过有限元软件建立模型，加载分析得出每个构件的应力，包括弯曲应力和拉伸应力或压缩应力，再将结果通过Matlab程序编程导入计算出最终的GNR值。采用Matlab编程可以使计算方便快捷，最后得到框架模型的所有柱和梁的GNR分布，详见图4和图5。

图1 框架模型

图2 框架俯视图（cm）

图3 框架正视图（cm）

表1 型号规格

图4 柱GNR分布

图5 梁GNR分布

该框架模型一共48根柱，72根梁，为了使GNR分布显示更方便清晰，其中柱编号1—16为第一层的柱，17－32 为第二层柱，33－48 为第三层柱。与此类似，梁编号 1－24，25－48，49－72 分别为第一、二、三层的梁。由图4可以看出，柱的GNR分布数值较小，在数量级10-13左右，这与施加荷载大小、形式有关，且每层柱之间的GNR值也有差距，同一层柱之间也有高有低，例如第二、三层。表明现有柱的冗余特性分布不均。梁的GNR详见图5，由于不同梁的GNR分布数量级相差较大，这是GNR定义导致的，不可避免的，为了完整的比较所有梁的GNR值，纵坐标刻度采取了不等分和断开措施。可以看出梁的GNR分布的数值也有高有低，但是有其规律，因为在受水平荷载时，由于框架模型中存在两个方向的梁，所以即使承受大的水平荷载的梁受到损伤，应力在另一个方向的梁上流动，所以梁会出现这种GNR分布，根据柱和梁的GNR分布图，可以认为现有结构梁和柱的冗余特性分布都不均。

2.2.2 余量均值研究

考虑部件冗余特性的余量平均值，把重点放在冗余度低（GNRmin）的部件和许用应力比大（应力值大）的部件上，当然作为对比，冗余度高（GNRmax）的部件也将一起进行计算研究。图6便是3乘3框架结构冗余特性的余量均值图，横坐标为部件损伤率，是部件损伤面积比上完好状态下时的面积。

根据上面的梁和柱的GNR分布图，选取GNRmin和GNRmax相对应的部件为第一层的梁B21和B51。许用应力比最大的部件为第一层的柱C41。

在该框架模型中，当选定部件的损伤率达到0.5左右时，GNRmin和许用应力比最大的两个部件的冗余特性余量均值略有所下降，当损伤率达到1时，即完全损伤时，下降幅度也较小。而GNRmax的部件的冗余余量均值则不变化。由图6可以得出结论，该框架结构由于具有较多的梁和柱部件，所以即使个别部件损坏，对整体的影响也较小。

图6 余量均值图

3 优化框架冗余度

3.1 概要

根据图4和图5所示的柱和梁的冗余GNR分布，将一部分具有较低冗余度的构件改为具有大横截面积的构件，考虑材料的非线性。为了进行优化后的前后对比，在这设定一个总质量不变的标准。随即增大低冗余度部件横截面积的同时，也要减小高冗余度部件的横截面积。作为使用的材料，使用以下规格所示的方钢管。部件布置图详见图7和图8。其中点画线部件为增大后的部件，虚线为减小后的部件，实线是没有变更的部件。 （变更前：125 mm×125 mm；变更后（增大）：150 mm×150 mm；变更后（减小）：100 mm×100 mm）

图7 方案一部件布置图

图8 方案二部件布置图

为了比较优化前后结构的冗余度，应注意初始屈服后屈服应力的延伸。因此，使用冗余延伸率Rcy来表示[12]。

其中，Pcol为结构体系的极限荷载；Pyiel为初始屈服荷载。

表达式（8）中的冗余延伸率表示从初始破坏到塌陷破坏的负载延伸相对于塌陷破坏负载的比率。其值范围在0到1之间。该值越大表明该结构被评估为冗余度高的结构[13-14]。

3.2 分析结果

3.2.1 GNR分布

通过运用冗余评估方法，优化方案一的柱和梁的GNR分布见图9和图10。方案二的柱和梁的GNR分布见图11和图12。

根据以上两个优化方案的柱和梁的GNR分布，对比变更之前的GNR分布可以看出，方案一的柱的GNR值整体较变更之前有提高，但分层现象较明显，每层柱的GNR值差距不大。方案二的柱的GNR分布较均匀，无论是层与层之间还是同一层柱与柱之间。优化后的两个方案的梁的GNR值较变更前都有明显的提高，且横梁纵梁之间的GNR差距有减小，表明优化后出现了更多的高冗余梁部件。

图9 柱的GNR分布

图10 梁的GNR分布

图11 柱的GNR分布

图12 梁的GNR分布

3.2.2 弹塑性分析

图13显示了荷载位移曲线，此时针对的是水平荷载逐渐增大的情况。冗余延长率的评估见下表2。

表2 框架模型冗余延长率评估

图13 荷载位移曲线

由表2可知，优化后的方案一和方案二的模型结构的冗余延长率都得到了增加。三个模型的初始屈服点相近，崩塌荷载即极限荷载在优化后都有了明显的提升。方案一优化后的冗余延伸率较方案二较高，而方案二优化后构件单元的冗余分布较方案一更加均匀，合理。纵观微观层面的柱梁冗余度和宏观层面的冗余延长率，结构优化后都取得了较好的理论验证。

4 结论

使用敏感性的冗余评估，根据冗余指标GNR分布和冗余延伸率等，可以通过改变结构尺寸对框架结构进行优化设计，得出以下结论：

（1）在框架模型中，施加在一个节点上的荷载由节点周围的构件共同传递，所以许用应力比比较大的构件往往被认为是低冗余构件，如果周围连接GNR值较小的部件，极易引起连续性倒塌；

（2）从余量均值的趋势来看，由于框架结构具有较多不同方向的梁部件的存在，所以当某一个部件受到损伤时，对整体的影响较小；

（3）通过对结构的优化设计，可以改变部件的冗余特性，做到安全可靠的同时分配材料的性能使之更合理化；

（4）在弹塑性分析中，冗余延长率指标可以宏观的看出结构的冗余特性，为优化结构设计提供对比验证。