基于核心素养的多阶数学思维的培养

【摘 要】 数学核心素养是学生学习数学应当达成的有特定意义的综合性能力.新一轮的课程改革对数学素养的要求不再局限于通常谈到的计算能力、空间想象能力等，而是看学生具有数学问题意识;能独立多阶思考、独立判断;思维缜密，能多角度、辩证地分析数学问题.学生多阶思维的培养成为学生核心素养发展重要内容，随着核心素养的逐步重视，越来越关注多阶数学思维培养.

【关键词】 核心素养;批判意识;质疑能力;多阶数学思维

2016年教育部课程修订组在《普通高中数学课程标准（实验）》修订稿中提出了六大核心素养，分别是：数学抽象，逻辑推理，数学建模，数学运算，直观想象，和数据分析[1].这六大核心素养的提出，符合当今深化教育教学改革的潮流，是教学改革大势所趋，对今后的学科教学具有深远的指导意义.数学核心素养是学生掌握了一定的数学知识、能力和思想方法之后的领悟，是学生对高中阶段数学知识的整体理解和把握.反过来，数学的核心素养对学生理解掌握数学知识以及运用数学的思考方式和手段来解决有关的问题起着指导性的作用.学生的数学核心素养中最重要的也是我们现在学生最缺乏的就是批判和质疑能力.反应在多阶数学思维能力上.多阶数学思维在一定程度上对发挥学生是教学的主体性起到了积极的作用，对提高学生的数学思维品质也带来积极的影响.

多阶数学思维教学就是指教师在教学过程中，注重学生思维的深刻性、广阔性、灵活性、独创性、敏捷性和批判性.使学生获得对数学知识的多角度理解，进而建立新知识与已有知识的本质联系;从而理解知识的来龙去脉，形成知识网络，从而抓住问题的本质，加深对问题的理解.下面对概念课，习题课，试卷评讲课进行剖析[2].

1 多阶数学思维在概念课中的培养

多阶数学思维在概念课中的培养主要指在教学过程中指向概念的非本质特征以突出概念的本质特征，从而揭示概念的本质属性和非本质属性之间的关系.

案例1 笔者在教授人教A版必修一第一章1.2函数概念时，笔者通过创设问题情景引入函数的概念.

问题：研究下面三个实例：

A. 一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度h（米）与时间t（秒）的变化规律是h=130t-5t2.

B. 近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况.

C. 国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低. “八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表.

讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着这样的对应关系？ 三个实例有什么共同点？

学生在讨论之后，归纳出三个实例变量之間的关系都可以描述为，对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都与唯一确定的y和它对应，记作：f：A→B.

第1阶——操作（Action）：理解函数需要进行活动或操作.教师创设情境，引入课题，学生根据教师提供的学习任务，利用课件等工具合作研究三个函数实例;

第2阶——过程（Process）：体验函数概念的形成过程.学生归纳出函数的三个特征，积极给函数下定义，教师补充符号 f（x）的含义;

第3阶——对象（Object）：加深理解函数概念的本质.学生填写已学函数的定义域、对应关系、值域，通过合作探究学案上的问题，研究不同对应关系中三要素的关联，完成对函数概念的整体认识;

第4阶——图式（Scheme）：建立综合的心理图式.这一阶段的函数概念，由此得出函数的定义：设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function），记作：y=f（x），x∈A.

通过含有具体的函数实例、抽象的过程、完整的定义，乃至和其它概念（方程、不等式）的区别和联系，多阶的函数定义与映射概念的比较，使学生发现函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，即映射.这样的比较不仅加深了学生对函数概念的理解，对提高学生的数学思维品质也带来积极的影响.

2 多阶数学思维在习题课中的培养

多阶数学思维在习题课中的培养是对习题进行多维度教学，通过习题的多维度变换，夯实学生对知识的内涵和外延的理解，促进学生形成知识网络，提高学生的数学思维品质.习题课中的多阶教学主要包括习题方法性多阶、强化性多阶和开放性多阶等.

案例2 在教授人教A版必修四第一章1.2任意角的三角函数时，在学生学习任意角的三角函数的定义后，为巩固学生对任意角的三角函数的定义的理解，笔者在习题课中引入例题2.

例2 已知角α的终边经过点P（2，-3），求角α的正弦、余弦和正切值.

在分析解题思路后，由学生进行规范的板演，笔者最后归纳出这类利用三角函数的终边上任意点的坐标来求函数值的一般步骤后，笔者给出几道变式题.

以上四个阶段都是针对同一个知识点，就是这类利用三角函数的终边上任意点的坐标来求函数值的问题.这种归类的变式训练揭示了问题的本质属性，有助于学生掌握解决该类问题的方法和技巧，实现知识、方法的迁移，同时对提高学生的数学思维品质也带来积极的影响.

3 多阶数学思维在试卷讲评课中的培养

多阶数学思维在试卷评讲课中的培养是针对高中数学学习中学生经常出错的、容易混淆的知识、不易纠正的问题，进行多阶设计，查缺补漏.试卷讲评还应根据学生解题过程中所出现的思维障碍和思维缺陷等“错点”，设计关联性的引发学生思维扩散或思维聚焦的问题链，将一些“形异质同”“形似质异” 的试题串联起来，促使学生在“联系”的状态下获得新的体验与智慧.

案例3 在人教A版必修一第一章《集合》的单元测试卷中，有这么一道题，很多学生都做错了，做错的原因是由于学生对于两个集合间的基本关系中“包含”的理解不到位，而带有参数时，就参数的取值范围更是高一新生在数学思维上一大障碍，从测试卷中反馈出的情况是学生对这种参数在数轴上的位置的确定不理解，为突破这个难点，笔者以此题为点，通过多阶教学思维使得学生清晰认识到此类含参数的集合问题的求解思路.

4 基于核心素养的多阶数学思维教学的意义

（1）有利于培养学生的逻辑推理能力

基于核心素养的多阶数学思维教学使得概念讲得更清，定理教得更明，加强逻辑思维培养，使学生自主学会画图、自主学会用数学形式表示、自主学会条理地叙述解题过程[3].

（2）有利于培养学生思维的灵活性

基于核心素养的多阶数学思维教学增强数学教学的变化性，为学生提供广泛的联想空间，使学生在面临问题时能够从多种角度进行考虑，并迅速地建立起自己的思路，真正做到“举一反三”.另外，还要鼓励学生从不同的角度去观察问题和分析问题，鼓励学生敢于发表不同的见解.

（3）有利于培养学生反思的习惯

基于核心素养的多阶数学思维教学引导学生剖析发现问题和解决问题的过程.反思学习中运用了哪些基本的方法、技能和技巧？ 它们的合理性如何？效果如何？有没有更好的方法？学习中走过哪些弯路？犯过哪些错误？ 原因何在？

参考文献

[1] 余晓红.从“课本”到“趣味数学”[J]. 教育教学论坛， 2012（37）.

[2] 何正文.基于核心素养的批判教学探究[J] .教学考试，2017：（35）.

[3] 陈琦.当代教育心理学[M] .北京：北京师范大学出版社，1997：（102）.