含间隙振动系统低频周期冲击振动的模式类型及分岔特征

侍玉青， 杜三山， 吕小红， 罗冠炜

(1.兰州交通大学 机电工程学院，兰州 730070；2.甘肃省轨道交通装备系统动力学与可靠性重点实验室，兰州 730070)

含间隙、约束机械系统的动力学研究对提升机械装备性能、实现复杂装备振动与噪声的有效控制以及振动的有效利用具有重要的意义。含间隙、约束机械系统的动力学研究一般基于冲击Poincaré映射的定性分析和数值仿真，但由于冲击映射存在擦碰奇异性，一些常规的光滑动力系统的定性分析方法难以直接应用于该类系统的全局分岔研究[1]。因此振动冲击动力学迄今为止仍是国内外学者关注的研究热点，特别是在含间隙、冲击振动系统的稳定性、分岔、控制及应用研究[2-12]。基于含刚性限幅约束的单自由度简谐激励系统，Nordmark[13]定性分析了其周期轨道与约束低速碰撞和擦碰接触诱发的一类非光滑系统特有的Grazing分岔，通过特征值分析给出了Grazing分岔的判断准则。Nordmark在此领域的开拓性研究工作为后续Grazing分岔及其伴随的复杂动力学特性的深化研究奠定了理论基础。其后，国内外学者借助一系列二维冲击映射和不连续几何定性分析方法拓展了非光滑动力学系统的Grazing分岔及奇异性研究，文献[14-24]报道了多类型冲击振动系统在Grazing分岔点邻域内呈现的丰富动力学行为特征。颤冲击振动是含间隙、冲击振动系统低频域内的典型非光滑动力学特征。Budd等[25]研究了单自由度冲击振子的颤振动现象，分析了颤与混沌的关联性。Toulemonde等[26]基于预测校正法解析分析了简谐激励冲击振子的完整颤碰-黏滞响应及特性。Wagg[27]通过数值分析观察了两自由度碰撞振动系统的低频完整颤碰行为及其隆起现象。Nordmark等[28]构建了振动冲击系统非完整、完整颤振的局部不连续映射，定性分析了系统完整颤碰-黏滞振动的稳定性。基于单自由度冲击振子低速碰撞和擦碰奇异性诱发的复杂现象，Chillingworth研究了对应非退化、退化颤冲击振动的非退化、微退化Grazing分岔，基于单参数分岔分析描述了强退化擦碰奇异点邻域内的动力学特性及其诱发的颤轨道稳定流形中的回旋状结构。Hös等[29]研究了机械压力溢流阀的Grazing分岔及阀和阀座间的颤冲击振动特性。随着非线性动力学系统理论研究的不断推进，其实验研究也取得了一定的进展。朱文骅等[30]建立了受两侧约束单根悬臂梁的碰撞振动实验系统，从实验角度证实了系统存在混沌运动。基于两自由度碰撞振动系统的理论及数值研究，金栋平等[31]设计了两柔性梁碰撞的实验系统，从实验中观测到系统的周期、亚谐和混沌等多种冲击振动类型，发现其碰撞振动特性的确具有理论分析和数值计算所揭示的丰富运动形式。文献[32]列举了若干类大型机械设备因异常振动而发生过的灾难性事故，强调“这些事故多表现为非线性低频振动失稳，但该失稳机理至今研究的还不够清楚”。复杂机械系统的低频振动特性及发生机理目前仍是工程界关注的问题，并希望能够在设计阶段得以认识和解决。本文基于多参数仿真分析着重研究一类带有间隙振动系统的低频振动特性，分析系统低频范围内基本周期冲击振动和亚谐冲击振动的模式类型和分岔特征，揭示基本周期冲击振动向非完整和完整颤冲击振动的转迁过程。

1 含间隙振动系统的力学模型

fsin(ωt+τ),x1-x2<δ

(1)

(2)

(3)

f1(x1,x2)=-f2(x1,x2)=

(4)

式(1)和式(2)对应图1(a)模型，式(3)和式(4)对应图1(b)模型，其中无量纲时间t、变量xi和参数为

(5)

图1力学模型为非光滑动力学系统，在其参数空间中存在复杂丰富的周期或亚谐冲击振动，一般情况下借助符号p/n归纳周期、亚谐冲击振动特征，n表示系统运动周期与激振力周期的比值，p表示两质块于系统运动周期内的相互冲击次数，p=0，1，2，3，…… ，n=1，2，3，……。对于n=1情况，即p/1振动群，称其为基本周期冲击振动，其中p=0对应系统的无冲击周期受迫振动。将0/1振动归为p/1振动群，是因为0/1与1/1振动间的相互转迁特性与p/1和(p+1)/1振动间的转迁特性完全相同(p>0)。基于周期、亚谐冲击振动的符号特征p/n，针对图1带有间隙的振动系统选择Poincaré截面

(6)

对于周期、亚谐冲击振动而言，Poincaré截面σp上的不动点数p代表了图1系统运动周期内质块相互冲击次数，Poincaré截面σn上的不动点数n等于系统运动周期与激振力周期的比值。借助于Poincaré截面σp和σn及运动特征符号p/n，可从系统层面和多参数角度开展图1力学模型的多目标、多参数协同仿真分析。

X(i+1)=f(X(i),μ)

(7)

图1 含间隙冲击振动系统的力学模型Fig.1 Mechanical model of a impact vibration system with a clearance

2 含间隙-刚性约束振动系统低频周期冲击振动的模式类型及分岔特征

图2 图1(a)含间隙振动系统(ω, δ) -参数平面内周期冲击振动的模式类型及其存在域Fig.2 Pattern types and existence regions of impact motions with period in the (ω,δ)-parameter plane associated with the impact vibration system of fig. 1(a)

图3 相邻基本周期冲击振动p/1和(p+1)/1相互转迁特征描述Fig.3 Description of mutual transition characteristics about adjacent impact motions with fundamental period p/1 and (p+1)/1

图4 相邻基本周期冲击振动4/1和5/1的分岔图及相关舌形域内亚谐振动分岔图, ω=0.425Fig.4 Diagram of adjacent impact motions with fundamental period 4/1 and 5/1, and diagram of subharmonic (4n+1)/n motions in the tongue-shaped zones nearby the boundary L:R41∩R5/1, ω=0.425

图5 图4局部示意图：ω=0.425Fig.5 Local bifurcation diagram of fig.4,ω=0.425

3 阻尼分布对含间隙振动系统低频周期冲击振动特征的影响

图6 不同阻尼分布条件下(ω,δ)-参数平面内周期冲击振动的模式类型及其存在域Fig.6 Pattern types and existence regions of impact motions with period in the (ω,δ)-parameter plane with different damping distribution

图7 图6 (a)低频周期冲击振动模式类型及分岔特征, c=0.05Fig.7 Pattern types and bifurcation characteristics of impact motions with period under low frequency of fig. 6 (a), c=0.05

4 含间隙-弹性约束振动系统低频周期冲击振动的模式类型及分岔特征

图1(b)含间隙-弹性约束振动系统的非光滑动力学特征取决于约束刚度k0和间隙值δ，等间隔离散约束刚度k0的取值范围(0, 1)，其余参数仍取初始基准参数，计算系统在不同约束刚度条件下(ω,δ)-参数平面内的周期冲击振动的模式类型及其发生区域。图8(a)和图8(b)分别为对应约束刚度k0=0.75和k0=0.95的(ω,δ)-参数平面上周期冲击振动的模式类型及其发生区域，图8(c)是图8(b)低频域内周期、亚谐冲击振动的细节描述。对小或偏小的k0，图1(b)系统主要呈现0/1和1/1振动。随着k0的递增，基本周期冲击振动的数量也随之增大，即p/1振动群的量p与约束刚度的k0大小密切相关，见图8(a)和图8(b)。对于大的约束刚度k0，其周期、亚谐冲击振动模式类型、分布规律和分岔特征与图1(a)含间隙-刚性约束振动系统有一定的类似性，且在低频域内存在颤冲击振动。如k0=0.95，系统低频域内呈现p/1基本周期冲击振动群，相邻基本周期冲击振动的相互转迁是不可逆的，转迁域仍为迟滞域和舌形域，舌形转迁域内存在亚谐(np+1)/n振动。对照图2和图3(b)及图8(b)和图8(c)，可以发现图1(a)和图1(b)系统低频冲击振动的一些共性特征。

图8 不同约束刚度条件下(ω,δ)-参数平面内周期冲击振动的模式类型及其存在域Fig.8 Pattern types and existence regions of impact motions with period in the (ω,δ)-parameter plane with different stiffness

5 结 论

含间隙周期激励振动系统低频范围内主要呈现基本周期冲击振动p/1、非完整颤冲击振动、完整颤冲击振动(刚性约束情况)和亚谐振动。随激振频率或间隙递减，p/1振动或通过Real grazing分岔转迁为(p+1)/1振动，或通过Bare grazing分岔穿越舌形域嵌入(p+1)/1振动发生区域。随激振频率或间隙递增，(p+1)/1振动或通过鞍结分岔转迁为p/1振动，或通过倍化分岔穿越舌形域嵌入p/1振动发生区域。除若干奇异点外，相邻基本周期冲击振动p/1和(p+1)/1振动相互转迁过程是不可逆的。p/1振动的Real grazing分岔和Bare grazing分岔与(p+1)/1振动的鞍结分岔边界和倍化分岔边界交替横截于一系列奇异点，由此产生两类交替分布的转迁区域-迟滞域和舌形域。p/1和(p+1)/1振动可共存于迟滞域，其存在与否取决于系统运动的初始条件。舌形域在(ω,δ)参数平面内随ω递减和δ递增呈现分型特征，其内存在(np+1)/n亚谐冲击振动，该类亚谐冲击振动随ω和δ变化发生倍化或Bare grazing分岔。当阻尼分布μc偏小时舌形域内存在4/4，5/5，6/6，…，10/10，…序列和5/3 及8/5等更多形式的亚谐冲击运动。基本周期冲击振动p/1在(ω,δ)参数平面内呈带状域分布，p越大，其带状存在域越窄，且基本周期内其冲击速度逐次减弱。当p足够大时，系统呈现非完整颤冲击振动。对于间隙-刚性约束周期激励振动系统而言，随激振频率进一步递减，非完整颤冲击振动发生Sliding分岔，转迁为完整颤冲击-黏滞振动。