分离法解决几何问题

刘东莉

【摘要】 在平面几何的学习中，几个基本图形就可以组合成一个复杂图形.反之，要在一个复杂图形中进行推理论证，我们往往可以把它分离成几个基本图形，采用各个击破的方法，这样就可以使复杂问题简单化.

【关键词】 分情况;复杂图形;分离;抽取;基本图形

在平面几何的学习中，幾个基本图形就可以组合成一个复杂图形.反之，要在一个复杂图形中进行推理论证，我们往往可以把它分离成几个基本图形，采用各个击破的方法，这样就可以使复杂问题简单化.这种“分离法解决几何问题”是一种行之有效的数学学习方法，下面我们举例来说明这种方法.

例1   如图1所示，已知AB∥CD，你可以得出哪些结论？并加以证明.

分析  这是一道开放性题目，图形比较复杂，到底能得出哪些结论学生会比较困惑，在AB∥CD这种情况下，我们把它分成五种情况，根据这五种情况可分离出五种图形，如图所示：

（1）以AD为截线如图2所示，则可得出∠DAB+∠ADC=180°;

（2） 以AE为截线如图3所示，则可得出∠EAB+∠AEC= 180°或∠DEA=∠EAB;

（3） 以AC为截线如图4所示，则可得出∠DCA=∠CAB;

（4）以CF为截线如图5所示，则可得出∠DCF+∠CFA=180°或∠DCF=∠CFB;

（5）以CB为截线如图6所示，则可得出∠DCB+∠CBA=180°.

  例2   证明：两平行直线被第三条直线所截，同位角相等.

已知：如图7所示，直线AB∥CD，∠1和∠2是直线AB、CD被直线EF截出的同位角.

求证：∠1=∠2.

教材中应用了反证法.证明如下：

证明  如图8所示，假设∠1≠∠2，那么我们可以过点M做直线GH，使∠EMH=∠2，

根据同位角相等，两直线平行，可得到GH∥CD.

又因为AB∥CD，这样经过点M存在两条直线AB和GH都与直线CD平行.

这与“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”这个基本事实相矛盾.

这说明假设∠1≠∠2是不成立的，所以∠1=∠2.

分析  此题用反证法学生普遍感到比较难理解的原因在于：其一反证法学生第一次接触，前面没有相应的基础，无从入手;其二图8是两个图形糅合在了一起，图形复杂，使学生看起来眼花缭乱，就更谈不上证明思路了;其三明明是AB和GH都和CD平行，而给我们的视觉感受GH又明显不与CD平行.基于以上三点给学生造成了很大的困扰，为解决这个难题笔者采用的办法是“分离法”，将图8分离成两个图形图9和图10.

对于图9假设∠1≠∠2，但已知直线AB∥CD.

对于图10既然∠1≠∠2，我们可以过点M做直线GH，使∠EMH=∠2，根据同位角相等，两直线平行，可得到GH∥CD.

由图9和图10两个图形我们可以清楚地看到经过点M存在两条直线AB和GH都与直线CD平行.

这与“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”这个基本事实相矛盾.

这说明假设∠1≠∠2是不成立的，所以∠1=∠2.

例3   如图11所示，矩形ABOC的顶点A的坐标为（-4，5），D是OB的中点，E是OC上一点，当△ADE的周长最小时，求点E的坐标.

 分析  此题难度很大，首先需要确定点E的位置，如图11所示，在△ADE中，AD的长度固定要使周长最短只需AE+ED最短.

图11中E点的位置不固定，我们无法解决问题，为此我采用的方法仍然是“分离法”从图11中抽取出了图12，在图12中已知两点A，B在y轴上找一点E使AE+ED最短.这样就从复杂图形中抽取出了学生非常熟悉也非常容易解决的基本图形——两点一线，求距离之和最短问题.

解题思路如图13所示，作A点关于y轴的对称点A′，连接A′D交y轴于点E，则点E就是所求作的点.用待定系数法求出A′D的表达式，再求出与y轴的交点坐标即可.

以上笔者从三个实例入手解析了分离法在解决平面几何问题中的优越性，希望对广大师生有所帮助.