基于陆基导航系统的航空器定位三维约束平差算法及其仿真计算

宋 韬

(中国民用航空飞行学院 空中交通管理学院， 四川 德阳 618307)

区域导航(Area Navigation,RNAV)是一种可在导航设施的有效覆盖范围内，或在自主导航设备的能力限制内，或在两者配合下，指引航空器沿任意规划的飞行路径航行的导航方式。[1]与仅支持向、背台飞行的传统陆基导航相比，它实现了在导航区域内不受导航设施分布限制的自由航行，从而能够缩短飞行距离，避免空中交通拥堵，增大空域利用效率。

目前，欲实现区域导航，可采用的导航源主要为基于星基导航的GNSS/INS和基于陆基导航的DME/DME及VOR/DME等[2]。其中，GNSS(全球导航卫星系统)能够在全球范围提供全天候、高精度的导航服务，是实现RNAV所主要采用的导航源[2]。但星基导航在受环境干扰的情况下难以提供连续、稳定和可靠的导航服务，且未安装卫星导航机载设备的航空器也无法实现基于GNSS的区域导航。综上所述，为提高系统可靠性，区域导航需要具备能满足一定导航精度需求的陆基导航作为备份和增强[3]。

1 基于陆基导航的区域导航现行定位方法分析

对于区域导航(RNAV)，主要立足于实现引导航空器沿任意预定航线飞行。这需要已知预定航线的航线角与航线距离。因此，区域导航的关键问题之一是利用已知观测量实现航空器的高精度定位。[4]而可以用于区域导航的陆基导航系统主要有DME/DME和VOR/DME两种方式。

1.1 区域导航的现行定位方法

1.1.1 DME/DME

RNAV(DME/DME)通过中心点平面坐标已知的两个(或多个)测距装置(DME)，根据导航台与航空器间的斜距近似代替水平距离作为初始观测量，从而利用距离交会原理计算出航空器的当前平面坐标。[1]该方式的定位精度受DME台与航空器间的空间几何关系和空间距离影响较大，而利用倾斜距离(斜距)近似代替水平距离的特性也限制了定位精度的提升。

1.1.2 VOR/DME

RNAV(VOR/DME)需要利用一个坐标已知的VOR/DME(甚高频全向信标/测距机)导航台，机载设备通过接收航空器与导航台间的方位(VOR)及斜距(DME)测量值，并利用极坐标原理进行定位。[1]这种系统的定位原理简单，在覆盖有VOR/DME台的区域都可进行导航，但这一传统方式不涉及多余观测量，无法对定位结果进行检核和精度增强，且与“DME/DME”类似，也存在以斜距测量值近似代替水平距离而使精度受限的问题。

1.2 斜距代替水平距离的测距误差分析

受当前陆基导航设备(VOR与DME)无法测量其与待测目标间的俯仰角这一限制，传统定位方法只能利用斜距近似代替水平距离进行坐标计算，而这会对水平距离的测量产生额外的系统误差，从而降低定位精度。斜距代替水平距离所产生的系统误差ΔD计算式为：

(1)

式(1)中，S为斜距；θ与H分别为导航台与待测点间的俯仰角度；D为水平距离。从式(1)可知，当其他条件不变时，斜距代替水平距离所产生的系统误差随着高差H的增加，俯仰角θ的增大或水平距离D的减小而增大。在4种不同水平距离和高差的情况下，由斜距代替水平距离产生的系统误差如表1所示。

表1 斜距代替水平距离的系统误差统计表

2 三维约束平差算法模型

综上所述，现行基于陆基导航系统的区域导航定位精度主要受到缺乏多余观测值的约束及用斜距近似代替水平距离等问题的制约。

如果直接利用多个陆基导航台(VOR/DME)的斜距和方位角观测量，基于“最小二乘”原则进行三维约束平差求解，则能够避免由于斜距替代水平距离产生的系统误差对定位精度的影响，且能通过多余观测值减小定位过程中的偶然误差[5]。下面介绍基于斜距和方向观测值的三维严密约束平差算法推导。

2.1 概略坐标值计算

图1、图2分别为基于陆基导航的区域导航定位原理透视图和平面图。如图1、2所示，A、B分别为两个VOR/DME陆基导航台，其中心点的平面坐标及高程已知，分别为：A(XA,YA,HA)和B(XB,YB,HB)。P点为航空器所在的待定未知点。通过位于A、B两点的陆基导航设备测距机(DME)，可测得未知点P与导航台A、B间的倾斜距离(即斜距)：SAP和SBP(图1)，而通过甚高频全向信标系统(VOR)可测得位于A、B两点处的飞机磁方位角：αAP和αBP(图2)。

在根据陆基导航台的距离和方位观测值进行严密平差前，需要利用必要观测量(两个导航台的飞机磁方位角和飞机距一个导航台的斜距)，求解待定点P的概略三维坐标(XP0,YP0,HP0)。

图1 基于陆基导航的区域导航定位原理示意图(透视图)

图2 基于陆基导航的区域导航定位原理示意图(平面图)

如图2，根据位于A、B两点的航空器磁方位角测量值：αAP和αBP，可得关系式为：

(2)

从而，P点的概略坐标计算式为：

(3)

2.2 斜距和方向测量值的误差方程

图3为区域导航三维约束平差平面示意图。导航台i代表在对未知点P进行概略坐标计算后，可实施多余观测的VOR/DME导航台。

图3 区域导航三维约束平差示意图

(4)

式(4)中，(XP,YP,HP)为待求点的坐标平差值，它与坐标值改正数(dxP,dyP,dHP)的关系为：

(5)

将式(5)代入式(4)，并将该方程组根据泰勒级数线性化后，可以得到根据斜距与方向观测值列出的误差方程：

(6)

根据式(6)，可构建平差误差方程：

V=Bdx-l

(7)

式(7)中，为观测值改正数向量[vSiP,vαiP]T；dx为坐标改正数向量[dxP,dyP,dHP]T；和分别为系数矩阵和常数项向量。

利用最小二乘原理(使VTPV最小)，可得坐标改正数计算式：

dx=(BTPB)-1BTPl

(8)

式(8)中，P为测量值的权阵，可利用测量值的大小进行经验定权。从而得到待定点的三维坐标平差值(XP,YP,HP)。

2.3 测量精度评定

平差计算后的单位权中误差的估值计算式为[7]：

(9)

式(9)中，n为测量值总个数，t为必要测量数(根据本文2.1可知，t=3)。则未知点坐标中误差的计算如下[7]：

(10)

式(10)中，QXPXP、QYPYP、QHPHP为协因数阵QX中的对角线元素。根据协因数传播率，协因数阵为：QX=(BTPB)-1。

从而，可得待定点平差值的点位中误差为：

(11)

3 仿真计算与分析

为验证三维约束平差算法在基于陆基导航系统的区域导航中的可行性，利用微软模拟飞行10 (Microsoft Flight Simulator X)，将一架Boeing737-800型客机置于某地空中P点[8-9]。如图4所示，在该航空器周边，选取三个VOR/DME导航台：A、B、C作为测量数据来源。

图4 仿真计算示意图

航空器和导航台在该地区高斯投影直角坐标系[10]中的实际平面坐标值和高程，以及通过机载设备得到的航空器相对于各导航台的斜距与飞机磁方位角测量值如表2所示。

通过上述机载设备测量值，分别用三种方式对航空器所在的P点坐标进行求解：

方式1，通过A、B两导航台的斜距测量值,利用距离交会原理求解(DME/DME)；

方式2，通过B点导航台的斜距与方位角测量值利用极坐标原理求解(VOR/DME)；

方式3，通过A、B、C三个导航台的斜距与方位角测量值利用三维平差算法求解(VOR/DME三维约束平差)。

3种方式所得航空器坐标计算结果及其与真实坐标的偏差值如表3所示。

表2 仿真计算已知坐标及测量值列表

表3 航空器坐标计算结果及其偏差值统计

通过三维平差算法的精度评定，P点的坐标中误差和点位中误差如表4所示。

表4 坐标中误差与点位中误差列表

通过对表3相关数据对比分析可知，在基于飞行模拟软件进行的仿真计算中，传统求解算法所得结果的坐标分量偏差值和平面位置偏差值均显著大于三维平差算法的结果，且传统求解算法无法得出待定点垂直坐标H。而三维平差算法能够计算出包括垂直坐标在内的三维坐标值。此外，该算法亦能通过精度评定来评估待定点坐标的定位精度[11](表4)，从而能客观反应坐标计算结果的准确性。

4 结语

通过对基于陆基导航设备的区域导航三维约束平差定位算法的理论推导和仿真计算结果比较与分析，可得出如下结论：

为实现航空器可沿任意规划的飞行路径航行的区域导航(RNAV)，对航空器进行较高精度定位至关重要；陆基导航作为星基导航及惯性导航的备份与增强，可以提高导航系统的连续性和可靠性。

VOR/DME导航台不能测量航空器相对于电台的俯仰角度。因此，目前基于DME/DME和VOR/DME的区域导航，在航空器定位过程中，通常将斜距近似代替水平距离进行求解，定位精度受到较大局限，且不能通过精度评定对定位点坐标的解算精度进行评估。

根据仿真计算结果，将机载设备测得的斜距和方位角作为原始测量值，并考虑斜距与水平距离的几何关系，依据最小二乘原理进行三维约束平差求解，能够显著减小定位点的各坐标分量偏差及位置偏差，并能满足区域导航RNAV1的定位技术要求[12]，并能通过精度评定(坐标中误差及点位中误差)对解算坐标的定位精度进行评估。