高中数学建模教学：目标定位与路径选择

李凯

【摘 要】 数学建模，作为高中新修订课程标准提出的数学核心素养之一，要求其理念贯穿整个高中数学教育的始终.基于《数学建模教学与评估指南》一书对高中数学建模教学的目标定位与路径选择进行重新审视并予以阐释.旨为有效开展高中数学建模教学及实施新修订版数学课程标准提供一些参考建议.

【关键词】 高中;数学建模教学;目标定位;路径选择

1 问题提出

2017年6月18日，由上海大学出版社出版的《数学建模教学与评估指南》[1]（以下简称《数学建模》）在上海市实验学校首发.首发仪式上，面向中学教师的数学建模教学工作坊同时举行.该书原著是美国数学及其应用联合会（COMAP）、美国工业与应用数学学会（SIAM）编写，中文版由梁贯成、赖明治、乔中华、陈艳萍联合编译.恰逢我国高中数学课程标准修订版即将颁布.本书旨在为学校加强数学核心素养及数学建模的教与学提供助力.美国数学及其应用联合会总裁索尔·加芬克尔在中文版序中提到：“本书的目的是为您铺垫门径——向您展示如何在每一个年级引入数学建模，让学生在学习更多数学知识的同时，在更宽的视野中看到数学一系列的重要应用.”首都师范大学王尚志教授在中文版序中指出：“在新修订的高中数学课程标准中，把数学建模作为数学核心素养，要求数学建模理念贯穿整个高中数学教育的始终.这些举措将对中国的数学建模教学、数学建模活动产生重大的影响，同时，也将促进数学的教、学和评价的变革”[2].

综上对该书的推介序言可见，数学建模教学急需一种适合一线教师开展教学的新思想、新引領.该书将每个年龄段的数学建模开展做了一个系统的说明，重申数学建模在学生成长各个阶段的连续性与广泛重要性，并在附录部分提供了诸多珍贵的可供一线教师作为教学参考的经典案例，旨在学生能通过这个过程，挖掘问题的本质难点并能感受科学的人文关照及数学建模的广泛性.

2018年颁布的数学课程标准中将数学建模列为六大数学核心素养成分之一[3].课程内容将数学建模活动与数学探究活动作为四条主线之一，可见数学建模成为此次数学课程改革特色与亮点之一，并为数学建模教学向走进课堂提供强有力的文件支撑与操作指引[4].与此同时，课程内容明确要求数学建模与数学探究活动以主题的形式展开教学并规定了相应的学时，具体是必修学时6课时，选修学时4课时.

由此可见，高中数学课程标准已从课程课时、内容、形式等方面作了详细清晰的具体说明.那么，高中数学建模教学的目标定位是什么？一线师生应当通过怎样的路径更为行之有效地实施数学建模？本研究基于新出版《数学建模教学与评估指南》一书的内涵与价值，审视高中阶段数学建模教学目标定位与路径选择，旨为有效开展高中数学建模教学及实施新修订版数学课程标准提供一些参考建议.

2 高中数学建模教学：目标定位

教学目标制约教学过程、方法和师生的课堂活动方式.教师在从事教学设计时，首先要使自己的教学目标定位适当，然后尽可能用可以观察和测量的行为术语清晰地陈述目标.该书中认为高中课程的教学内容，为学生提供了许多适用于数学建模的新工具，如代数、几何、微积分准备课程以及统计.同时，高中学生的生活经验和兴趣正在迅速扩展，这为他们对各种各样的现实世界问题的研究打开了大门.依据这一观点，本文将从以下五个方面对这一观点进一步阐释.

2.1 模型可以激励学生对新技术与新内容的学习

数学建模教学中所涉及的模型在数学上的解释是：当一个数学结构作为某个形式语言（即包括常数符号、函数符号、谓词符号的集合）的解释时，称为模型[1].数学建模经过演绎、求解以及推断，通过数学上的分析、预报、决策或控制，再经过演绎和解释，回到现实世界中，最后，这些推论或结果必须经受实际的检验，完成实践——理论——实践这一循环，对于高中生而言，创造就是学生在学习某些数学知识后，自己有一些新的发现，获得对事物认识的新结论.

数学建模为学生提供了自主学习的空间，有助于体验数学在解决实际生活问题中的价值和作用，增强了学生的应用意识，同时也感受了数学应用价值的学科魅力.因此，通过建模教学中模型的探究可以极大地激励学生对新内容及技术的学习，同时也为学生适应社会生活及发展奠定扎实的基础.

2.2 小型建模可以巩固新概念

通过努力思考能对现实存在的问题做出有意义的解决方案，这是有先行知识的价值之处，在过程中培养了学生的数学建模意识，遇到现实问题能有意识上升到数学问题，试图用数学语言表达解决问题的过程，对今后系统学习数学建模意义非凡.数学建模的开放性，数学解决过程的曲折性，解决方案的多样性，促使学生在数学建模的过程中尝试使用各种方式争取为团队贡献自己的一份力.再此期间，学生根据自己的实际情况集思广益，创新思维的训练也是显而易见，学生对于近期要开展的数学建模任务有自己的规划.通过这些环节，学生在探索过程中不断地从新概念学习过程中巩固对以往知识概念的反复再现.故建模为学生的数学知识进行了一次全面的重新排列再组合.可以说，数学建模是对“温故而知新”最好的实践诠释.

2.3 拓宽学生的数学视野，加深所学课程的关联性

数学建模是一次微型的科学研究过程，数学建模过程历经了问题提出、作出假设、数学求解、分析并评估模型和解决方案、迭代以完善和扩展模型、实现模型并报告结果[1].正如课程标准中的要求一样历经选题、开题、做题、结题四个环节，数学建模让学生亲身经历科研的过程，在这个过程中学生获得了多方面的科研知识，例如获得了如何检索文献资料、如何运用跨学科背景知识等能力.数学知识本来就是一个完整的体系，但由于现实教科书的编写与实际教学中往往将知识作离散分章节呈现处理，致使学生对于知识整体性的把握与认识明显不够，学生更是缺乏从整体出发应用数学知识的意识.而数学建模需要学生从高度把握高中数学知识的相关性，因为任何一个要研究的问题可能会涉及数学领域的相关性知识点，需要学生从整体视角出发考虑问题.

2.4 帮助学生预测与洞察现实世界，提升学生数学水平

数学的价值在于应用，数学建模教学恰恰是将数学的应用发挥到淋漓尽致的地步，数学教科书知识点的枯燥感致使学生对于数学学科逐渐产生厌倦感，学生对于学习数学的目的仅仅停留在完成一道数学题目的求解以及成功应付考试等具有功利性的层面上.由于模型往往需要同时结合代数、几何和统计学的内容，所以数学建模拓宽了学生的数学视野，并生动地说明了所学课程的关联性.数学建模教学活动从根本上解决了学生的困惑，数学建模通过解决实际生活的问题，让数学知识变得活跃起来，激发学生学习数学的浓厚兴趣.数学知识在与真实世界建立联结关系的同时提升了学生的数学整体水平.

2.5 有助于解释人类发展历程，汲取跨学科的数学思想和方法

人类历史的发展是客观存在的，需要人们运用相关知识予以解释.例如，考古可以让历史较为真实地展现在人们眼前.因此，作为自然科学的数学，更应该肩负起历史的使命.显然，数学建模可以充分让学生感知人类发展历程，通过对现实生活中的实际问题展开积极思考并探索，不仅可以提升学生的求知欲，更能获取更多的跨学科领域的知识与技能，数学建模涉及的知识不仅仅停留在数学知识层面，这其中涉及了物理、化学、经济、人文等学科的知识背景.高中数学课程中的数学建模更侧重于非数学领域需用数学工具来解决的问题.如来自日常生活、经济、工程等学科中的应用数学问题.由此可见，数学建模在解决实际问题中，往往涵盖着多学科领域知识，需要学生综合应用知识，这无疑对于学生而言是一种综合能力的重大提升.

3 高中数学建模教学：路径选择

高中数学建模过程是一个复杂的工程.该书中提及学前班至8年级的数学建模，指出五项指导原则：建模是开放且复杂的;当学生建模时，他们必须做出真正的选择;建模问题可以来自于熟悉的任務;评估的重点在于过程，而不是结果或个别要素;以团队形式完成建模.当然以上原则对于高中数学建模教学依然是符合的，这里主要对于该书中提及的“如何使标准教科书问题过渡到完整的建模周期？”的五条原则进行阐述.

3.1 从小问题着手

“不动声色地引入建模问题和活动.从应用题和结构合理的小研究入手，使用引导性的提问，以此直接帮助学生取得进步”[1].

从小问题出发，顾名思义是教师在组织与引导学生开展数学建模教学时，要以符合学生认知水平的问题情境出发，选择复杂问题中的一个小问题开始作为首要研究的微课题，逐步上升到对复杂问题的探究.当然，选取教材中的应用题或是改编后的习题等是最直接、最有效的途径，也可以是学生周围真实存在的情境问题，这能有助于增强学生的探究欲及求知欲.

3.2 用引导性的问题和课堂讨论，以此支持初步经验的形成

“为了帮助学生上手，你可能会以小组讨论的形式开始每个问题，在小组初步讨论之后，让全班同学聚在一起继续讨论，这样使每个人对问题都有一个清晰的认识和一些可行的想法”[1].

教师作为教学活动的组织者与引导者，需要充分调动学生开展活动的兴趣点，即以问题为情境导入课堂，引发学生积极且火热的思考.问题驱动下学生的自主探究型教学过程是推动数学建模教学高效运作的源动力，在学生集体智慧的碰撞升华后得到的结论用以支撑高中学生形成自己的初步经验.如此一来，启发与探究便成了高中数学建模教学的主旋律.

3.3 使用普遍的日常经验来激发数学方法的使用

“数学建模和模拟可以将这些内容带入学生的生活，并可以在不使用那些正式的、却会耽误学习这些内容的方法的情况下，加深对这些内容的理解”[1].

随着我国数学课程改革进程的不断深入，从开始重视“双基”到“四基”再到“核心素养”，我们发现数学学科开始注重学生数学活动经验的积累，那么作为教学主导者的教师应该为学生积累数学活动经验创造机会与可能.学生在日常生活及课堂学习中或多或少地积累了初步经验，这些经验或许是不太完善、不趋成熟的.因此，这时教师需要在此基础之上，创设符合或是近似于学生曾经活动经验“最近发展区”的问题情境，有利于激发学生充分联想并在经验的基础上寻求熟悉的方法去解决实际问题.

3.4 使用小型的建模情境，使得只需一两个要素便能组成一个完整的建模周期

“建立一个完整的建模周期需要时间和经验.学生可以通过不断地处理课堂上的问题和作业中涉及到的小决策，以及建模过程中的小问题，作为日常活动来培养经验”[1].

数学建模的庞杂性决定了花费时间与精力的持久性.因此作为数学建模的课堂教学毕竟时间有限且学生课外精力受阻，故在平时教学中设计的教学建模情境应该是符合学生现有数学水平与认知发展的简易模型，在设计基本变量或者假设变量时应当避免一些不可控变量的参与，使得建模要素简单且可易操作.因此，现阶段所做的数学建模研究只是对研究问题的简单思考，研究的问题仍然有继续开展研究的价值与意义.

3.5 与家长和管理者分享你的目标和教学实践

“数学建模提供了一种不同的数学观，它对什么是‘擅长数学的不同解释打开了一扇门.建模也给更大范围的学生提供机会来证明其能力，以及表现其聪明的方式，而这些方式并不总是在数学课堂上被重视”[1].

数学建模的教学价值是长期以来被社会所忽视的问题，作为建模教学过程的参与者教师与学生应当将自己对某一问题的认识予以分享并进行展示，以便让更多的人了解到你对该问题的关注程度与思考深度.作为教师更应该与家长或是管理者分享汇报自己设计数学建模教学活动的初衷与预期成果，让人们改变对数学知识“冰冷”的认知，唤醒大众对数学应用实践的价值觉悟，彰显数学建模教学的价值源泉.

4 结语

新修订的《普通高中数学课程标准（2017年版）》已经颁布，然而，目前我国绝大多数省份未将数学建模列为常规教学.因此，实施高中数学建模需要一个漫长且艰难的过程.本文主要结合该书观点阐述高中数学建模教学目标定位与路径选择，但真正就如何落实高中数学建模常规性教学，教育、考试部门，尤其是一线教师该如何评价学生数学建模水平，如何提升教师建模教学能力和自身建模能力，都亟待相关研究者进一步深入探讨与反思.

参考文献

[1] 梁贯成，赖明治，乔中华，陈艳萍编译.数学建模教学与评估指南[M].上海：上海大学出版社，2017.

[2] 王尚志.数学建模在中国各学段的发展历程及展望[J].数学教育学报，2017，26（06）：8.

[3] 吕世虎，王尚志，胡凤娟等.《2017年普通高中数学学科教学与评价指导意见》解析[J].数学教育学报，2017，26（06）：1-5.

[4] 史宁中.高中数学课程标准修订中的关键问题[J].数学教育学报，2018，27（1）：8-10.