一类存取结构信息率的上界

麻敏

摘要：文章研究了Csirmaz存取结构信息率的上界，从Shannon熵的角度出发，运用了Shannon熵的单調性这一良好的性质得出该类存取结构的上界，该上界与Pradeep Sarvepalli所得到的结果相比更加精确。

关键词：熵;Csirmaz存取结构;单调性;上界

中图分类号：TP311       文献标识码：A        文章编号：1009-3044（2019）03-0050-03

1 引言

秘密共享方案是指多个参与者共享同一秘钥. 完善的秘密共享方案是指合法子集能够恢复秘密，非合法子集不能得到秘密的任何信息。秘密共享方案的完善性可由Shannon熵或者Von Neumann熵来刻画，Shannon熵测量的不确定性与经典概率分布相关联，描述量子态的方式是类似的，只是用密度算子代替了概率分布，即Von Neumann熵。Shannon熵和Von Neumann熵分别对应于经典秘密共享方案和量子秘密共享方案。

本文主要是在Pradeep  Sarvepalli 论文的基础上对Csirmaz 存取结构的信息率上界给出了更细致的刻画。 Csirmaz 存取结构可以看作一个量子存取结构，但同时也是一个经典的存取结构，这一性质为本文的研究提供了理论基础。

下面给出一些相关知识与结论。

2 预备知识

定义1.存取结构

设参与者集合为[P=p1，p2，p3…，pn，P]的子集构成的集合记为[2p，]存取结构[Γ?2p]。[Γ]由授权子集组成，授权子集中的参与者可以利用他们持有的秘密所分配的份额经典（或量子）态恢复秘密。如果一个授权子集的任一真子集均不能恢复秘密，则该授权子集称为极小授权子集。极小授权子集组成的集合称为极小存取结构，用[Γ0]表示. [S]代表秘密空间。

显然，存取结构满足单调性，即若[A∈Γ，]且[A?B?2p]，则[B∈Γ.]也就是说，若[A]中的参与者能恢复秘密，则[B]中的参与者也能恢复秘密。

定义2.完善的秘密共享方案

一个秘密共享方案中，如果任意授权集可以恢复秘密，而非授权集不能得到关于秘密的任何信息，则称该方案为完善的。

定义3.不重要的参与者[2]

如果没有一个非授权集通过增加参与者x能变成授权集，则参与者x称为不重要的参与者。显然，不重要参与者的共享可以被忽略，因此x的共享可被视为0。

定义4.信息率

信息率可认为是一个秘密共享方案实现的效率。可理解为秘密长度与最长共享的比值，用熵来刻画。即信息率[ε=H（s）maxpi∈PH（pi）]，显然，[ε≤1]。如果一个完善的秘密共享方案的信息率为1，则称该方案是理想的。

定义5.相关熵理论

一个有限集[X]上的概率分布[{p（x）}x∈X]，定义[X]的熵（Shannon熵）[H（X）=][-x∈Xp（x）logp（x），]一般地，[H（X）]的单位为比特[（bit）]，[log]代表以[2]为底的对数。

3 Shannon熵与存取结构

引理1[7] 实现一个存取结构[Γ]的秘密共享方案是完善的，如果以下两条被满足：

4 量子秘密共享方案与Von Neumann熵

一个存取结构如果能由一个量子秘密共享方案实现，则该存取结构称为量子存取结构。一个存取结构是量子存取结构当且仅当任两个授权集都有交集。易得量子存取结构中，授权集的补集是非授权的。由此可知量子存取结构是一种特殊的存取结构。这种特殊性体现在信息率等的刻画上，一般的存取结构是用Shannon熵及经典信息论模型来描述的，而对于量子存取结构而言，引入了Von Neumann熵这一新的概念来更具体地刻画这一类存取结构，Von Neumann熵与Shannon熵很多性质都比较相似，一个较大的差异就是Von Neumann熵不满足单调性要求，所以在求量子存取结构的信息率时引入了存取结构的纯化，得到了自对偶结构。

这样，我们在计算Csirmaz存取结构信息率时，可以从Shannon熵与Von Neumann熵两个角度出发。而在Pradeep  Sarvepalli 论文中已经从Von Neumann熵及存取结构的纯化等角度出发，得出了Csirmaz存取结构信息率的上界[ε1]为[2k+12k+1-1][4]，我们致力于从Shannon熵的角度出发，得出一个更确切的信息率上界，Shannon熵的单调性这一良好的性质是一个有力的工具。

首先，给出Csirmaz存取结构满足的一个特殊的不等式并给出证明，这在计算信息率上界时是非常重要的。

5 结论

本文从Shannon熵角度出发得出Csirmaz存取结构信息率的上界，对Pradeep  Sarvepalli先前的研究作了一些改进，得到了一个更具体的信息率上界。

参考文献：

[1] 宋云，李志慧，李永明.含至多四个参与者的量子秘密共享方案的最优信息率[J].电子学报，2014（10）.

[2] Laszlo Csirmaz. The Size of a Share Must Be Large[J].Cryptology， 1997（10）： 223- 231.

[3] Hideki Imai， Jorn Muller Quade. A Quantum Information Theoretical Model for Quantum Secret Sharing  Schemes[J].Comput.5， 2005，069.

[4] Pradeep Sarvepalli. Bounds on the information rate of quantum secret sharing schemes[J].PhysRevA ，2010.

[5] 刘木兰，张志芳.秘钥共享体制和安全多方计算[M].北京：电子工业出版社，2008：133-134.

[6] 周展飞.秘钥共享体制—性质、结构和构造[D].北京：中国科学院系统科学研究所，1997.

[7] 杨丽杰，李志慧，李婧.一类超图存取结构的秘密共享方案的信息率[J].计算机应用研究，2013，30（7）：2115-2119.

[8] R.M.Capocelli，A.De Santis，and U.Vaccaro，On the Size of Shares for Secret Sharing Schemes，Journal of Cryptology ， 1993（6）：157-167.

[9] D.Markham and B.Sanders，Phys. Rev. A 78，042309（2008）.

[10] D.Gottesman，Phys. Rev.A 61，042311（2000）.

[11] 宋云，李志慧.一类完善秘密共享方案的最优信息率[J].计算机工程，2012，38（12）：9-12，16.

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